ادغام ساده ترین کسرهای غیر منطقی. ادغام عبارات غیر منطقی ادغام کسرهای مختلط

تعریف 1

مجموعه ای از تمام پاد مشتق های یک تابع معین $y=f(x)$، که بر روی یک بخش خاص تعریف شده است، انتگرال نامعین یک تابع معین $y=f(x)$ نامیده می شود. انتگرال نامعین با نماد $\int f(x)dx $ نشان داده می شود.

اظهار نظر

تعریف 2 را می توان به صورت زیر نوشت:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

هر تابع غیرمنطقی را نمی توان به عنوان یک انتگرال از طریق توابع ابتدایی بیان کرد. با این حال، بسیاری از این انتگرال ها را می توان با استفاده از جایگزینی به انتگرال توابع گویا کاهش داد، که می تواند در قالب توابع ابتدایی بیان شود.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

من

هنگام یافتن یک انتگرال از فرم $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ لازم است جایگزین زیر انجام شود:

با این جایگزینی، هر توان کسری متغیر $x$ از طریق یک عدد صحیح از متغیر $t$ بیان می شود. در نتیجه، تابع انتگرال به یک تابع منطقی از متغیر $t$ تبدیل می شود.

مثال 1

انجام یکپارچه سازی:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

راه حل:

$k=4$ مخرج مشترک کسرهای $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $ است.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2))(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2))(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(آرایه)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

هنگام یافتن یک انتگرال از فرم $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ لازم است تعویض زیر انجام شود:

که $k$ مخرج مشترک کسرهای $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $ است.

در نتیجه این جایگزینی، تابع انتگرال به یک تابع منطقی از متغیر $t$ تبدیل می شود.

مثال 2

انجام یکپارچه سازی:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

راه حل:

بیایید جایگزین زیر را انجام دهیم:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \چپ |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

پس از انجام تعویض معکوس، نتیجه نهایی را می گیریم:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

هنگام یافتن یک انتگرال از فرم $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $، به اصطلاح جایگزینی اویلر انجام می‌شود (یکی از سه جایگزین ممکن است استفاده شده).

اولین تعویض اویلر

برای مورد $a>

با گرفتن علامت "+" در مقابل $\sqrt(a) $، دریافت می کنیم

مثال 3

انجام یکپارچه سازی:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c)) .\]

راه حل:

بیایید جایگزین زیر را انجام دهیم (مورد $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2)) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2)) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t)) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

پس از انجام تعویض معکوس، نتیجه نهایی را می گیریم:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

دومین تعویض اویلر

برای مورد $c>0$ لازم است جایگزینی زیر انجام شود:

با گرفتن علامت "+" در مقابل $\sqrt(c) $، دریافت می کنیم

مثال 4

انجام یکپارچه سازی:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) dx .\]

راه حل:

بیایید جایگزین زیر را انجام دهیم:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2)) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ داشتن معکوس تعویض، نتیجه نهایی را می گیریم:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2))(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \چپ|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\راست|+C) \پایان ( آرایه)\]

سومین تعویض اویلر

زیر غیر منطقیعبارتی را درک کنید که در آن متغیر مستقل %%x%% یا چند جمله‌ای %%P_n(x)%% درجه %%n \in \mathbb(N)%% در زیر علامت گنجانده شده است. افراطی(از لاتین ریشه- ریشه)، یعنی. به توان کسری افزایش یافته است. با جایگزین کردن یک متغیر، برخی از کلاس‌های انتگرال که نسبت به %%x%% غیرمنطقی هستند را می‌توان به عبارات منطقی با توجه به یک متغیر جدید کاهش داد.

مفهوم تابع منطقی یک متغیر را می توان به چندین آرگومان تعمیم داد. اگر برای هر آرگومان %%u، v، \dotsc، w%% هنگام محاسبه مقدار یک تابع، فقط عملیات حسابی و افزایش به یک توان صحیح ارائه شود، در این صورت از یک تابع گویا از این آرگومان ها صحبت می کنیم که معمولاً نشان داده شده %%R(u، v، \ dotsc، w)%%. آرگومان های چنین تابعی خود می توانند توابعی از متغیر مستقل %%x%% باشند، از جمله رادیکال هایی به شکل %%\sqrt[n](x)، n \in \mathbb(N)%%. برای مثال، تابع منطقی $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ با %%u = x, v = \sqrt(x)%% و %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% یک تابع منطقی از $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + است. \sqrt(x^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ از %%x%% و رادیکال‌های %%\sqrt(x)%% و %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, در حالی که تابع %%f(x)%% یک تابع غیرمنطقی (جبری) از یک متغیر مستقل %%x%% خواهد بود.

بیایید انتگرال هایی از فرم %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% را در نظر بگیریم. چنین انتگرال هایی با جایگزینی متغیر %%t = \sqrt[n](x)%%، سپس %%x = t^n، \mathrm(d)x = nt^(n-1)% منطقی می شوند.

مثال 1

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% را پیدا کنید.

انتگرال آرگومان مورد نظر به عنوان تابعی از رادیکال های درجه %%%2%% و%%%3% نوشته شده است. از آنجایی که کمترین مضرب مشترک %%2%% و %%3%% %%6% است، این انتگرال انتگرالی از نوع %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) است. x %% و با جایگزینی %%\sqrt(x) = t%% قابل توجیه است. سپس %%x = t^6، \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t، \sqrt(x) = t^3، \sqrt(x) =t^2%%. بنابراین، $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ بیایید %%t + 1 = z، \mathrm(d)t = \mathrm(d)z، z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% و $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(آرایه) $$

انتگرالهای شکل %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% یک مورد خاص از غیر منطقی‌های خطی کسری هستند، به عنوان مثال. انتگرالهای شکل %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, جایی که %% ad - bc \neq 0%%, که می‌توان با جایگزین کردن متغیر %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%% و سپس %%x = \dfrac منطقی‌سازی کرد. (dt^n - b)(a - ct^n)%%. سپس $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

مثال 2

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%% را پیدا کنید.

بیایید %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%٪، سپس %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ را در نظر بگیریم. $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\راست)^2)، \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2)، \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(آرایه) $$ بنابراین، $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\راست)^2 )\راست) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(آرایه) $$

بیایید انتگرالهای شکل %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% را در نظر بگیریم. در ساده‌ترین موارد، اگر پس از جداسازی مربع کامل، تغییری در متغیرها ایجاد شود، چنین انتگرال‌هایی به جدولی کاهش می‌یابند.

مثال 3

%%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%% را بیابید.

با توجه به اینکه %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%٪، %%t = x + 2، \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%% را می گیریم. سپس $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\ چپ|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(آرایه) $$

در موارد پیچیده تر، برای یافتن انتگرال هایی به شکل %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% استفاده می شود.

کلاس توابع غیرمنطقی بسیار گسترده است، بنابراین به سادگی نمی توان یک راه جهانی برای ادغام آنها وجود داشت. در این مقاله سعی می‌کنیم مشخص‌ترین انواع توابع انتگرال‌گر غیرمنطقی را شناسایی کرده و روش انتگرال‌گیری را با آن‌ها مرتبط کنیم.

مواردی وجود دارد که استفاده از روش اشتراک علامت دیفرانسیل مناسب است. به عنوان مثال، هنگام یافتن انتگرال های نامعین شکل، کجا پ- کسر گویا

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید .

راه حل.

توجه به آن دشوار نیست. بنابراین، آن را زیر علامت دیفرانسیل قرار داده و از جدول ضد مشتقات استفاده می کنیم:

پاسخ:

.

13. جایگزینی خطی کسری

انتگرال هایی از نوع که در آن a، b، c، d اعداد حقیقی هستند، a، b،...، d، g اعداد طبیعی هستند، با جایگزینی به انتگرال های یک تابع گویا کاهش می یابند که در آن K کمترین مضرب مشترک است. مخرج کسرها

در واقع، از تعویض نتیجه می شود که

یعنی x و dx از طریق توابع گویا t بیان می شوند. علاوه بر این، هر درجه از کسری از طریق تابع منطقی t بیان می شود.

مثال 33.4. انتگرال را پیدا کنید

حل: کمترین مضرب مشترک مخرج کسرهای 2/3 و 1/2 6 است.

بنابراین، x+2=t 6، x=t 6 -2، dx=6t 5 dt قرار می دهیم، بنابراین،

مثال 33.5.جایگزینی را برای یافتن انتگرال مشخص کنید:

راه حل: برای I 1 تعویض x=t 2، برای I 2 تعویض

14. جایگزینی مثلثاتی

انتگرال‌های نوع به انتگرال‌هایی از توابع تقلیل می‌یابند که با استفاده از جایگزین‌های مثلثاتی زیر به طور منطقی به توابع مثلثاتی بستگی دارند: x = یک سینت برای انتگرال اول. x=a tgt برای انتگرال دوم.

مثال 33.6.انتگرال را پیدا کنید

راه حل: x=2 sin t، dx=2 cos tdt، t=arcsin x/2 را قرار می دهیم. سپس

در اینجا انتگرال یک تابع گویا با توجه به x و است با انتخاب یک مربع کامل در زیر رادیکال و جایگزینی، انتگرال های نوع نشان داده شده به انتگرال هایی از نوع در نظر گرفته شده کاهش می یابد، یعنی به انتگرال هایی از نوع این انتگرال ها را می توان با استفاده از جانشینی های مثلثاتی مناسب محاسبه کرد.

مثال 33.7.انتگرال را پیدا کنید

راه حل: از آنجایی که x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5، سپس x+1=t، x=t-1، dx=dt. از همین رو بگذاریم

نکته: نوع انتگرال پیدا کردن با استفاده از جایگزینی x=1/t به مصلحت است.

15. انتگرال معین

اجازه دهید یک تابع روی یک قطعه تعریف شود و یک پاد مشتق روی آن داشته باشد. تفاوت نامیده می شود انتگرال معین توابع در امتداد بخش و نشان می دهد. بنابراین،

سپس تفاوت در فرم نوشته شده است . اعداد نامیده می شوند محدودیت های ادغام .

به عنوان مثال، یکی از ضد مشتقات برای یک تابع. از همین رو

16 . اگر c یک عدد ثابت است و تابع ƒ(x) قابل ادغام در

یعنی عامل ثابت c را می توان از علامت انتگرال معین خارج کرد.

▼ بیایید مجموع انتگرال تابع را با ƒ(x) بسازیم. ما داریم:

سپس نتیجه می شود که تابع c ƒ(x) در [a; b] و فرمول (38.1) معتبر است.▲

2. اگر توابع ƒ 1 (x) و ƒ 2 (x) در [a;b] قابل انتگرال هستند، در [a; ب] مجموع آنها u

یعنی انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها.

▼
▲

خاصیت 2 برای مجموع هر تعداد متناهی عبارت اعمال می شود.

3.

این ویژگی را می توان با تعریف پذیرفت. این ویژگی با فرمول نیوتن-لایبنیتس نیز تایید می شود.

4. اگر تابع ƒ(x) در [a; ب] و الف< с < b, то

یعنی انتگرال کل بخش برابر است با مجموع انتگرال های قسمت های این قطعه. این خاصیت افزودنی بودن یک انتگرال معین (یا خاصیت افزایشی) نامیده می شود.

هنگام تقسیم پاره [a;b] به قطعات، نقطه c را در تعداد نقاط تقسیم قرار می دهیم (این کار را می توان به دلیل استقلال حد مجموع انتگرال از روش تقسیم پاره [a;b) انجام داد. به قطعات). اگر c = x m، مجموع انتگرال را می توان به دو مجموع تقسیم کرد:

هر یک از جمع های نوشته شده به ترتیب برای بخش های [a; b]، [a; s] و [s; ب]. با عبور از حد در آخرین برابری به صورت n → ∞ (λ → 0)، برابری (38.3) را به دست می آوریم.

خاصیت 4 برای هر مکان از نقاط a، b، c معتبر است (فرض می‌کنیم که تابع ƒ (x) در بزرگ‌تر از بخش‌های حاصل قابل ادغام است).

بنابراین، برای مثال، اگر a< b < с, то

(از خواص 4 و 3 استفاده شد).

5. «قضیه مقادیر میانگین». اگر تابع ƒ(x) در بازه [a; b]، سپس یک تونکا با є [a; ب] طوری که

▼با فرمول نیوتن-لایبنیتس داریم

که در آن F"(x) = ƒ(x). با اعمال قضیه لاگرانژ (قضیه افزایش متناهی یک تابع) به تفاضل F(b)-F(a)، به دست می آوریم.

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

خاصیت 5 («قضیه مقدار میانگین») برای ƒ (x) ≥ 0 معنای هندسی ساده ای دارد: مقدار انتگرال معین برای مقداری c є (a; b) برابر است با مساحت یک مستطیل. با ارتفاع ƒ (c) و پایه b-a (به شکل 170 مراجعه کنید). عدد

مقدار متوسط ​​تابع ƒ(x) در بازه [a; ب].

6. اگر تابع ƒ (x) علامت خود را در قطعه [a; b]، جایی که a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ با «قضیه مقدار میانگین» (ویژگی 5)

جایی که c є [a; ب]. و چون ƒ(x) ≥ 0 برای همه x О [a; ب]، سپس

ƒ(с)≥0، b-a> 0.

بنابراین ƒ(с) (b-a) ≥ 0، یعنی. ▲

7. نابرابری بین توابع پیوسته در بازه [a; ب]، (الف

▼از آنجایی که ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0، پس زمانی که< b, согласно свойству 6, имеем

یا با توجه به خاصیت 2

توجه داشته باشید که افتراق نابرابری ها غیرممکن است.

8. برآورد انتگرال. اگر m و M به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع y = ƒ (x) در بخش [a; ب]، (الف< b), то

▼از آنجایی که برای هر x є [a;b] m≤ƒ(x)≤М داریم، پس با توجه به خاصیت 7، داریم

با اعمال خاصیت 5 به انتگرال های شدید، به دست می آوریم

▲

اگر ƒ(x)≥0، آنگاه ویژگی 8 به صورت هندسی نشان داده می شود: مساحت ذوزنقه منحنی بین مناطق مستطیلی که قاعده آنها و ارتفاع آنها m و M است محصور شده است (شکل 171 را ببینید).

9. مدول یک انتگرال معین از انتگرال مدول انتگرال تجاوز نمی کند:

▼ با اعمال ویژگی 7 به نابرابری های آشکار -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|، به دست می آوریم

نتیجه می شود که

▲

10. مشتق یک انتگرال معین نسبت به حد بالایی متغیر برابر است با انتگرالی که در آن متغیر انتگرال با این حد جایگزین می شود، یعنی.

محاسبه مساحت یک شکل یکی از دشوارترین مسائل در نظریه مساحت است. در درس هندسه مدرسه یاد گرفتیم که مساحت اشکال هندسی اولیه مثلا دایره، مثلث، لوزی و ... را پیدا کنیم. با این حال، اغلب شما باید با محاسبه مساحت ارقام پیچیده تر سر و کار داشته باشید. هنگام حل چنین مسائلی، باید به حساب انتگرال متوسل شد.

در این مقاله به مسئله محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی می پردازیم و به آن در مفهوم هندسی می پردازیم. این به ما امکان می دهد تا ارتباط مستقیم بین انتگرال معین و مساحت ذوزنقه منحنی را دریابیم.

اجازه دهید تابع y = f(x)پیوسته در بخش و علامت روی آن (یعنی غیر منفی یا غیر مثبت) را تغییر نمی دهد. شکل جی، با خطوط محدود شده است y = f(x)، y = 0، x = aو x = b، تماس گرفت ذوزنقه منحنی. بیایید مساحت آن را مشخص کنیم S(G).

اجازه دهید به مشکل محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی به صورت زیر بپردازیم. در بخش ارقام مربع، متوجه شدیم که ذوزنقه منحنی شکل مربعی است. اگر بخش را تقسیم کنید بر nقطعات با نقطه برای نشان دادن ، و نقاط را طوری انتخاب کنید که برای، سپس ارقام مربوط به مجموع داربوکس پایین و بالایی را می توان در نظر گرفت. پو جامع ساشکال چند ضلعی برای جی.

بنابراین، حتی با افزایش تعداد نقاط پارتیشن n، به نابرابری می رسیم که یک عدد مثبت دلخواه کوچک است و سو اس- مجموع Darboux پایین و بالایی برای یک پارتیشن معین از بخش . در پستی دیگر . بنابراین، با عطف به مفهوم یک انتگرال داربوکس معین، به دست می آوریم .

آخرین برابری به معنای انتگرال معین برای یک تابع پیوسته و غیر منفی است y = f(x)به معنای هندسی مساحت ذوزنقه منحنی مربوطه را نشان می دهد. این چیزی است که معنای هندسی یک انتگرال معین.

یعنی با محاسبه انتگرال معین، مساحت شکل محدود شده با خطوط را پیدا می کنیم. y = f(x)، y = 0، x = aو x = b.

اظهار نظر.

اگر تابع y = f(x)غیر مثبت در بخش ، سپس مساحت یک ذوزنقه منحنی را می توان به صورت پیدا کرد .

مثال.

مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید .

راه حل.

بیایید یک شکل در یک هواپیما بسازیم: خط مستقیم y = 0منطبق با محور x، خطوط مستقیم است x = -2و x = 3موازی با محور ارتین هستند و منحنی را می توان با استفاده از تبدیل های هندسی نمودار تابع ساخت.

بنابراین، ما باید مساحت یک ذوزنقه منحنی را پیدا کنیم. معنای هندسی یک انتگرال معین به ما نشان می دهد که ناحیه مورد نظر با یک انتگرال معین بیان می شود. از این رو، . این انتگرال قطعی را می توان با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه کرد.

انتگرال های فرم (m 1، n 1، m 2، n 2، ... - اعداد صحیح). در این انتگرال ها، انتگرال با توجه به متغیر انتگرال گیری و رادیکال های x منطقی است. آنها با جایگزینی x=t s محاسبه می شوند، جایی که s مخرج مشترک کسرها است، ... با چنین جایگزینی متغیر، همه روابط = r 1، = r 2، ... اعداد صحیح هستند، یعنی انتگرال است. به یک تابع منطقی از متغیر t کاهش می یابد:

انتگرال های فرم (m 1، n 1، m 2، n 2، ... - اعداد صحیح). این انتگرال ها با جایگزینی عبارتند از:

که در آن s مخرج مشترک کسری است، ...، به یک تابع گویا از متغیر t کاهش می یابد.

انتگرال های فرم برای محاسبه انتگرال I 1، یک مربع کامل زیر علامت رادیکال انتخاب کنید:

و جایگزینی اعمال می شود:

در نتیجه، این انتگرال به یک جدول کاهش می یابد:

در شمارشگر انتگرال I 2، دیفرانسیل عبارت زیر علامت رادیکال مشخص می شود و این انتگرال به صورت مجموع دو انتگرال نشان داده می شود:

که در آن I 1 انتگرال محاسبه شده در بالا است.

محاسبه انتگرال I 3 با جایگزینی به محاسبه انتگرال I 1 کاهش می یابد:

انتگرال فرم موارد خاصی از محاسبه انتگرال از این نوع در پاراگراف قبل در نظر گرفته شده است. چندین روش مختلف برای محاسبه آنها وجود دارد. بیایید یکی از این تکنیک ها را بر اساس استفاده از جانشینی های مثلثاتی در نظر بگیریم.

مربع سه جمله ای ax 2 +bx+c با جداسازی مربع کامل و تغییر متغیر را می توان به این شکل نشان داد بنابراین، کافی است خود را به در نظر گرفتن سه نوع انتگرال محدود کنیم:

انتگرال با جایگزینی

u=ksint (یا u=kcost)

با توجه به سنت و هزینه به انتگرال یک تابع منطقی تقلیل می دهد.

انتگرال های شکل (m، n، p є Q، a، b є R). انتگرال های مورد بررسی که انتگرال های دوجمله ای دیفرانسیل نامیده می شوند، تنها در سه حالت زیر از طریق توابع ابتدایی بیان می شوند:

1) اگر p є Z، جایگزینی اعمال می شود:

که در آن s مخرج مشترک کسرهای m و n است.

2) اگر Z، پس از جایگزینی استفاده می شود:

که در آن s مخرج کسری است

3) اگر Z، جایگزینی اعمال می شود:

که در آن s مخرج کسری است

روش های اساسی برای ادغام توابع غیر منطقی (ریشه ها) آورده شده است. آنها عبارتند از: ادغام غیر منطقی کسری خطی، دو جمله ای دیفرانسیل، انتگرال ها با جذر یک مثلث مربع. جایگزین های مثلثاتی و جایگزینی های اویلر داده شده است. برخی از انتگرال های بیضوی که از طریق توابع ابتدایی بیان می شوند در نظر گرفته می شوند.

محتوا

انتگرال از دوجمله ای دیفرانسیل

انتگرال های دوجمله ای دیفرانسیل به شکل زیر هستند:
,
که در آن m، n، p اعداد گویا هستند، a، b اعداد واقعی هستند.
چنین انتگرال هایی در سه حالت به انتگرال توابع گویا تقلیل می یابند.

1) اگر p یک عدد صحیح باشد. جایگزینی x = t N، که در آن N مخرج مشترک کسرهای m و n است.
2) اگر - یک عدد صحیح. جایگزینی a x n + b = t M، که در آن M مخرج عدد p است.
3) اگر - یک عدد صحیح. جایگزینی a + b x - n = t M، که در آن M مخرج عدد p است.

در موارد دیگر، چنین انتگرال هایی از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شوند.

گاهی اوقات می توان چنین انتگرال هایی را با استفاده از فرمول های کاهش ساده کرد:
;
.

انتگرال های حاوی جذر یک مثلث مربع

این انتگرال ها به شکل زیر هستند:
,
که در آن R یک تابع منطقی است. برای هر انتگرال چندین روش برای حل آن وجود دارد.
1) استفاده از تبدیل ها منجر به انتگرال های ساده تر می شود.
2) جایگزین های مثلثاتی یا هذلولی را اعمال کنید.
3) جایگزین های اویلر را اعمال کنید.

بیایید این روش ها را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

1) تبدیل تابع انتگرال

با اعمال فرمول و انجام تبدیل های جبری، تابع انتگرال را به شکل زیر کاهش می دهیم:
,
که در آن φ(x)، ω(x) توابع گویا هستند.

نوع I

انتگرال فرم:
,
که در آن P n (x) چند جمله ای درجه n است.

چنین انتگرال هایی با روش ضرایب نامعین با استفاده از هویت یافت می شوند:

.
با افتراق این معادله و معادل سازی ضلع چپ و راست، ضرایب A i را پیدا می کنیم.

نوع II

انتگرال فرم:
,
که در آن P m (x) چند جمله ای درجه m است.

جایگزینی t = (x - α) -1این انتگرال به نوع قبلی کاهش می یابد. اگر m ≥ n باشد، کسر باید یک قسمت صحیح داشته باشد.

نوع III

در اینجا ما جایگزینی را انجام می دهیم:
.
پس از آن انتگرال به شکل زیر در می آید:
.
در مرحله بعد، ثابت های α، β باید طوری انتخاب شوند که ضرایب t در مخرج صفر شود:
B = 0، B 1 = 0.
سپس انتگرال به مجموع انتگرال های دو نوع تجزیه می شود:
,
,
که توسط جایگزین ها ادغام می شوند:
u 2 = A 1 t 2 + C 1،
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) جانشینی های مثلثاتی و هذلولی

برای انتگرال های فرم، a > 0 ,
ما سه جایگزین اصلی داریم:
;
;
;

برای انتگرال ها، a > 0 ,
ما جایگزین های زیر را داریم:
;
;
;

و در نهایت برای انتگرال ها الف > 0 ,
تعویض ها به شرح زیر است:
;
;
;

3) تعویض های اویلر

همچنین، انتگرال ها را می توان به انتگرال توابع گویا یکی از سه جایگزین اویلر کاهش داد:
، برای > 0;
, برای c > 0 ;
، که در آن x 1 ریشه معادله a x 2 + b x + c = 0 است. اگر این معادله ریشه واقعی داشته باشد.

انتگرال های بیضوی

در نتیجه، انتگرال های فرم را در نظر بگیرید:
,
که در آن R یک تابع منطقی است، . به چنین انتگرال هایی بیضوی می گویند. به طور کلی، آنها از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شوند. با این حال، مواردی وجود دارد که روابط بین ضرایب A، B، C، D، E وجود دارد که در آن چنین انتگرال هایی از طریق توابع ابتدایی بیان می شوند.

در زیر یک مثال مربوط به چند جمله ای های بازتابی آورده شده است. محاسبه چنین انتگرال هایی با استفاده از جایگزین ها انجام می شود:
.

مثال

انتگرال را محاسبه کنید:
.

بیایید یک تعویض انجام دهیم.

.
اینجا در x > 0 (u> 0 ) علامت بالایی "+" را بگیرید. در x< 0 (u< 0 ) - پایین "-".

.

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

همچنین ببینید: