روابط دودویی، خصوصیات روابط. روابط هم ارزی، نظم و مدارا. روابط دودویی - MT1102: جبر خطی (مقدمه ای بر ریاضیات) - علوم کامپیوتر تجاری یک رابطه یک رابطه هم ارزی است
کار دوره
"رابطه هم ارزی"
معرفی
فصل 1. مفهوم نگرش. تعریف، انواع، نمونه هایی از روابط
فصل 2. تقسیم به کلاس. مجموعه فاکتور. رابطه هم ارزی عملیات بر روی هم ارزی ها
فصل 3. روابط در ریاضیات مدرسه
نتیجه
فهرست منابع استفاده شده
معرفی
این کار درسی به مطالعه مفهوم روابط به طور کلی و به طور خاص روابط هم ارزی اختصاص دارد. این مفاهیم در درس جبر بنیادی هستند و در عین حال می‌توانند از مفاهیم رایج روزمره برابری، تشابه و نظم استخراج شوند. این امکان را فراهم می‌کند تا با استفاده از مثال‌های خاص از درس ریاضیات مدرسه، آنها را به دانش‌آموزان بزرگتر، بدون کاوش در تئوری، معرفی کنیم.
فصل اول کار درسی به مفهوم روابط به طور کلی، روش های تعیین روابط، تفسیر جبری و هندسی روابط اختصاص خواهد داشت. برخی از عملیات تئوری مجموعه‌ها بر روی روابط معرفی خواهند شد. ویژگی های اساسی روابط و اهمیت این ویژگی ها برای روش های هندسی و جبری تعیین روابط در نظر گرفته شده است. فصل در 7 برگ قرار داده شده است.
فصل دوم این کار درسی معنای رابطه هم ارزی را آشکار می کند. قضیه ای در مورد هم ارزی تعاریف ثابت می شود. تعدادی مثال آورده شده است. مفاهیم پارتیشن بندی به کلاس ها و مجموعه های فاکتور معرفی شده است. چندین رابطه مهم دیگر نیز تعریف شده است.
فصل سوم به بررسی برخی روابط معرفی شده در مجموعه اشیاء آشنا و قابل درک برای هر دانش آموز دبیرستانی اختصاص دارد. ویژگی های روابط هم ارزی، مدارا و نظم به وضوح نشان داده شده است. در مورد امکان معرفی این مفاهیم در کلاس درس محافل ریاضی نتیجه گیری می شود. فصل شامل 5 برگ است.
فصل 1. مفهوم نگرش. تعریف، انواع، نمونه هایی از روابط
تعریف نگرش. روش های تعریف روابط
اگر به زبانی صحبت کنیم که برای یک دانش آموز قابل درک باشد، تعریف یک رابطه به معنای نشان دادن این است که بین کدام اشیاء برآورده شده است.
به عنوان مثال، رابطه «برادر بودن» به طور کامل تعریف می شود اگر لیستی از همه جفت افراد تهیه کنیم که یکی از آنها برادر دیگری است.
این رابطه را می توان نه تنها برای جفت اشیاء (دودویی)، بلکه برای سه قلو، چهارتایی و غیره نیز تعریف کرد.
نمونه هایی از روابط سه مکان (سه تایی) عملیات جبری هستند. به عنوان مثال، رابطه "تشکیل جمع" برای سه گانه اعداد (x، y، z) معنی دارد و در حالتی که x + y = z برآورده می شود.
بیایید به تعریف دقیق تری برویم.
بگذارید A و B مجموعه‌های دلخواه غیر خالی باشند.
تعریف 1.1. حاصلضرب دکارتی مجموعه A و مجموعه B یک مجموعه A x B است که عناصر آن همه جفت های ممکن (a, b) هستند که عنصر اول از مجموعه A و عنصر دوم از مجموعه B گرفته شده است. چنین جفت هایی برابر در نظر گرفته می شوند که عناصر اول و دوم آنها: (a, b) = (c, d) a = c و b = d.
مثال 1.1. اگر A = (0، 1، +) و B = (□، o، ، +)، پس
A B - ((0، □)، (0، o)، (0. )، (0، +)، (1، □)، (1، o)، (1، )، (1، +)، ( +، □)، (+، o)، (+، )، (+، +)). استدلال ساده اعتبار روابط زیر را ایجاد می کند:
=
=
=
4) A زیرمجموعه B و C زیر مجموعه ای از D و سپس زیر مجموعه است
تعریف 1.3. یک رابطه دودویی بین مجموعه های A و B هر زیر مجموعه ای از حاصلضرب دکارتی A x B است، یعنی هر عنصری از مجموعه P(A x B) از همه زیر مجموعه های مجموعه A x B.
اگر |A| = m، |B|=n، سپس حاصل ضرب دکارتی A x B از m جفت مختلف تشکیل می شود. در این مورد | P(A x B) | = 2 mn، - این تعداد کل روابط دودویی ممکن بین مجموعه های A و B است.
ما روابط باینری را با حروف کوچک یونانی نشان خواهیم داد. اگر (a، b) p، آنگاه عنصر a در رابطه با عنصر b در رابطه ρ گفته می شود.
در میان تمام روابط بین مجموعه های A و B، موارد زیر برجسته می شوند: رابطه خالی Ø که شامل یک جفت واحد نیست. یک رابطه جهانی شامل تمام جفت های ممکن، یعنی حاصلضرب دکارتی خود A و B برای هر رابطه ρ P(A x B) ادغام صورت می گیرد
ρ A x B
دو راه مناسب برای نمایش روابط بین عناصر مجموعه های محدود وجود دارد:
) با استفاده از ماتریس های دودویی بولی.
) با استفاده از نمودارها
فرض کنید A =(a 1, a 2, …a m), B=(b 1, b 2, …b m), ρ A x B
اجازه دهید یک ماتریس M(ρ) با بعد m x n به صورت زیر بسازیم. سطرهای این ماتریس را با عناصر مجموعه A که به ترتیب مشخصی قرار دارند علامت گذاری می کنیم و به طور مشابه ستون ها را با عناصر مجموعه B مشخص می کنیم. سپس عناصر ماتریس M(ρ) را قرار می دهیم:
در اینجا 0، 1 عناصر جبر دودویی بولی B2 هستند. بنابراین، عنصر معنای منطقی عبارت "این جفت متعلق به رابطه ρ است" را نشان می دهد.
واضح است که روابط مختلف بین مجموعه های A و B با ماتریس های دودویی بولی متفاوت مطابقت دارد. تاکید می کنیم که ترتیب عناصر در A و B یک بار برای همیشه ثابت است.
فرض کنید یک مجموعه M-n عنصر و ρ یک رابطه روی آن باشد. یک رابطه روی M را می توان با یک ماتریس n x n مشخص کرد. ماتریسی که برای آن ij = 0 یک رابطه خالی Ø تعریف می کند که برای هیچ جفتی ارضا نمی شود.
ماتریسی که برای آن ij = 1 رابطه کامل M x M را مشخص می کند که برای همه جفت ها برآورده می شود.
نقش ویژه ای نیز توسط ماتریس ||δ i j ||، جایی که
این نماد را نماد کرونکر می نامند. این ماتریس مربوط به به اصطلاح رابطه مورب E یا رابطه برابری است: (x, y)، اگر x و y همان عنصر مجموعه باشند.
معرفی رابطه ضد قطری با شرایط زیر نیز مفید است:
برای روابط خالی، کامل، مورب و ضد قطری، یک ویژگی عجیب رخ می دهد - ماتریس های آنها به انتخاب شماره گذاری عناصر مجموعه M بستگی ندارد. به عبارت دیگر، اگر رابطه ρ طوری باشد که برای هر انتخاب شماره گذاری در M باشد. ماتریس ها || یک ij || منطبق هستند، پس ρ یا کامل، خالی، مورب یا پاد مورب است.
شما می توانید رابطه را به روش دیگری نشان دهید:
اجازه دهید گراف (گراف) G(ρ) را به صورت زیر تعریف کنیم: مجموعه رئوس این نمودار مجموعه M را تشکیل می دهد، در این صورت یک یال از راس a i به راس b j رسم می شود و فقط اگر 
و اگر (a i, a i) باشد، در نقطه a i یک حلقه می کشیم که از همان نقطه خارج شده و وارد می شود.
یک رابطه خالی مربوط به یک نمودار بدون فلش و حلقه است. رابطه کامل توسط یک نمودار کامل ارائه می شود (همه رئوس به همه رئوس متصل هستند، شکل 1.2).
برنج. 1.1 
برنج. 1.2
یک نمودار نمایش هندسی یک رابطه است، همانطور که یک نمودار نمایش هندسی یک تابع است. زبان هندسی زمانی مفید است که نمودار بسیار ساده باشد. برعکس، مطالعه و توصیف نمودارهایی با تعداد رئوس زیاد از نظر روابط راحت تر است.
II. به عنوان روابط عمل می کند
توابع را نیز می توان یک مورد خاص از روابط در نظر گرفت. بگذارید رابطه در مجموعه M طوری باشد که برای هر xM دقیقاً یک عنصر y M وجود داشته باشد که برای آن (x, y) . بنابراین، هر عنصر xM با مقداری y M مرتبط است که با این شرط تعریف می‌شود. این رابطه تابع یا نگاشت نامیده می شود. مجموعه جفت هایی که (x,y) برای آنها نمودار تابع نامیده می شود.
مثال: اگر M یک خط عددی باشد و رابطه برابری x = y باشد، نمودار از تمام نقاط شکل (x, x) تشکیل شده و نیمساز زاویه مختصات است (گراف تابع y = ایکس). اگر رابطه برای آن جفت هایی که y = sin x برای آنها برقرار باشد، نمودار این تابع یک سینوسی معمولی است.
بنابراین، تعریف ما از گراف، تعمیم نمودار معمولی توابع عددی است.
III. عملیات روی روابط
از آنجایی که روابط بین مجموعه‌های A و B چیزی بیش از زیرمجموعه‌های مجموعه A x B نیستند، بنابراین همه عملیات نظری مجموعه‌ها برای آنها تعریف می‌شوند.
تعریف 1.4. تقاطع روابط ρ و δ تقاطع زیر مجموعه های مربوطه است. واضح است که (x، y) اگر و فقط اگر به طور همزمان (x، y) 
.
تعریف 1.5. اتحاد روابط ρ و δ اتحاد زیر مجموعه های مربوطه است. واضح است که (x,y) اگر و فقط در صورتی که حداقل یکی از روابط (x,y) راضی باشد.
نقش مهمی توسط عملیات نشان داده شده با ρδ - حاصلضرب روابط ایفا می شود. این عملیات به صورت زیر تعریف می شود: رابطه (x, y) معادل این واقعیت است که یک z وجود دارد که برای آن (x, z) وجود دارد. 
IV. خواص روابط
تعریف 1.6. رابطه ρ در صورتی بازتابی نامیده می‌شود که همیشه بین جسم و خودش ارضا شود: (x, x).
روابط انعکاسی همیشه به شکل ماتریس هایی با ماتریس هایی در مورب اصلی نشان داده می شوند. در نموداری که یک رابطه بازتابی را نشان می دهد، هر رأس دارای یک حلقه است.
تعریف 1.7. یک رابطه ρ ضد بازتابی نامیده می شود اگر از (x, y) همیشه از x ≠ y پیروی کند.
رابطه «برادر بودن»، «بزرگتر بودن» ضد بازتاب است.
ماتریسی که رابطه ضد بازتابی را نشان می‌دهد دارای صفر در مورب اصلی است و نمودار مربوطه قطعاً هیچ حلقه‌ای ندارد.
تعریف 1.8. یک رابطه ρ متقارن نامیده می شود اگر (x, y) همیشه دلالت بر (y, x) داشته باشد.
در ماتریسی که نشان دهنده یک رابطه متقارن است، عناصری که به طور متقارن نسبت به قطر اصلی قرار گرفته اند با یکدیگر برابرند a ij = a ji.
در ستون مربوطه، همراه با هر فلش، یک فلش در جهت مخالف وجود دارد. یک رابطه متقارن را می توان به عنوان یک گراف بدون جهت نشان داد.
تعریف 1.9. یک رابطه ρ نامتقارن نامیده می شود اگر حداقل یکی از دو رابطه (x، y) یا (y، x) ارضا نشود.
برای عناصر ماتریس این منجر به برابری می شود: a ij ∙a ji = 0
در نمودار مربوطه، فلش هایی که دو راس را در جهت مخالف به هم متصل می کنند، وجود ندارد.
قضیه 1.1: اگر یک رابطه نامتقارن باشد، آنگاه ضد بازتابی است.
تعریف 1.10. یک رابطه ρ در صورتی ضد متقارن نامیده می شود که روابط (x, y) و (y, x) به طور همزمان فقط زمانی که x = y ارضا شوند.
برای عناصر ماتریس این منجر به برابری می شود: a ij ∙a ji = 0، زمانی که i≠j
تعریف 1.11. یک رابطه ρ متعدی نامیده می شود اگر از این واقعیت که روابط (x، z) و (z، y) برقرار هستند، نتیجه می شود که (x، y). با استقرا، این به ویژگی زیر دلالت دارد: اگر (x، z 1)، (z 1، z 2) ... (z n -1، y) سپس (x، y).
این ویژگی در یک نمودار به خوبی تفسیر می شود: اگر نقاط x و y توسط مسیری در جهت فلش ها به هم متصل شوند، فلشی وجود دارد که مستقیماً از راس x به راس y منتهی می شود.
ریاضیات رابطه هم ارزی
فصل 2. تقسیم به کلاس. رابطه هم ارزی خواص هم ارزی مجموعه فاکتور
تقسیم به طبقات رابطه هم ارزی
تعریف 2.1. بیایید آنهایی و فقط آن دسته از اشیاء یک مجموعه معین را که دارای همان مجموعه ویژگیهای رسمی هستند که در یک موقعیت معین ضروری هستند، قابل تعویض بنامیم.
اجازه دهید مجموعه تمام اشیاء قابل تعویض با شی x را با M x نشان دهیم. واضح است که x M x و اتحاد همه M x (برای همه x ممکن از M) با مجموعه کامل M منطبق است:
بیایید وانمود کنیم که 
. این بدان معنی است که عنصر z وجود دارد به طوری که به طور همزمان به و و تعلق دارد. بنابراین x با z و z با y قابل تعویض است. بنابراین، x با y و بنابراین با هر عنصری قابل تعویض است. بدین ترتیب . سوئیچینگ معکوس نیز به همین ترتیب نشان داده شده است. بنابراین، مجموعه هایی که در اتحاد (2.1) رخ می دهند یا قطع نمی شوند یا کاملاً منطبق می شوند.
تعریف 2.2. ما سیستمی از زیرمجموعه های غیر خالی (M 1, M 2,….) از مجموعه M را بخشی از این مجموعه می نامیم اگر
به خود مجموعه ها کلاس های پارتیشن می گویند.
تعریف 2.3. یک رابطه ρ در یک مجموعه M معادل (یا رابطه هم ارزی) نامیده می شود اگر یک پارتیشن (M 1, M 2,...) از مجموعه M وجود داشته باشد به طوری که (x, y) ارضا شود اگر و فقط اگر x وجود داشته باشد. و y متعلق به کلاس کلی M i از یک پارتیشن معین است.
فرض کنید (M 1 , M 2 ,….) پارتیشنی از مجموعه M باشد. بر اساس این پارتیشن، رابطه ρ را بر روی M تعریف می کنیم: (x, y)، اگر x و y متعلق به کلاس کلی M i باشند. این پارتیشن بدیهی است که رابطه ρ یک هم ارزی است. اجازه دهید ρ رابطه هم ارزی مربوط به یک پارتیشن داده شده را بنامیم.
تعریف 2.4. اگر در هر زیر مجموعه M i عنصر x i موجود در آن را انتخاب کنیم، این عنصر استاندارد برای هر عنصر y موجود در همان مجموعه M i نامیده می شود. طبق تعریف، فرض کنیم که رابطه ρ* «استاندارد بودن» (x i, y) برآورده شده است.
به راحتی می توان دریافت که معادل ρ مربوط به یک پارتیشن معین را می توان به صورت زیر تعریف کرد: (z، y) اگر z و y یک استاندارد مشترک داشته باشند (xi، z) و (xi، y).
مثال 2.1: مجموعه اعداد صحیح غیر منفی را به عنوان M در نظر بگیرید و تقسیم آن را به مجموعه M 0 اعداد زوج و مجموعه M 1 از اعداد فرد ببرید. رابطه هم ارزی مربوط به مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نشان داده می شود:
و می خواند: n قابل مقایسه با m مدول 2 است. طبیعی است که 0 را برای اعداد زوج و 1 را برای اعداد فرد به عنوان استاندارد انتخاب کنیم. به همین ترتیب، با تقسیم همان مجموعه M به k زیر مجموعه های M 0، M 1، ... M k -1، که در آن M j شامل تمام اعدادی است که با تقسیم بر k، باقیمانده j را به دست می آورند، به رابطه هم ارزی می رسیم:
اگر n و m هنگام تقسیم بر k باقیمانده یکسانی داشته باشند صادق است.
طبیعی است که باقیمانده مربوطه j را به عنوان استاندارد در هر M j انتخاب کنیم.
II. مجموعه فاکتور
اجازه دهید یک رابطه هم ارزی باشد. سپس، طبق قضیه، یک پارتیشن (M 1، M 2، ...) از مجموعه M به کلاس هایی از عناصر معادل یکدیگر وجود دارد - به اصطلاح کلاس های هم ارزی.
تعریف 2.5. مجموعه کلاس های هم ارزی با توجه به یک رابطه با M/ نشان داده می شود و به عنوان مجموعه ضریب مجموعه M نسبت به یک رابطه خوانده می شود.
فرض کنید φ: M → S یک نگاشت سطحی از مجموعه M بر روی مجموعه ای از S باشد.
برای هر φ: M → S - نقشه برداری سطحی یک رابطه هم ارزی در مجموعه M وجود دارد به طوری که M/ و S را می توان در متناظر یک به یک قرار داد.
III. خواص هم ارزی
تعریف 2.6. رابطه ρ در مجموعه M اگر بازتابی، متقارن و متعدی باشد، رابطه هم ارزی نامیده می شود.
قضیه 2.1: اگر یک رابطه ρ در مجموعه M بازتابی، متقارن و متعدی باشد، یک بخش (M 1 , M 2 ,….) از مجموعه M وجود دارد به طوری که (x, y) اگر و فقط اگر x و y متعلق به یک کلاس کلی M i از یک پارتیشن معین است.
معکوس: اگر یک پارتیشن داده شود (M 1، M 2، ....) و رابطه دودویی ρ به صورت "متعلق به کلاس کلی پارتیشن" باشد، ρ انعکاسی، متقارن و متعدی است.
اثبات:
یک رابطه انعکاسی، متقارن و گذرا را روی M در نظر بگیرید. اجازه دهید برای هر یک از تمام z که (x، z) ρ تشکیل شده باشد.
لم 2.1: برای هر x و y، یا یا 
از لم و انعکاس رابطه ρ نتیجه می‌شود که مجموعه‌هایی از فرم پارتیشنی از مجموعه M را تشکیل می‌دهند. اجازه دهید اکنون (x, y) ρ. این به این معنی است که y. اما همچنین x به دلیل (x, x) ρ. بنابراین، هر دو عنصر در . بنابراین، اگر (x، y) ρ، x و y در کلاس عمومی پارتیشن قرار می گیرند. برعکس، اجازه دهید u و v. اجازه دهید نشان دهیم که (u، v) ρ در واقع، (x، u) ρ و (x، v) ρ داریم. از این رو، با تقارن (u، x) ρ. با گذر، از (u، x) ρ و (x، v) ρ به دنبال (u، v) ρ می‌آید. قسمت اول قضیه ثابت شده است.
اجازه دهید یک پارتیشن (M 1، M 2،….) از مجموعه M داده شود. اتحاد همه کلاس های پارتیشن با M منطبق است، سپس هر x در برخی کلاس ها گنجانده می شود. نتیجه می شود که (x، x) ρ، یعنی. ρ - بازتابی. اگر x و y در یک کلاس باشند، y و x در یک کلاس هستند. این بدان معنی است که (x, y) ρ به معنای (y, x) ρ است، یعنی. رابطه متقارن است حال اجازه دهید (x, y) ρ و (y, z) ρ باقی بمانند. این بدان معناست که x و y در یک کلاس و y و z در یک کلاس هستند. کلاس ها دارای یک عنصر مشترک y هستند و بنابراین منطبق هستند. این به این معنی است که x و z در کلاس گنجانده شده اند. (x, z) ρ برقرار است و رابطه متعدی است. قضیه ثابت شده است.
IV. عملیات بر روی هم ارزی ها
در اینجا ما برخی از عملیات تئوری مجموعه ها را بر روی هم ارزی ها تعریف می کنیم و ویژگی های مهم آنها را بدون اثبات ارائه می کنیم.
به یاد بیاورید که یک رابطه یک جفت است ()، که در آن M مجموعه ای از عناصر وارد شده به رابطه است، و مجموعه جفت هایی است که رابطه برای آنها برآورده شده است.
تعریف 2.7. تقاطع روابط (ρ 1, M) و (ρ 2, M) رابطه ای است که توسط تقاطع زیر مجموعه های مربوطه تعریف می شود. (x, y) ρ 1 ρ 2 اگر و فقط اگر هر دو (x, y) ρ 1 و (x, y) ρ 2 .
قضیه 2.2: تقاطع معادلهای ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 خود یک رابطه هم ارزی است.
تعریف 2.8. اتحاد روابط (ρ 1, M) و (ρ 2, M) رابطه ای است که با اتحاد زیر مجموعه های مربوطه تعریف می شود. (x, y) ρ 1 ρ 2 اگر و فقط اگر (x, y) ρ 1 یا (x, y) ρ 2 .
قضیه 2.3: برای اینکه اتحاد ρ 1 ρ 2 معادلات ρ 1 ρ 2 خودش یک رابطه هم ارزی باشد لازم و کافی است که
ρ 1 ρ 2 =ρ 1 ρ 2
تعریف 2.9. به مجموع مستقیم روابط (ρ 1، M 1) و (ρ 2، M 2) نسبت می گویند. مجموع مستقیم (ρ 1، M 1) (ρ 2، M 2) نشان داده می شود.
بنابراین، اگر (ρ 1، M 1) (ρ 2، M 2) = ()، آنگاه M=.
قضیه 2.4: اگر , و روابط هم ارز باشند، مجموع مستقیم روابط (ρ 1, M 1) (ρ 2, M 2) = () نیز معادل است.
V. انواع روابط
اجازه دهید چندین نوع مهم دیگر از روابط را معرفی کنیم. نمونه هایی در فصل سوم آورده خواهد شد.
تعریف 2.10. رابطه ρ در مجموعه M اگر انعکاسی و متقارن باشد تحمل نامیده می شود.
تعریف 2.11. رابطه ρ در مجموعه M اگر ضد انعکاسی و متعدی باشد، رابطه ای با نظم دقیق نامیده می شود.
تعریف 2.12. اگر برای هر جفت عنصر x و y از M (x، y) یا (y، x) صادق باشد، یک رابطه مرتب دقیق ρ، مرتبه دقیق کامل نامیده می‌شود.
تعریف 2.13. رابطه ρ در مجموعه M را رابطه ای با نظم غیر دقیق می نامند اگر بتوان آن را به شکل زیر نشان داد:
فصل 3. روابط در ریاضیات مدرسه
روابط بین اجسام هندسی
بسیاری از مفاهیم شناخته شده از ریاضیات مدرسه، در اصل، نام روابط دوتایی هستند، و قضایای اساسی مرتبط با آنها، ویژگی های این روابط را بیان می کنند.
مثال 3.1. بگذارید M مجموعه تمام خطوط در صفحه باشد. نسبت X || Y به این معنی است که خطوط X و Y موازی هستند. اجازه دهید برخی از ویژگی های این رابطه را تعیین کنیم.
نگرش || ضد انعکاس در واقع، هیچ خط مستقیمی با خودش موازی نیست.
نگرش || به طور متقارن، این امر از این واقعیت مشهود است که در تعریف توازی، هر دو خط برابر هستند.
نگرش || تقریبا گذرا یعنی: اگر X || Y و Y || Z، سپس X || Z یا تند X و Z یکسان هستند. در واقع، اگر اینطور نبود، خطوط X و Z قطع می شدند. اما همانطور که از هندسه مشخص است، اگر خط مستقیم Z با یکی از X های موازی قطع شود، با Y های موازی دیگری نیز قطع می شود، یعنی. وجود رابطه Y || غیرممکن است ز.
بنابراین، رابطه موازی بین خطوط مستقیم هنوز خواص خوبی ندارد. اما آنچه در بالا گفته شد، تصور اینکه چه نوع رابطه ای شبیه به موازی بودن، رابطه هم ارزی خواهد بود را آسان می کند. یعنی رابطه را تعریف می کنیم
که زمانی انجام می شود که خطوط موازی یا منطبق باشند. طبق تعریف، X ||| X برای هر خط مستقیم X. تقارن رابطه ||| نیز آشکار است. در نهایت اگر X||| Y و Y ||| Z، سپس X ||| Z. در واقع، اگر X || Y و Y = Z، سپس X || Z; اگر X = Y و Y || Z، سپس X || Z. در نهایت، اگر X || Y و Y || Z، پس با توجه به آنچه قبلا گفته شد، یا X = Z یا X || Z. در همه موارد X ||| داریم ز.
نگرش ||| روی مجموعه ای از خطوط به شکل جبری بسیار طبیعی به نظر می رسد. اگر مختصات دکارتی x و y را در صفحه وارد کنید، آنگاه هر خط مستقیمی که بر محور Ox عمود نباشد (نه عمودی) با معادله y=kx+b به دست می‌آید. به عبارت دیگر، هر خط (با استثنای مشخص شده) با یک جفت اعداد (k, b) تعریف می شود. بگذارید خط مستقیم X با معادله y=kx+b و خط مستقیم Y با معادله y=k’x+b’ به دست آید. آنگاه رابطه X|||Y ارضا می شود اگر و فقط اگر k=k’ (k مماس زاویه میل خط مستقیم به محور Ox است). رابطه X||Y یعنی k=k’ و در عین حال b≠b’، یعنی. خطوط مستقیم متفاوت است برای خطوط عمودی، می توانیم k=∞ () را قرار دهیم و شرط k=k’ همچنان به معنای X|||Y خواهد بود. با این حال، این توافق خیلی خوب نیست، زیرا برای k=∞ ما پارامتر دومی نداریم که خطوط موازی را متمایز کند.
در هندسه تحلیلی، یک شکل جهانی (عادی) بیشتر برای تعیین یک خط مستقیم داده می شود: x cos α + y sin α - p = 0، که یک خط مستقیم از هر نوع را توصیف می کند. در اینجا p طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم است، α زاویه شیب این عمود بر محور آبسیسا است.
بنابراین، هر خط یک به یک با یک جفت اعداد (α، p) مرتبط است، که در آن 0 ≤ α< 2π и 0 ≤ р < +∞. Соотношение X|||Y означает, что для соответствующих прямых α = α’ или α = α’ + π. Каждой прямой соответствует точка на плоскости параметров α и р, лежащая в области, изображенной на рисунке 3.2. Пары вертикальных прямых α=const и α+ π=const (0 ≤ α < π) суть классы эквивалентности отношения |||.
مثال 3.2. در مجموعه خطوط مستقیم در یک صفحه، رابطه مهم دیگری وجود دارد: X ┴Y (X عمود بر Y است). رابطه عمودی دارای ویژگی های مهم زیر است:
1. ضد انعکاس. X غیرممکن ┴ X.
2. تقارن. اگر X ┴ Y، سپس Y ┴ X.
3. اگر X ┴ Y و Y ┴ Z آنگاه برای X ┴ Z غیرممکن است. از X ┴ Y و Y ┴ Z بدیهی است که X ||| Z. برعکس، اگر X ||| Z، سپس یک عمود Y مشترک به خطوط X و Z وجود دارد، یعنی. به گونه ای Y که X ┴ Y و Y ┴ Z.
هر دو عبارت آخر به این معنی است که مجذور نسبت عمود بر نسبت است ||| - "موازی سازی تقویت شده":
┴ ┴ = ┴ 2 =|||.
مثال 3.3. اجازه دهید در M یک رابطه X Per Y دیگر معرفی کنیم، به این معنی که خطوط حداقل یک نقطه مشترک دارند، یعنی. تقاطع یا منطبق شدن واضح است که رابطه Per انعکاسی، متقارن است، اما متعدی نیست و یک رابطه تساهل است.
اجازه دهید نقطه مشخصی P را در صفحه انتخاب کنیم و مجموعه K p تمام خطوطی را که از این نقطه عبور می کنند در نظر بگیریم. به راحتی می توان فهمید که K p یک کلاس تحمل است. در واقع، هر خط مستقیمی از K p دارای یک نقطه مشترک است، یعنی خود نقطه P، از سوی دیگر، هر خط X که در K p گنجانده نشده است، با خطی از K p، یعنی خطی که از نقطه عبور می کند، تلاقی نمی کند. P به موازات X.
مثال 3.4. اجازه دهید M مجموعه تمام مثلث های روی صفحه باشد. تساوی و تشابه مثلث ها روابط هم ارزی هستند.
مثال 3.5. اجازه دهید مجموعه دایره های روی صفحه را با M k نشان دهیم و رابطه X |= Y را با این شرط تعریف کنیم که دایره X داخل دایره Y باشد. این رابطه ضد بازتابی، متعدی است، یعنی. یک دستور سخت است این ترتیب کامل نیست، زیرا دایره هایی وجود دارد که هیچ یک در داخل دیگری قرار ندارد.
مثال 3.6. نام M را به مجموعه تمام خطوط مستقیم نسبت می دهیم سپس می توانیم رابطه بین خطوط مستقیم و دایره ها را در نظر بگیریم. نمونه ای از چنین رابطه ای رابطه X Cas Y است - خط مستقیم X دایره Y را لمس می کند.
II. روابط بین معادلات
اکنون مجموعه M از معادلاتی به شکل زیر تشکیل شده است:
f(x)=g(x) (α)
مجموعه تمام ریشه های معادله α با Rα نشان داده می شود.
مثلا برای معادله
x 2 = x 3 (α 1)
Rα 1 = (0,1). برای معادله
cos x=sin x (α 2)
Rα 2 =(…).برای معادله
X 2 =-1 (α 3)
Rα 3 =Ø. برای معادله
(1+ x) 2 = x 2 +2x+1 (α 4)
Rα 4 =(-∞، +∞).
مثال 3.7. حال اجازه دهید روابط بین معادلات را معرفی کنیم: اگر Rα = Rβ معادلات α و β را معادل α ≈ β می نامیم.
از این واقعیت که تساوی مجموعه ها یک رابطه هم ارزی است، به راحتی نتیجه می شود که رابطه ≈ یک رابطه هم ارزی است. در دوره مدرسه، تبدیل معادلات مورد مطالعه قرار می گیرد که معادله α را به معادله β تبدیل می کند.
مثال 3.8. معادله α قوی تر از معادله β نیست: α => β اگر Rα در Rβ موجود باشد. در این مورد می گویند که معادله β ضعیفتر از α نیست.
رابطه => بازتابی و متعدی است، یعنی. یک شبه نظم است. از α => β و β => α معادل زیر است: α ≈ β. برعکس، از معادل α ≈ β نتیجه می شود که α => β و β => α. بنابراین، ≈ = =>=> -1.
مثال 3.9. در مجموعه ای از معادلات که حداقل یک ریشه دارند، تعیین رابطه تحمل طبیعی آسان است - وجود ریشه های مشترک: Rα ∩ Rβ ≠ Ø.
مثال 3.10. همچنین می توان رابطه هم ارزی موثر را معرفی کرد. معادلات α و β به طور موثر معادل نامیده می شوند اگر بتوان هر یک از آنها را با استفاده از تعداد محدود تبدیل معادل (تکنیک های مجاز از یک لیست ثابت) به دیگری تبدیل کرد.
با توجه به گذرا بودن رابطه، هر تعداد از کاربردهای چنین تکنیک هایی معادل سازی را نقض نمی کند. بنابراین معادلات معادل موثر معادل هستند که می توان آن را شمول یک رابطه در رابطه دیگر نامید.
نمونه های در نظر گرفته شده از روابط به وضوح مفهوم روابط را نشان می دهد، از جمله روابط هم ارزی، ویژگی های آنها به راحتی توسط ابزار ریاضیات مدرسه تأیید می شود و کاملاً واضح است. بنابراین می‌توان مفهوم روابط را به دانش‌آموزان بزرگتر که در باشگاه‌های ریاضی تحصیل می‌کنند، معرفی کرد.
نتیجه
روابط باینری یک دستگاه بسیار راحت و ساده برای حل مسائل بسیار متنوع است. زبان روابط دودویی (و عمومی تر) برای زبان شناسی ریاضی، زیست شناسی ریاضی و تعدادی دیگر از حوزه های کاربردی (برای ریاضیات) بسیار راحت و طبیعی است. این به راحتی با گفتن اینکه جنبه هندسی نظریه روابط دودویی صرفاً نظریه گراف است توضیح داده می شود. اما به همان اندازه که نظریه هندسی نمودارها شناخته شده است و در ادبیات به خوبی پوشش داده شده است، جنبه های جبری نظریه روابط بسیار ضعیف ارائه شده است.
در این میان، جبر روابط را می توان کاملاً علنی توضیح داد. به طوری که می تواند توسط دانش آموزان بزرگتر که در باشگاه های ریاضی درس می خوانند یاد بگیرند.
در این اثر مفاهیم رابطه و هم ارزی مورد بررسی قرار گرفت، برخی از ویژگی های آنها مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت، تفاسیر هندسی و مثال های گویا ارائه شد.
فهرست منابع استفاده شده
1. بوگومولوف A.M., Saliy V.N. مبانی جبری نظریه سیستم های گسسته. - م.: علم. Fizmatlit, 1997. -368 ص.
2. شریدر یو.آ. برابری. شباهت. سفارش. - M.: Nauka، 1971.-256 ص.
کوستریکین A.I. مقدمه ای بر جبر. - م.: ناوکا، 1977.-334 ص.
B.L. ون در واردن جبر مدرن. در 2 جلد T.1.- M., OGIZ GOSTEKHIZDAT, 1947 -339 p.
در بسیاری از مسائل محاسباتی، مجموعه‌های بزرگ به گونه‌ای برداشت و تقسیم می‌شوند که می‌توان با استفاده از چندین مثال به درستی انتخاب شده، تمام موقعیت‌های مورد علاقه ما را مطالعه کرد.
تعریف 1:فرض کنید A ¹ Æ و (A i ),i= مجموعه ای از زیر مجموعه ها به گونه ای که A= . سپس مجموعه این زیر مجموعه ها نامیده می شود پوشش داده شدهمجموعه A.
مثلاً (A, B) پوششی از AÈB است. (A, AÈB, B, C) -پوشاننده AÈBÈC.
اظهار نظر: در حالت کلی، پوشش می تواند بی نهایت باشد. با این حال، از نظر مطالعه خواص خاص، این وضعیت باعث اشتیاق نمی شود.
تعریف 2: با تقسیم کردن مجموعه غیر خالی A را پوشش می گویند که اگر i¹ j، آنگاه A i ÇA j =Æ.
به عنوان مثال، (A, A’) یک پارتیشن است U.
(AÇB, AÇB’, A’ÇB, A’ÇB’) – پارتیشن U,
(A\B، AÇB، B\A) - پارتیشن AÈB.
می توانید پارتیشن یک مجموعه غیر خالی را با استفاده از روابطی که مانند روابط برابری در مجموعه ای از اعداد یا مجموعه ها رفتار می کنند، سازماندهی کنید.
تعریف 3:یک رابطه باینری در یک مجموعه نامیده می شود رابطه هم ارزی، اگر بازتابی، متقارن و متعدی باشد.
مثال ها:
1. در مجموعه همه مثلث ها: ((x، y)| x و y مساحت یکسانی دارند)
2. در مجموعه همه برنامه ها: ((a, b)| a, b همان تابع را در یک ماشین خاص محاسبه کنید)
تعریف 4:فرض کنید R یک رابطه هم ارزی در مجموعه A و xOA باشد. کلاس هم ارزی ایجاد شده توسط xمجموعه (y| xR y)=[x] R نامیده می شود.
تعریف 5:هر عنصر از یک کلاس هم ارزی نامیده می شود نمایندهاین کلاس. سیستم کامل نمایندگانمجموعه ای از نمایندگان فراخوانی می شود که از هر کلاس یکی می باشد.
مثال 3:
ناعداد طبیعی هستند، s یک عنصر ثابت است. بر زرابطه تعریف شده است: r s = ((x, y)| x-y=ns, nО ز). نگرش مقایسه modulo s (نشان: xºy (mod s)).
به راحتی می توان بررسی کرد که مدول های رابطه مقایسه یک رابطه هم ارزی در مجموعه است ز.
مثلاً s=10 را بگذارید. سپس:
= {11,21,-9,10 976 631,.... }
= {66,226,-24,... }
در واقع فقط 10 کلاس معادل برای این رابطه وجود دارد و اعداد 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 تشکیل می شوند. سیستم کامل نمایندگان. کلاس های هم ارزی بر اساس این رابطه هم ارزی نامیده می شوند کلاس های کسر modulo s.
تعریف 6: مجموعه فاکتورمجموعه A نسبت به یک رابطه هم ارزی R مجموعه تمام کلاس های هم ارزی نسبت به این رابطه نامیده می شود و A/R نشان داده می شود.
مجموعه ای از طبقات باقیمانده مدول s با نشان داده می شود Z s.
رخ می دهد
قضیه (در مورد پارتیشن بندی):فرض کنید R یک رابطه هم ارزی در یک مجموعه غیر خالی A باشد. سپس مجموعه ضریب A/R بخشی از مجموعه A است.
اثبات:
"xОA(xО[x] R). باید ثابت کنیم که هر عنصر از مجموعه A دقیقاً به یک کلاس تعلق دارد. یعنی ثابت خواهیم کرد که اگر کلاس ها حداقل یک عنصر مشترک داشته باشند، آنگاه بر هم منطبق هستند. اجازه دهید cО[ a] و cО [b]، اما پس از آن x R a، R c، Þ x R b (گذرا بودن R) مشابه [b] ] М [a].
Q.E.D.
معکوس نیز صادق است. فرض کنید S پارتیشنی از یک مجموعه A باشد و Rs یک رابطه دودویی روی A باشد، به طوری که: R=((x,y)ïx و y متعلق به همان عنصر پارتیشن باشند)، سپس R را فراخوانی می کنیم - رابطه تعیین شده توسط پارتیشن S.
قضیه (معکوس):رابطه R بر روی A که با پارتیشن S تعریف می شود، یک رابطه هم ارزی روی A است و A/R s = S. (به طور مستقل)
تمرینات:
1. بگذارید A یک مجموعه متناهی باشد. کدام روابط هم ارزی بیشترین و کمترین تعداد کلاس های هم ارزی را به دست می دهد.
2. اگر (A 1 , A 2 , ..., A n ) پارتیشنی از A و A محدود باشد، آنگاه .
رابطه سفارش
از مفهوم برابری (مثلاً اعداد) مفهوم ریاضی هم ارزی ناشی می شود. و از مفهوم نابرابری نوع دیگری از رابطه به وجود می آید که به آن روابط نظم می گویند.
تعریف 1: سفارش جزئیدر مجموعه A یک رابطه باینری است که بازتابی، ضد متقارن و متعدی است.
نظم جزئی تعمیم رابطه £ به R است. می توانیم این مفهوم را معرفی کنیم دستور دقیق ، مربوط به رابطه< на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).
اگر £ داده شود، می توانیم تعریف کنیم<: a
مجموعه ای که در آن رابطه سفارش داده می شود با نشان داده می شود
(X, £) (یا (X,<), если порядок строгий).
تعریف 2:مجموعه ای که بر روی آن رابطه سفارش داده می شود نامیده می شود تا حدی سفارش داده شده
مثال: A یک مجموعه است. ( پ (الف)، Í، بررسی این رابطه آسان است Í یک رابطه سفارش در است پ (آ).
تعریف 3:یک رابطه مرتبه R روی A نامیده می شود کامل (خطی ) به ترتیب، اگر "x، yÎA (xR y Ú yR x). مجموعه (A, R) مرتب خطی نامیده می شود.
مثال ها:
1. نسبت £ به آریک رابطه سفارش کامل است. بدین ترتیب ( R،£) - به صورت خطی مرتب شده است.
2. و اینجا ( پ (الف)، Í) به صورت خطی مرتب نشده است
3. x£y Û y x در مجموعه ننظم کامل ندارد
تعریف 4:اجازه دهید (A, £) یک مجموعه نیمه سفارش داده شده است. عنصر AOA نامیده می شود کوچکترین/بزرگترین/در A اگر "xОA (a£ x) /x £ a /. عنصر bОА فراخوانی می شود حداقل / حداکثر /اگر "xÎA (x£ a Þ x=a) /a £ x Þ a=x /.
وظیفه:ثابت کنید که برای یک مجموعه منظم خطی مفاهیم بزرگترین (کوچکترین) و حداکثر (حداقل) عناصر منطبق هستند. نمونه ای از یک مجموعه نیمه مرتب شده را در جایی که مطابقت ندارند ذکر کنید.
ترکیب روابط
اجازه دهید مجموعه های A، B و C و روابط S بین A و B (یعنی SÌA´B) و R بین B و C (RÌB´C) داده شوند. بیایید یک رابطه جدید بین A و C به صورت زیر تعریف کنیم:
تعریف 1:مجموعه تمام جفت ها (x, y) به گونه ای که zÎB وجود داشته باشد به طوری که (x, z)О S و (z, y)О R نامیده شود. ترکیب روابطاس و آر. تعیین شده: R o S. بنابراین، R o S Ì A ´ C.
R oS = ((x, y)| $zÎB((x,z)ÎSÙ(z,y)ÎR)) یا x R o Sy Û $zÎB(xSzÙzRy).
مثال 1 : بگذارید A=(1، 2، 3)، B=(1، 2، 3، 4، 5، 6)، C=(3، 6، 9، 12)، s =((1،2)، (2) ,4)، (3،6))، r=((1،3)، (2،6)، (3،9)، (4،12)). سپس r o s=((1.6)، (2.12)).
بیایید وضعیت را در تصویر نشان دهیم:
مثال 2 : بگذارید s و r روابط روشن باشند نبه طوری که
S = ((x,x+1)ïxО ن) و r = ((x 2,x)ïxО ن). سپس D r = (x 2 ïxО ن)=(1،4،9،16،25،...)، و D s = ن.
D r o s =(xïxO نÙ x+1=y 2 )=(3،8،15،24،...).
در موردی که یک رابطه روی یک مجموعه تعریف شده باشد، می توان آن را با خودش ترکیب کرد:
sos = s 2 = ((x,x+2)½xO ن) و ror = r 2 = ((x 4 ,x)½xO ن}.
با استفاده از این نماد، می توانیم قدرت n رابطه را تعریف کنیم:
، جایی که nО ن n>1.
به عنوان مثال، برای روابط از مثال 2، ما داریم:
, 
من می خواهم قیاس را با ضرب تکمیل کنم. برای انجام این کار، تعریف طبیعی زیر را معرفی می کنیم:
تعریف 2:روابط دودویی نامیده می شود برابر، اگر به عنوان زیر مجموعه برابر باشند، یعنی R=S if"x,y((x,y)ÎRÛ(x,y)ÎS).
واضح است که روابط باید بر روی همان مجموعه ها تعریف شود.
قضیه (خواص ترکیب روابط):برای هر رابطه باینری R, S, T برابری های زیر برقرار است:
1. (RoS)oT = Ro(SoT)
2. (RoS) -1 = S -1 o R -1
اثبات:
1) برای هر x و y داریم:
x(RoS)oTy º $z(xTzÙ(zRoSy)) º $z$t(xTzÙ(zStÙtRy)) º $z$t((xTzÙzSt)ÙtRy) º $t(($z(xTzÙzSt))Ùt $t((xSoTt)ÙtRy) º xRo(SoT)y.
2) x(RoS) -1 y º yRoSx º $z (ySzÙzRx) º $z (xR -1 zÙzS -1 y) º xS -1 یا R -1 y.
Q.E.D.
اظهار نظر:اگر R یک رابطه در مجموعه A باشد، مشخص است که I A oR=RoI A =R. یعنی I A در ضرب اعداد مانند یک رفتار می کند. با این حال نمی توان یک قیاس کامل داشت. از آنجایی که، برای مثال، جابجایی در حالت کلی جایی ندارد، زیرا RoS قابل تعریف است، اما SoR نمی تواند. همانطور که برابری R -1 oR=RoR -1 = I A همیشه معنی ندارد.
بستن رابطه
مفهوم بسته شدن یک مفهوم اساسی ریاضی است و در بیشتر شاخه های ریاضیات کاربرد دارد. اجازه دهید این مفهوم را با یک مثال کلی توضیح دهیم: یک شی x 0 و یک فرآیند P را در نظر بگیرید، که وقتی به صورت متوالی اعمال شوند، مجموعه خاصی را ایجاد می کند و بنابراین، یک دنباله x 1، x 2، ...، x n، را تعریف می کند. .. به طوری که x 1 ÎP(x 0)، x 2 ÎP(x 1)،...، x n ÎP(x n -1)،... 
تعریف 1:مجموعه ای شامل تمام عناصر تمام دنباله هایی که می توان با استفاده از فرآیند P به دست آورد و با x 0 شروع می شود نامیده می شود. بسته شدن فرآیند P نسبت به x 0 .
واضح است که نتیجه یافتن P n (x 0) برای برخی خواهد بود nاین nما از قبل نمی دانیم این به خود فرآیند بستگی دارد. علاوه بر این، اگر عنصر را بگیریم yاز این بسته شدن و ما فرآیند را برای آن اعمال خواهیم کرد R،پس ما چیز جدیدی نخواهیم گرفت یعنی مجموعه را نمی توان به این شکل گسترش داد - بسته است!
مثال : یک مربع S را که ABCD نشان می‌دهند، در نظر بگیرید و فرآیند r را در نظر بگیرید که شامل چرخش مربع در جهت عقربه‌های ساعت 90 درجه است:
| |
| |
| |
| |
| |
اجازه دهید یک رابطه A در مجموعه ای تعریف شود. سپس:
تعریف 2: بسته شدن گذرا رابطه A در یک مجموعه داده شده رابطه A + نامیده می شود:
بنابراین، از یک رابطه غیر گذرا A در یک مجموعه معین می توان یک A + گذرا ساخت.
مثال ها:
1. r - نسبت روشن است ن: r=((x، y)| y=x+1)، سپس r + =((x، y)| x 2.s روشن است س: s=((x، y)| x 3.t روشن س: t=((x، y)| x×y=1)، سپس r + =((x، x)| x¹0) 4. L مجموعه ای از ایستگاه های متروی لندن باشد. L=(a, b, c) ایستگاههای متوالی. N=((x, y)| y به دنبال x است. این یعنی (a, b, (b, c) ÎN; علاوه بر این (a, a), (b, b), (c, c), (a, c) О N 2 . این به معنای N + =L´L است به طور کلی، بسته شدن متعدی بازتابی نیست (مثال 2). فرض کنید A یک رابطه روی X باشد. بگذارید A 0 =I X باشد. تعریف 3: بسته شدن بازتابی A*رابطه A را رابطه می نامند مثال ها:
1. r*=((x، y)| x£y) I. تقسیم به طبقات. رابطه هم ارزی تعریف 2.1. بیایید آنهایی و فقط آن دسته از اشیاء یک مجموعه معین را که دارای همان مجموعه ویژگیهای رسمی هستند که در یک موقعیت معین ضروری هستند، قابل تعویض بنامیم. اجازه دهید مجموعه تمام اشیاء قابل تعویض با شی x را با M x نشان دهیم. واضح است که x M x و اتحاد همه M x (برای همه x ممکن از M) با مجموعه کامل M منطبق است: بیایید وانمود کنیم که این بدان معنی است که عنصر z وجود دارد به طوری که به طور همزمان به و و تعلق دارد. بنابراین x با z و z با y قابل تعویض است. بنابراین، x با y و بنابراین با هر عنصری قابل تعویض است. بدین ترتیب. سوئیچینگ معکوس نیز به همین ترتیب نشان داده شده است. بنابراین، مجموعه هایی که در اتحاد (2.1) رخ می دهند یا قطع نمی شوند یا کاملاً منطبق می شوند. تعریف 2.2. ما سیستمی از زیرمجموعه های غیر خالی (M 1, M 2,….) از مجموعه M را بخشی از این مجموعه می نامیم اگر به خود مجموعه ها کلاس های پارتیشن می گویند. تعریف 2.3. رابطه c در مجموعه M معادل (یا رابطه هم ارزی) نامیده می شود اگر یک پارتیشن (M 1 , M 2 ,….) از مجموعه M وجود داشته باشد به طوری که (x, y) اگر و فقط در صورت x و y برقرار باشد. متعلق به کلاس کلی M i از یک پارتیشن مشخص است. فرض کنید (M 1 , M 2 ,….) پارتیشنی از مجموعه M باشد. بر اساس این پارتیشن، رابطه c به M را تعیین می کنیم: (x, y)، اگر x و y متعلق به کلاس کلی M i باشند. از این پارتیشن بدیهی است که رابطه با یک معادل است. اجازه دهید با رابطه هم ارزی مربوط به پارتیشن داده شده تماس بگیریم. تعریف 2.4. اگر در هر زیر مجموعه M i عنصر x i موجود در آن را انتخاب کنیم، این عنصر استاندارد برای هر عنصر y موجود در همان مجموعه M i نامیده می شود. طبق تعریف، فرض کنیم رابطه c* «استاندارد بودن» (x i, y) برآورده شده است. به راحتی می توان دریافت که معادل c مربوط به یک پارتیشن معین را می توان به صورت زیر تعریف کرد: (z، y) اگر z و y یک استاندارد مشترک داشته باشند (xi، z) و (xi، y). مثال 2.1: مجموعه اعداد صحیح غیر منفی را به عنوان M در نظر بگیرید و تقسیم آن را به مجموعه M 0 اعداد زوج و مجموعه M 1 از اعداد فرد ببرید. رابطه هم ارزی مربوط به مجموعه اعداد صحیح به صورت زیر نشان داده می شود: و می خواند: n قابل مقایسه با m مدول 2 است. طبیعی است که 0 را برای اعداد زوج و 1 را برای اعداد فرد به عنوان استاندارد انتخاب کنیم. به همین ترتیب، تقسیم همان مجموعه M به k زیر مجموعه های M 0، M 1، ... M k-1، که در آن M j شامل تمام اعدادی است که با تقسیم بر k باقیمانده j را بدست می آوریم، به رابطه هم ارزی می رسیم: اگر n و m هنگام تقسیم بر k باقیمانده یکسانی داشته باشند صادق است. طبیعی است که باقیمانده مربوطه j را به عنوان استاندارد در هر M j انتخاب کنیم. II. مجموعه فاکتور اجازه دهید یک رابطه هم ارزی باشد. سپس، طبق قضیه، یک پارتیشن (M 1، M 2، ...) از مجموعه M به کلاس هایی از عناصر معادل یکدیگر وجود دارد - به اصطلاح کلاس های هم ارزی. تعریف 2.5. مجموعه کلاس های هم ارزی با توجه به یک رابطه با M/ نشان داده می شود و به عنوان مجموعه ضریب مجموعه M نسبت به یک رابطه خوانده می شود. فرض کنید μ: M > S یک نگاشت سطحی از مجموعه M بر روی مجموعه ای از S باشد. برای هر μ: M > S - نقشه برداری سطحی یک رابطه هم ارزی در مجموعه M وجود دارد به طوری که M/ و S را می توان در تناظر یک به یک قرار داد. III. خواص هم ارزی تعریف 2.6. رابطه c روی مجموعه M اگر بازتابی، متقارن و متعدی باشد، رابطه هم ارزی نامیده می شود. قضیه 2.1: اگر یک رابطه c در مجموعه M بازتابی، متقارن و متعدی باشد، تقسیمی (M 1 , M 2 ,….) از مجموعه M وجود دارد به طوری که (x, y) اگر و فقط اگر x و y متعلق به یک کلاس کلی M i از یک پارتیشن معین است. برعکس: اگر یک پارتیشن داده شود (M 1، M 2، ....) و رابطه دودویی c به عنوان "متعلق به کلاس کلی پارتیشن" داده شود، آنگاه c بازتابی، متقارن و متعدی است. اثبات: یک رابطه انعکاسی، متقارن و متعدی c را به M در نظر بگیرید. اجازه دهید برای هر یک از تمام z که برای آن (x، z) c باشد. لم 2.1: برای هر x و y، یا یا از لم و انعکاس رابطه c نتیجه می شود که مجموعه های فرم پارتیشنی از مجموعه M را تشکیل می دهند (این پارتیشن را به طور طبیعی می توان پارتیشن متناظر با رابطه اصلی نامید). اجازه دهید اکنون (x، y) c. این به این معنی است که y. همچنین x به موجب (x, x) c. بنابراین، هر دو عنصر در آن گنجانده شده است. بنابراین، اگر (x، y) c، x و y در کلاس پارتیشن عمومی قرار می گیرند. برعکس، اجازه دهید u و v. اجازه دهید نشان دهیم که (u، v) c در واقع، ما (x، u) c و (x، v) c داریم. از این رو، با تقارن (u، x) c. با گذر، از (u، x) c و (x، v) c به دنبال (u، v) c می آید. قسمت اول قضیه ثابت شده است. اجازه دهید یک پارتیشن (M 1، M 2،….) از مجموعه M داده شود. اتحاد همه کلاس های پارتیشن با M منطبق است، سپس هر x در یک کلاس گنجانده می شود. نتیجه می شود که (x, x) c, i.e. s - به صورت انعکاسی. اگر x و y در یک کلاس باشند، y و x در یک کلاس هستند. این بدان معنی است که (x, y) c دلالت بر (y, x) c دارد. رابطه متقارن است اکنون (x، y) c و (y، z) c باقی می مانند. این بدان معناست که x و y در یک کلاس و y و z در یک کلاس هستند. کلاس ها دارای یک عنصر مشترک y هستند و بنابراین منطبق هستند. این به این معنی است که x و z در کلاس گنجانده شده اند. (x, z) برقرار است و رابطه متعدی است. قضیه ثابت شده است. IV. عملیات بر روی هم ارزی ها در اینجا ما برخی از عملیات تئوری مجموعه ها را بر روی هم ارزی ها تعریف می کنیم و ویژگی های مهم آنها را بدون اثبات ارائه می کنیم. به یاد بیاورید که یک رابطه یک جفت است ()، که در آن M مجموعه ای از عناصر وارد شده به رابطه است، و مجموعه جفت هایی است که رابطه برای آنها برآورده شده است. تعریف 2.7. تقاطع روابط (c 1, M) و (c 2, M) رابطه ای است که توسط تقاطع زیر مجموعه های مربوطه تعریف می شود. (x، y) از 1 از 2 اگر و فقط اگر (x، y) از 1 و (x، y) از 2 به طور همزمان. قضیه 2.2: تلاقی معادلات با 1 با 2 با 1 با 2 خود یک رابطه هم ارزی است. تعریف 2.8. اتحاد روابط (c 1, M) و (c 2, M) رابطه ای است که با اتحاد زیر مجموعه های مربوطه تعریف می شود. (x، y) با 1 با 2 اگر و فقط اگر (x، y) با 1 یا (x، y) با 2. قضیه 2.3: برای اینکه اتحاد معادلات با 1 با 2 به خودی خود یک رابطه هم ارزی باشد لازم و کافی است که از 1 از 2 = از 1 از 2 تعریف 2.9. به مجموع مستقیم روابط (c 1, M 1) و (c 2, M 2) نسبت می گویند. مجموع مستقیم (c 1, M 1) (c 2, M 2) نشان داده می شود. بنابراین، اگر (c 1، M 1) (c 2، M 2) = ()، آنگاه M =. قضیه 2.4: اگر و روابط هم ارز باشند، مجموع مستقیم روابط (c 1, M 1) (c 2, M 2) = () نیز معادل است. V. انواع روابط اجازه دهید چندین نوع مهم دیگر از روابط را معرفی کنیم. نمونه هایی در فصل سوم آورده خواهد شد. تعریف 2.10. رابطه c روی مجموعه M اگر انعکاسی و متقارن باشد تلورانس نامیده می شود. تعریف 2.11. رابطه c روی مجموعه M اگر ضد انعکاسی و متعدی باشد، رابطه ای با نظم دقیق نامیده می شود. تعریف 2.12. یک رابطه مرتبه دقیق c را در صورتی که برای هر جفت عنصر x و y از M (x, y) یا (y, x) صادق باشد، ترتیب دقیق کامل می گویند. تعریف 2.13. رابطه c در مجموعه M را رابطه ای با ترتیب غیر دقیق می نامند اگر بتوان آن را به شکل زیر نشان داد: جایی که یک نظم دقیق روی M وجود دارد و E یک رابطه مورب است. سخنرانی 22. روابط هم ارزی و نظم در یک مجموعه 1. رابطه هم ارزی. ارتباط بین رابطه هم ارزی و تقسیم یک مجموعه به کلاس ها. 2. رابطه سفارش. روابط نظم دقیق و غیر دقیق، روابط نظم خطی. سفارش ست ها 3. نتیجه گیری اصلی بیایید به مجموعه کسرها نگاه کنیم ایکس= (1/2، 1/3، 1/4، 2/4، 2/6، 3/6) رابطه برابری. این رابطه: به طور انعکاسی، زیرا هر کسری با خودش برابر است. به طور متقارن، از آنجایی که از این واقعیت است که کسری متر/nبرابر با کسری پ/q، نتیجه می شود که کسر پ/qبرابر با کسری متر/n; متعدی، از آنجایی که از این واقعیت است که کسری متر/nبرابر با کسری پ/qو کسری پ/qبرابر با کسری r/س، نتیجه می شود که کسر متر/nبرابر با کسری r/س. به رابطه تساوی کسرها گفته می شود رابطه هم ارزی. تعریف. یک رابطه R در مجموعه X اگر به طور همزمان دارای خواص بازتابی، تقارن و گذر باشد، رابطه هم ارزی نامیده می شود.
نمونه هایی از روابط هم ارزی عبارتند از روابط برابری اشکال هندسی، رابطه موازی خطوط (به شرطی که خطوط منطبق موازی در نظر گرفته شوند). چرا این نوع رابطه در ریاضیات مشخص شده است؟ رابطه تساوی کسرهای تعریف شده روی مجموعه را در نظر بگیرید ایکس= (1/2، 1/3، 1/4، 2/4، 2/6، 3/6) (شکل 106). می بینیم که مجموعه به سه زیر مجموعه تقسیم می شود: (1/2، 2/4، 3/6)، (1/3، 2/6)، (1/4). این زیر مجموعه ها با هم تلاقی نمی کنند و اتحاد آنها با مجموعه منطبق است ایکس،آن ها ما یک پارتیشن از مجموعه داریم ایکسبه کلاس ها این تصادفی نیست. اصلا، اگر یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه X داده شود، آنگاه پارتیشنی از این مجموعه را به زیرمجموعه های متمایز جفتی (کلاس های هم ارزی) تولید می کند. بنابراین، ما مشخص کردیم که رابطه تساوی روی مجموعه ای از کسرها (1/2، 1/3، 1/4، 2/4، 2/6، 3/6) با تقسیم این مجموعه به کلاس های هم ارزی مطابقت دارد. که هر کدام از کسرهای مساوی در بین خود تشکیل شده است. عکس آن نیز صادق است: اگر هر رابطه ای که در مجموعه X تعریف شده باشد، پارتیشنی از این مجموعه را به کلاس ها ایجاد کند، آنگاه یک رابطه هم ارزی است. مثلاً سر صحنه را در نظر بگیرید X =(1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10) رابطه "با تقسیم بر 3 همان باقیمانده را داشته باشیم." پارتیشنی از مجموعه را تولید می کند ایکسبه کلاس ها: یکی شامل تمام اعدادی می شود که با تقسیم بر 3 باقیمانده 0 را باقی می گذارند (این اعداد 3، 6، 9 هستند)، دوم - اعدادی که با تقسیم بر 3 باقیمانده 1 را باقی می گذارند (این اعداد 1، 4 هستند. ، 7، 10)، و در سوم - همه اعداد، وقتی بر 3 تقسیم می شوند، باقیمانده 2 می شود (اینها اعداد 2، 5، 8 هستند). در واقع، زیرمجموعه های به دست آمده قطع نمی شوند و اتحاد آنها با مجموعه منطبق است ایکس.در نتیجه، رابطه "هنگام تقسیم بر 3 باقیمانده یکسانی دارند" در مجموعه تعریف شده است ایکس،یک رابطه هم ارزی است. توجه داشته باشید که عبارت در مورد رابطه بین رابطه هم ارزی و تقسیم یک مجموعه به کلاس ها نیاز به اثبات دارد. ما آن را زمین می گذاریم. فقط بگوییم که اگر یک رابطه هم ارزی نام دارد، نام مربوطه به کلاس ها داده می شود. به عنوان مثال، اگر یک رابطه تساوی بر روی مجموعه ای از بخش ها مشخص شود (و یک رابطه هم ارزی است)، آنگاه مجموعه قطعات به کلاس هایی از قطعات مساوی تقسیم می شود (شکل 99 را ببینید). رابطه تشابه مربوط به تقسیم مجموعه ای از مثلث ها به کلاس هایی از مثلث های مشابه است. بنابراین، با داشتن یک رابطه هم ارزی در یک مجموعه خاص، می توانیم این مجموعه را به کلاس ها تقسیم کنیم. اما می توانید برعکس این کار را نیز انجام دهید: ابتدا مجموعه را به کلاس ها تقسیم کنید و سپس یک رابطه هم ارزی تعریف کنید، با توجه به اینکه دو عنصر اگر و فقط در صورتی معادل هستند که متعلق به یک کلاس از پارتیشن مورد نظر باشند. اصل تقسیم یک مجموعه به کلاس ها با استفاده از برخی رابطه های هم ارزی یک اصل مهم در ریاضیات است. چرا؟ اولا، معادل - این به معنای معادل، قابل تعویض است. بنابراین، عناصر یک کلاس هم ارزی قابل تعویض هستند. بنابراین، کسرهایی که در یک کلاس هم ارزی قرار دارند (1/2، 2/4، 3/6) از نظر رابطه تساوی غیرقابل تشخیص هستند و کسر 3/6 را می توان با دیگری جایگزین کرد، مثلاً 1. /2. و این جایگزینی نتیجه محاسبات را تغییر نخواهد داد. دوما، از آنجایی که در کلاس هم ارزی عناصری وجود دارد که از نظر یک رابطه قابل تشخیص نیستند، ما معتقدیم که کلاس هم ارزی توسط هر یک از نمایندگان آن تعیین می شود. یک عنصر دلخواه از این کلاس. بنابراین، هر کلاس از کسرهای مساوی را می توان با تعیین هر کسری متعلق به این کلاس مشخص کرد. تعیین یک کلاس هم ارزی توسط یک نماینده، به جای همه عناصر مجموعه، امکان مطالعه مجموعه ای از نمایندگان منفرد از طبقات هم ارزی را فراهم می کند. به عنوان مثال، رابطه هم ارزی "برای داشتن تعداد رئوس یکسان" که بر روی مجموعه ای از چند ضلعی ها تعریف شده است، بخشی از این مجموعه را به کلاس های مثلث، چهار گوش، پنج ضلعی و غیره ایجاد می کند. خصوصیات ذاتی یک کلاس خاص بر روی یکی از نمایندگان آن در نظر گرفته می شود. سومپارتیشن بندی یک مجموعه به کلاس ها با استفاده از یک رابطه هم ارزی برای معرفی مفاهیم جدید استفاده می شود. به عنوان مثال، مفهوم "بسته خطوط" را می توان به عنوان چیزی که در خطوط موازی مشترک است تعریف کرد. به طور کلی، هر مفهومی که یک فرد با آن عمل می کند، طبقه خاصی از هم ارزی را نشان می دهد. "جدول"، "خانه"، "کتاب" - همه این مفاهیم ایده های کلی در مورد بسیاری از اشیاء خاص هستند که هدف یکسانی دارند. نوع مهم دیگر رابطه این است روابط سفارش تعریف. رابطه R در مجموعه X در صورتی که به طور همزمان دارای خواص ضد تقارن و گذر باشد، یک رابطه مرتبه نامیده می شود.
.
نمونه هایی از روابط ترتیب عبارتند از: رابطه "کمتر از" در مجموعه اعداد طبیعی. این رابطه روی مجموعه‌ای از بخش‌ها «کوتاه‌تر» است، زیرا آنها متقارن و متعدی هستند. اگر یک رابطه نظمی خاصیت اتصال را نیز داشته باشد، به آن رابطه می گویند نظم خطی به عنوان مثال، رابطه "کمتر از" در مجموعه اعداد طبیعی یک رابطه با نظم خطی است، زیرا دارای خواص ضد تقارن، گذر و اتصال است. تعریف. مجموعه X در صورتی مرتب نامیده می شود که دارای رابطه ترتیبی باشد.
بنابراین، مجموعه N اعداد طبیعی را می توان با تعیین رابطه "کمتر از" روی آن مرتب کرد. اگر یک رابطه سفارش بر روی یک مجموعه تعریف شده باشد ایکس،دارای خاصیت اتصال است، پس می گوییم که به صورت خطی دستور می دهدیک دسته از ایکس. به عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی را می توان با استفاده از رابطه "کمتر از" و رابطه "چند" مرتب کرد - هر دوی آنها روابط مرتبه هستند. اما رابطه «کمتر از»، بر خلاف رابطه «چندین»، خاصیت پیوستگی را نیز دارد. این بدان معنی است که رابطه "کمتر از" مجموعه اعداد طبیعی را به صورت خطی مرتب می کند. نباید تصور کرد که همه روابط به روابط هم ارزی و روابط نظم تقسیم می شوند. تعداد زیادی از روابط وجود دارد که نه روابط هم ارزی هستند و نه روابط نظمی. اجازه دهید رابطه تساوی را در مجموعه کسرهای X = ( ) در نظر بگیریم. این رابطه: به طور انعکاسی، زیرا هر کسری با خودش برابر است. به طور متقارن، از آنجایی که کسری برابر با کسری است، نتیجه می شود که کسر برابر با کسری است. متعدی، از آنجایی که کسری مساوی کسری و کسری برابر با کسری است، نتیجه می شود که کسر برابر با کسری است. به رابطه تساوی کسرها یک رابطه هم ارزی گفته می شود. تعریف. رابطه R در مجموعه X در صورتی رابطه هم ارزی نامیده می شود که به طور همزمان دارای خواص بازتابی، تقارن و گذر باشد.
. نمونه هایی از روابط هم ارزی عبارتند از روابط برابری اشکال هندسی، رابطه موازی خطوط (به شرطی که خطوط منطبق موازی در نظر گرفته شوند). چرا این نوع رابطه در ریاضیات مشخص شده است؟ اجازه دهید روابط تساوی کسرهای تعریف شده در مجموعه X = ( ) را در نظر بگیریم. (شکل 7). می بینیم که مجموعه به سه زیر مجموعه تقسیم می شود: اصلا اگر یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه X داده شود، آنگاه پارتیشنی از این مجموعه را به زیرمجموعه های متمایز جفتی (کلاس های هم ارزی) تولید می کند.
بنابراین، ما ثابت کردیم که رابطه برابری در مجموعه ای از کسرها وجود دارد X = ( ) مربوط به تقسیم این مجموعه به کلاس های هم ارزی است که هر کدام از کسری های مساوی با یکدیگر تشکیل شده است. عکس آن نیز صادق است: اگر هر رابطه ای که در مجموعه X تعریف شده باشد، پارتیشنی از این مجموعه را به کلاس ها ایجاد کند، آنگاه یک رابطه هم ارزی است.
به عنوان مثال، در مجموعه X = (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10) رابطه "هنگام تقسیم بر 3 باقیمانده یکسانی دارند" را در نظر بگیرید. پارتیشنی از مجموعه X را به کلاس‌ها تولید می‌کند: یکی شامل تمام اعدادی می‌شود که باقیمانده‌شان وقتی بر 3 تقسیم می‌شود 0 است (اینها اعداد 3، 6، 9 هستند)، دومی شامل اعدادی است که وقتی بر 3 تقسیم می‌شوند، باقیمانده 1 باقی می‌ماند. اینها اعداد 1، 4، 7، 10 هستند، و در سوم - همه اعداد، وقتی بر 3 تقسیم می شوند، باقیمانده 2 است (اینها اعداد 2، 5، 8 هستند). در واقع، زیرمجموعه های به دست آمده قطع نمی شوند و اتحاد آنها با مجموعه X منطبق است. در نتیجه، رابطه "داشتن همان باقیمانده هنگام تقسیم بر 3" تعریف شده در مجموعه X یک رابطه هم ارزی است. توجه داشته باشید که عبارت در مورد رابطه بین رابطه هم ارزی و تقسیم یک مجموعه به کلاس ها نیاز به اثبات دارد. ما آن را زمین می گذاریم. فقط بگوییم که اگر یک رابطه هم ارزی نام دارد، نام مربوطه به کلاس ها داده می شود. به عنوان مثال، اگر یک رابطه تساوی بر روی مجموعه ای از بخش ها مشخص شود (و یک رابطه هم ارزی است)، آنگاه مجموعه قطعات به کلاس هایی از قطعات مساوی تقسیم می شود (شکل 4 را ببینید). رابطه تشابه مربوط به تقسیم مجموعه ای از مثلث ها به کلاس هایی از مثلث های مشابه است. بنابراین، با داشتن یک رابطه هم ارزی در یک مجموعه خاص، می توانیم این مجموعه را به کلاس ها تقسیم کنیم. اما می توانید برعکس این کار را نیز انجام دهید: ابتدا مجموعه را به کلاس ها تقسیم کنید و سپس یک رابطه هم ارزی تعریف کنید، با توجه به اینکه دو عنصر اگر و فقط در صورتی معادل هستند که متعلق به یک کلاس از پارتیشن مورد نظر باشند. اصل تقسیم یک مجموعه به کلاس ها با استفاده از برخی رابطه های هم ارزی یک اصل مهم در ریاضیات است. چرا؟ اولا، معادل - این به معنای معادل، قابل تعویض است. بنابراین، عناصر یک کلاس هم ارزی قابل تعویض هستند. بنابراین، کسری که خود را در یک کلاس هم ارزی می بینند، قابل تشخیص نیستند از نظر رابطه تساوی، و مثلاً کسر را می توان با دیگری جایگزین کرد و این جایگزینی نتیجه محاسبه را تغییر نمی دهد. دوما، از آنجایی که در کلاس هم ارزی عناصری وجود دارد که از نظر یک رابطه قابل تشخیص نیستند، ما معتقدیم که کلاس هم ارزی توسط هر یک از نمایندگان آن تعیین می شود. یک عنصر دلخواه از این کلاس. بنابراین، هر کلاس از کسرهای مساوی را می توان با تعیین هر کسری متعلق به این کلاس مشخص کرد. تعیین یک کلاس هم ارزی توسط یک نماینده، به جای همه عناصر مجموعه، امکان مطالعه مجموعه ای از نمایندگان منفرد از طبقات هم ارزی را فراهم می کند. به عنوان مثال، رابطه هم ارزی "برای داشتن تعداد رئوس یکسان" که بر روی مجموعه ای از چند ضلعی ها تعریف شده است، بخشی از این مجموعه را به کلاس های مثلث، چهار گوش، پنج ضلعی و غیره ایجاد می کند. خصوصیات ذاتی یک کلاس خاص بر روی یکی از نمایندگان آن در نظر گرفته می شود. سومپارتیشن بندی یک مجموعه به کلاس ها با استفاده از یک رابطه هم ارزی برای معرفی مفاهیم جدید استفاده می شود. به عنوان مثال، مفهوم "بسته خطوط" را می توان به عنوان چیزی که در خطوط موازی مشترک است تعریف کرد. به طور کلی، هر مفهومی که یک فرد با آن عمل می کند، طبقه خاصی از هم ارزی را نشان می دهد. "جدول"، "خانه"، "کتاب" - همه این مفاهیم ایده های کلی در مورد بسیاری از اشیاء خاص هستند که هدف یکسانی دارند. نوع مهم دیگر رابطه، رابطه نظم است. به صورت زیر تعریف می شود. تعریف. رابطه R در مجموعه X در صورتی که به طور همزمان دارای خواص ضد تقارن و گذر باشد، یک رابطه مرتبه نامیده می شود.
نمونه هایی از روابط ترتیبی عبارتند از: روابط "کمتر از" در مجموعه اعداد طبیعی. ارتباط در مجموعه قطعات "کوتاه تر" است، زیرا آنها متقارن و متعدی هستند. اگر یک رابطه مرتبه خاصیت اتصال را نیز داشته باشد، به آن رابطه نظم خطی می گویند. به عنوان مثال، رابطه "کمتر از" در مجموعه اعداد طبیعی یک رابطه با نظم خطی است، زیرا دارای خواص ضد تقارن، گذر و اتصال است. تعریف. مجموعه X در صورتی مرتب نامیده می شود که دارای رابطه ترتیبی باشد.
بنابراین، مجموعه N اعداد طبیعی را می توان با تعیین رابطه "کمتر از" روی آن مرتب کرد. اگر یک رابطه ترتیبی تعریف شده روی یک مجموعه X دارای خاصیت اتصال باشد، گفته می شود که به صورت خطی مجموعه X را مرتب می کند. به عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی را می توان با استفاده از رابطه "کمتر از" و رابطه "چند" مرتب کرد - هر دوی آنها روابط مرتبه هستند. اما رابطه «کمتر از»، برخلاف رابطه «چندین»، دارای خاصیت پیوستگی نیز هست. این بدان معنی است که رابطه "کمتر از" مجموعه اعداد طبیعی را به صورت خطی مرتب می کند. نباید تصور کرد که همه روابط به روابط هم ارزی و روابط نظم تقسیم می شوند. تعداد زیادی از روابط وجود دارد که نه روابط هم ارزی هستند و نه روابط نظمی.
. به این معنا که 
.
این زیرمجموعه ها با هم تلاقی نمی کنند و اتحاد آنها با مجموعه X منطبق است، یعنی ما یک پارتیشن از مجموعه X به کلاس ها داریم. این تصادفی نیست.