Problema 1(sobre el cálculo del área de un trapezoide curvo).

En el sistema de coordenadas rectangular cartesiano xOy, se da una figura (ver figura) delimitada por el eje x, líneas rectas x = a, x = b (a por un trapecio curvilíneo. Se requiere calcular el área de un curvilíneo trapezoide.
Solución. La geometría nos da recetas para calcular las áreas de polígonos y algunas partes de un círculo (sector, segmento). Usando consideraciones geométricas, solo podemos encontrar un valor aproximado del área requerida, razonando de la siguiente manera.

Dividamos el segmento [a; b] (base de un trapecio curvo) en n partes iguales; esta partición se realiza utilizando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Consideremos la k-ésima columna por separado, es decir un trapecio curvo cuya base es un segmento. Reemplacémoslo con un rectángulo con la misma base y altura igual a f(x k) (ver figura). El área del rectángulo es igual a \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), donde \(\Delta x_k \) es la longitud del segmento; Es natural considerar el producto resultante como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada formada por n rectángulos (ver figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, suponemos que a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - longitud del segmento, \(\Delta x_1 \) - longitud del segmento, etc.; en este caso, como acordamos anteriormente, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Entonces, \(S \approx S_n \), y esta igualdad aproximada es más precisa cuanto mayor es n.
Por definición, se cree que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(sobre mover un punto)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v(t). Encuentre el movimiento de un punto durante un período de tiempo [a; b].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de forma muy sencilla: s = vt, es decir s = v(b-a). Para movimientos desiguales, hay que utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Dividir el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un período de tiempo y suponga que durante este período la velocidad fue constante, igual que en el momento t k. Entonces suponemos que v = v(t k).
3) Encontremos el valor aproximado del movimiento del punto durante un período de tiempo. Denotaremos este valor aproximado como s k;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
\(s \aprox S_n \) donde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) El desplazamiento requerido es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se redujeron al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de solución. Esto significa que este modelo matemático debe ser estudiado especialmente.

El concepto de integral definida.

Demos una descripción matemática del modelo construido en los tres problemas considerados para la función y = f(x), continua (pero no necesariamente no negativa, como se supuso en los problemas considerados) en el intervalo [a; b]:
1) dividir el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) hacer la suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado cierta integral de la función y = f(x) sobre el segmento [a; b] y denotado de la siguiente manera:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Los números a y b se denominan límites de integración (inferior y superior, respectivamente).

Volvamos a las tareas comentadas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aquí S es el área del trapecio curvilíneo que se muestra en la figura anterior. Esto es Significado geométrico de una integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre la integral definida y la primitiva?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2. Por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una velocidad v = v(t) durante el período de tiempo desde t = a hasta t = b se calcula mediante la formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Por otro lado, la coordenada de un punto en movimiento es una antiderivada de la velocidad; denotémosla s(t); Esto significa que el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtenemos:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
donde s(t) es la antiderivada de v(t).

El siguiente teorema fue demostrado en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f(x) es continua en el intervalo [a; b], entonces la fórmula es válida
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
donde F(x) es la antiderivada de f(x).

La fórmula dada generalmente se llama Fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultáneamente.

En la práctica, en lugar de escribir F(b) - F(a), usan la notación \(\left. F(x)\right|_a^b \) (a veces se le llama doble sustitución) y, en consecuencia, reescribe la fórmula de Newton-Leibniz de esta forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Al calcular una integral definida, primero encuentre la primitiva y luego realice una doble sustitución.

Basándonos en la fórmula de Newton-Leibniz, podemos obtener dos propiedades de la integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida.

Con la ayuda de la integral, es posible calcular las áreas no solo de trapecios curvos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, por ejemplo, el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por las rectas x = a, x = b y gráficas de funciones continuas y = f(x), y = g(x), y en el segmento [a; b] la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \) se cumple. Para calcular el área S de dicha figura procederemos de la siguiente manera:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Entonces, el área S de una figura delimitada por rectas x = a, x = b y gráficas de funciones y = f(x), y = g(x), continuas en el segmento y tales que para cualquier x del segmento [a; b] se satisface la desigualdad \(g(x) \leq f(x) \), calculada mediante la fórmula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

Integral definida. Cómo calcular el área de una figura

Pasemos a considerar las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos la tarea típica y más común. – cómo utilizar una integral definida para calcular el área de una figura plana. Finalmente, aquellos que buscan significado en las matemáticas superiores, que lo encuentren. Nunca sabes. En la vida real, tendrás que aproximar una parcela de dacha usando funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender la integral indefinida al menos a un nivel intermedio. Por lo tanto, los tontos deberían leer primero la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular la integral definida. Puede establecer cálidas relaciones amistosas con ciertos integrales en la página. Integral definida. Ejemplos de soluciones.

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo serán un tema mucho más apremiante. En este sentido, es útil para refrescar la memoria de las gráficas de funciones elementales básicas y, como mínimo, poder construir una recta, una parábola y una hipérbola. Esto se puede hacer (para muchos es necesario) con la ayuda de material metodológico y un artículo sobre transformaciones geométricas de gráficas.

En realidad, todos estamos familiarizados con la tarea de encontrar el área usando una integral definida desde la escuela, y no iremos mucho más allá del plan de estudios escolar. Puede que este artículo no existiera en absoluto, pero lo cierto es que el problema se produce en 99 de cada 100 casos, cuando un estudiante sufre por una escuela odiada y domina con entusiasmo un curso de matemáticas superiores.

Los materiales de este taller se presentan de forma sencilla, detallada y con un mínimo de teoría.

Empecemos con un trapezoide curvo.

trapezoide curvilíneo es una figura plana delimitada por un eje, rectas y la gráfica de una función continua en un intervalo que no cambia de signo en este intervalo. Localicemos esta figura no menos eje x:

Entonces el área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En la lección Integral definida. Ejemplos de soluciones Dije que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. El integrando define una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. El primer y más importante punto de la decisión es la construcción de un dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto, la técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

No sombrearé el trapezoide curvo; aquí es obvio de qué área estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz? , consulte la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones.

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por rectas, y eje

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se localiza el trapezoide curvo. debajo del eje?

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si se ubica un trapezoide curvo debajo del eje(o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:
En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero debes completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es , el límite superior de integración es .
Si es posible, es mejor no utilizar este método..

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". La técnica de construcción punto por punto para varios gráficos se analiza en detalle en la ayuda. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repito que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen descubrirse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo.: Si hay alguna función continua en el segmento Mayor qué o igual a alguna función continua , entonces el área de la figura delimitada por las gráficas de estas funciones y las rectas , , se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje y, en términos generales, importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapezoide curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo simple No. 3) es un caso especial de la fórmula . Dado que el eje está especificado por la ecuación y la gráfica de la función se encuentra no más alto ejes, entonces

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas , .

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... se encontró el área de la figura incorrecta, así es exactamente como su humilde servidor la cagó varias veces. He aquí un caso de la vida real:

Ejemplo 7

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

...Eh, el dibujo salió una mierda, pero todo parece legible.

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo ocurre un "fallo técnico" que indica que es necesario encontrar el área de una figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Pasemos a otra tarea significativa.

Ejemplo 8

Calcula el área de una figura delimitada por líneas,
Presentemos las ecuaciones en forma “escolar” y hagamos un dibujo punto por punto:

Del dibujo queda claro que nuestro límite superior es "bueno": .
¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es? Tal vez ? Pero ¿dónde está la garantía de que el dibujo está hecho con perfecta precisión? Bien puede resultar que... O la raíz. ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de una recta y una parábola.
Para ello resolvemos la ecuación:


,

En realidad, .

La solución adicional es trivial, lo principal es no confundirse con sustituciones y signos, los cálculos aquí no son los más simples;

en el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Bueno, para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , ,

Solución: Representemos esta figura en el dibujo.

Maldita sea, olvidé firmar el horario y, lo siento, no quería rehacer la foto. No es día de sorteo, en fin, hoy es el día =)

Para la construcción punto por punto, es necesario conocer la apariencia de una sinusoide (y en general es útil saber gráficas de todas las funciones elementales), así como algunos valores de seno, se pueden encontrar en tabla trigonométrica. En algunos casos (como en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente las gráficas y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición: "x" cambia de cero a "pi". Tomemos una decisión adicional:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica encima del eje, por lo tanto:

En este artículo aprenderás cómo encontrar el área de una figura delimitada por líneas usando cálculos integrales. Por primera vez nos encontramos con la formulación de un problema de este tipo en la escuela secundaria, cuando acabamos de completar el estudio de integrales definidas y es hora de comenzar la interpretación geométrica del conocimiento adquirido en la práctica.

Entonces, ¿qué se requiere para resolver con éxito el problema de encontrar el área de una figura usando integrales?

• Capacidad para realizar dibujos competentes;
• Capacidad para resolver una integral definida utilizando la conocida fórmula de Newton-Leibniz;
• La capacidad de "ver" una opción de solución más rentable, es decir, ¿Entiendes cómo será más conveniente realizar la integración en un caso u otro? ¿A lo largo del eje x (OX) o del eje y (OY)?
• Bueno, ¿dónde estaríamos sin los cálculos correctos?) Esto incluye comprender cómo resolver ese otro tipo de integrales y cálculos numéricos correctos.

Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas:

1. Estamos construyendo un dibujo. Es recomendable hacerlo en un papel cuadriculado, a gran escala. Firmamos el nombre de esta función con un lápiz encima de cada gráfica. La firma de los gráficos se realiza únicamente para facilitar la realización de cálculos adicionales. Habiendo recibido un gráfico de la cifra deseada, en la mayoría de los casos quedará inmediatamente claro qué límites de integración se utilizarán. Así, solucionamos el problema gráficamente. Sin embargo, sucede que los valores de los límites son fraccionarios o irracionales. Por lo tanto, puedes realizar cálculos adicionales, ve al paso dos.

2. Si los límites de integración no se especifican explícitamente, entonces encontramos los puntos de intersección de las gráficas entre sí y vemos si nuestra solución gráfica coincide con la analítica.

3. A continuación, debes analizar el dibujo. Dependiendo de cómo estén dispuestas las gráficas de funciones, existen diferentes enfoques para encontrar el área de una figura. Veamos diferentes ejemplos de cómo encontrar el área de una figura usando integrales.

3.1. La versión más clásica y sencilla del problema es cuando necesitas encontrar el área de un trapecio curvo. ¿Qué es un trapecio curvo? Esta es una figura plana limitada por el eje x. (y = 0), derecho x = a, x = b y cualquier curva continua en el intervalo desde a antes b. Además, esta cifra no es negativa y no se encuentra debajo del eje x. En este caso, el área del trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una determinada integral, calculada mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

Ejemplo 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

¿Qué líneas está delimitada por la figura? tenemos una parábola y = x2 – 3x + 3, que se encuentra encima del eje OH, no es negativo, porque todos los puntos de esta parábola tienen valores positivos. A continuación, dadas las líneas rectas. x = 1 Y x = 3, que corren paralelas al eje UNED, son las líneas límite de la figura a la izquierda y a la derecha. Bien y = 0, también es el eje x, que limita la figura desde abajo. La figura resultante está sombreada, como puede verse en la figura de la izquierda. En este caso, puede empezar a resolver el problema inmediatamente. Ante nosotros hay un ejemplo simple de un trapezoide curvo, que luego resolvemos usando la fórmula de Newton-Leibniz.

3.2. En el párrafo 3.1 anterior, examinamos el caso en el que un trapecio curvo se encuentra encima del eje x. Consideremos ahora el caso en el que las condiciones del problema son las mismas, excepto que la función se encuentra debajo del eje x. Se agrega un menos a la fórmula estándar de Newton-Leibniz. Consideraremos cómo resolver tal problema a continuación.

Ejemplo 2 . Calcular el área de una figura delimitada por líneas. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

En este ejemplo tenemos una parábola. y = x2 + 6x + 2, que se origina en el eje OH, derecho x = -4, x = -1, y = 0. Aquí y = 0 limita la figura deseada desde arriba. Directo x = -4 Y x = -1 estos son los límites dentro de los cuales se calculará la integral definida. El principio para resolver el problema de encontrar el área de una figura coincide casi por completo con el ejemplo número 1. La única diferencia es que la función dada no es positiva y también es continua en el intervalo. [-4; -1] . ¿Qué quieres decir con no positivo? Como puede verse en la figura, la figura que se encuentra dentro de las x dadas tiene coordenadas exclusivamente "negativas", que es lo que necesitamos ver y recordar al resolver el problema. Buscamos el área de la figura usando la fórmula de Newton-Leibniz, solo que con un signo menos al principio.

El artículo no está completo.

Comenzamos a considerar el proceso real de calcular la integral doble y nos familiarizamos con su significado geométrico.

La integral doble es numéricamente igual al área de la figura plana (la región de integración). Esta es la forma más simple de integral doble, cuando la función de dos variables es igual a uno: .

Primero, veamos el problema en forma general. ¡Ahora te sorprenderá lo sencillo que es todo! Calculemos el área de una figura plana delimitada por líneas. Para ser más precisos, asumimos que en el segmento . El área de esta figura es numéricamente igual a:

Representemos el área en el dibujo:

Elijamos la primera forma de atravesar el área:

De este modo:

E inmediatamente una técnica técnica importante: las integrales iteradas se pueden calcular por separado. Primero la integral interior, luego la integral exterior. Recomiendo encarecidamente este método a los principiantes en el tema.

1) Calculemos la integral interna, y la integración se realiza sobre la variable “y”:

La integral indefinida aquí es la más simple, y luego se usa la fórmula banal de Newton-Leibniz, con la única diferencia de que Los límites de la integración no son números, sino funciones.. Primero, sustituimos el límite superior en “y” (función antiderivada), luego el límite inferior

2) El resultado obtenido en el primer párrafo deberá sustituirse en la integral externa:

Una representación más compacta de toda la solución se ve así:

La fórmula resultante ¡Es exactamente la fórmula de trabajo para calcular el área de una figura plana usando la integral definida "ordinaria"! Mira la lección Calcular el área usando una integral definida¡Ahí está ella a cada paso!

Eso es, problema de calcular el área usando integral doble no muy diferente del problema de encontrar el área usando una integral definida! De hecho, ¡es lo mismo!

¡En consecuencia, no deberían surgir dificultades! No miraré muchos ejemplos, ya que usted, de hecho, se ha enfrentado repetidamente a esta tarea.

Ejemplo 9

Solución: Representemos el área en el dibujo:

Elijamos el siguiente orden de recorrido del área:

Aquí y más no me detendré en cómo atravesar la zona, ya que en el primer párrafo se dan explicaciones muy detalladas.

De este modo:

Como ya señalé, es mejor para los principiantes calcular las integrales iteradas por separado, y yo seguiré el mismo método:

1) Primero, usando la fórmula de Newton-Leibniz, nos ocupamos de la integral interna:

2) El resultado obtenido en el primer paso se sustituye en la integral externa:

En realidad, el punto 2 consiste en encontrar el área de una figura plana usando una integral definida.

Respuesta:

Esta es una tarea tan estúpida e ingenua.

Un ejemplo interesante para una solución independiente:

Ejemplo 10

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por las rectas , ,

Un ejemplo aproximado de una solución final al final de la lección.

En los ejemplos 9-10, es mucho más rentable utilizar el primer método de recorrer el área; por cierto, los lectores curiosos pueden cambiar el orden de recorrido y calcular las áreas utilizando el segundo método. Si no comete ningún error, naturalmente obtendrá los mismos valores de área.

Pero en algunos casos, el segundo método de atravesar el área es más efectivo, y al final del curso para jóvenes nerds, veamos un par de ejemplos más sobre este tema:

Ejemplo 11

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por líneas,

Solución: Estamos esperando dos parábolas con una peculiaridad que se encuentran de lado. No hay necesidad de sonreír; cosas similares ocurren con bastante frecuencia en integrales múltiples.

¿Cuál es la forma más fácil de hacer un dibujo?

Imaginemos una parábola en forma de dos funciones:
– la rama superior y – la rama inferior.

De manera similar, imagine una parábola en forma de superior e inferior. sucursales.

A continuación, se trazan puntualmente las reglas de los gráficos, lo que da como resultado una figura tan extraña:

Calculamos el área de la figura mediante la integral doble según la fórmula:

¿Qué pasa si elegimos el primer método para atravesar el área? En primer lugar, habrá que dividir esta zona en dos partes. Y en segundo lugar, observaremos esta triste imagen: . Las integrales, por supuesto, no son de un nivel supercomplicado, pero... hay un viejo dicho matemático: los que están cerca de sus raíces no necesitan prueba.

Por tanto, del malentendido dado en la condición, expresamos las funciones inversas:

Las funciones inversas en este ejemplo tienen la ventaja de que especifican la parábola completa a la vez sin hojas, bellotas, ramas ni raíces.

Según el segundo método, el recorrido del área será el siguiente:

De este modo:

Como dicen, siente la diferencia.

1) Nos ocupamos de la integral interna:

Sustituimos el resultado en la integral exterior:

La integración sobre la variable “y” no debería ser confusa; si hubiera una letra “zy”, sería genial integrarla sobre ella. Aunque quién leyó el segundo párrafo de la lección. Cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución., ya no experimenta la más mínima incomodidad con la integración según el método "Y".

También preste atención al primer paso: el integrando es par y el intervalo de integración es simétrico con respecto a cero. Por lo tanto, el segmento se puede reducir a la mitad y el resultado se puede duplicar. Esta técnica se comenta en detalle en la lección. Métodos eficientes para calcular la integral definida..

Qué agregar…. ¡Todo!

Respuesta:

Para probar su técnica de integración, puede intentar calcular . La respuesta debería ser exactamente la misma.

Ejemplo 12

Usando una integral doble, calcula el área de una figura plana delimitada por líneas

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Es interesante notar que si intentas utilizar el primer método para atravesar el área, ¡la figura ya no tendrá que dividirse en dos, sino en tres partes! Y, en consecuencia, obtenemos tres pares de integrales repetidas. A veces ocurre.

La clase magistral ha llegado a su fin y es hora de pasar al nivel de gran maestro. ¿Cómo calcular la integral doble? Ejemplos de soluciones. Intentaré no ser tan maníaco en el segundo artículo =)

¡Te deseo éxito!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2:Solución: Representemos el área. en el dibujo:

Elijamos el siguiente orden de recorrido del área:

De este modo:
Pasemos a funciones inversas:


De este modo:
Respuesta:

Ejemplo 4:Solución: Pasemos a las funciones directas:


Hagamos el dibujo:

Cambiemos el orden de atravesar el área:

Respuesta:

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo serán un tema mucho más apremiante. En este sentido, es útil refrescar la memoria de las gráficas de funciones elementales básicas y, como mínimo, poder construir una línea recta y una hipérbola.

Un trapezoide curvo es una figura plana delimitada por un eje, líneas rectas y la gráfica de una función continua en un segmento que no cambia de signo en este intervalo. Localicemos esta figura no menos eje x:

Entonces el área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico.

Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Eso es, una determinada integral (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. El integrando define una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. El primer y más importante punto de la decisión es la construcción del dibujo.. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces- parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, "a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está absolutamente claro que si obtuvimos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas obviamente no caben en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si se ubica un trapezoide curvo debajo del eje(o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero debes completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es , el límite superior de integración es .

Si es posible, es mejor no utilizar este método..

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Y ahora la fórmula de trabajo.: Si hay alguna función continua en el segmento Mayor qué o igual a alguna función continua , entonces el área de la figura delimitada por las gráficas de estas funciones y las rectas , , se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje y, en términos generales, importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Ejemplo 4

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo ocurre un "fallo técnico" que indica que es necesario encontrar el área de una figura sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas.

En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto: