Pregunta 30. Predicado. El conjunto de verdad de un predicado. Cuantificadores de existencia general. Tipos de formulaciones de teoremas (teoremas directos e inversos, teoremas sobre condiciones necesarias y suficientes). Operaciones lógicas. Cuantificadores Cuantificadores de generalidad y existencia.

En relación con la introducción de cuantificadores, se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Una fórmula de lógica de predicados no puede contener la misma variable objetiva, que estaría ligada en una parte de la fórmula y libre en otra.

2. La misma variable no puede estar en la región de cuantificadores duales entre sí.

La violación de estas condiciones se llama colisión variable.

¿Cómo se establece el valor de verdad de un enunciado con un cuantificador?

Para probar un enunciado con un cuantificador general. debes asegurarte de que al sustituir cada uno de los valores incógnita en un predicado P(x) este último se convierte en una afirmación verdadera. Si el conjunto X es finito, entonces esto se puede hacer enumerando todos los casos; si el conjunto X es infinito, entonces es necesario realizar un razonamiento de forma general.

Declaración (x) P(x) falso si se puede especificar dicho valor Aincógnita, en el cual P(x) se convierte en una declaración falsa Real academia de bellas artes). Es por eso, refutar una afirmación con un cuantificador general Basta dar un ejemplo.

Declaración (x) P(x) Verdadero si se puede especificar dicho valor Aincógnita, en el cual P(x) se convierte en una declaración verdadera Real academia de bellas artes). Por lo tanto, para verificar la verdad de una afirmación con un cuantificador existencia , basta con dar un ejemplo y así demostrarlo.

Con el fin de verificar la falsedad de una declaración con cuantificador existencia (x) P(x), es necesario verificar la falsedad de cada P(x), P(x), …, P(x). si el conjunto incógnita Por supuesto, esto se puede hacer mediante la fuerza bruta. si hay muchos incógnita infinitamente, entonces es necesario realizar un razonamiento de forma general.

Ejemplos.

1. Encuentra el valor de verdad “entre los números” 1, 2, 3, 4 hay un número primo."

Solución: El enunciado contiene un cuantificador existencial y, por tanto, puede representarse como una disyunción de enunciados: “ 1 - número primo" o " 2 - número primo" o " 3 - número primo" o " 4 - un número primo." Para probar la verdad de una disyunción, es suficiente la verdad de al menos un enunciado, por ejemplo, “ 3 es un número primo" eso es cierto. Por tanto, la afirmación original también es cierta.

2. Demostremos que cualquier cuadrado es un rectángulo.

Solución: El enunciado contiene un cuantificador general. Por tanto, se puede presentar como una conjunción: “cuadrado - rectángulo” y “cuadrado – rectángulo” y “cuadrado – rectángulo”, etc. Dado que todas estas afirmaciones son verdaderas, entonces la conjunción de estas afirmaciones es verdadera, por lo tanto, la oración original es verdadera.

3. "Cualquier triángulo es isósceles". Esta es una declaración falsa. Para comprobarlo basta dibujar un triángulo que no sea isósceles.

Construir la negación de un enunciado con cuantificadores. necesario:

1) reemplazar el cuantificador de generalidad por el cuantificador de existencia y el cuantificador de existencia por el cuantificador de generalidad;

2) sustituir el predicado por su negación.

Ejemplo. Formulemos una negación para las siguientes afirmaciones:

a) todos los elementos del conjunto z incluso; b) algunos verbos responden a la pregunta “¿qué hacer?”.

Solución: a) Reemplacemos el cuantificador de generalidad por el cuantificador de existencia, y su enunciado por su negación: algunos elementos del conjunto z extraño.

b) Reemplacemos el cuantificador de existencia por un cuantificador de generalidad, y su expresión por negación: no todos los verbos responden a la pregunta “¿qué hacer?”

Veamos algunas oraciones con una variable:

- « - un número natural simple"; el rango de valores permitidos de este predicado es el conjunto de números naturales;

- « - número entero par”; el rango de valores permitidos de este predicado es el conjunto de números enteros;

- «
- equilátero";

- «
»

- "alumno recibió una evaluación »

- « es divisible por 3"

Definición. Si una oración con variables, con cualquier reemplazo de variables con valores admisibles, se convierte en una declaración, entonces dicha oración se llama predicado.

,
,
,
- predicados de una variable (predicados de un solo lugar). Predicados de dos variables:
,
- predicados de dos lugares. Las proposiciones son predicados de lugar nulo.

Cuantificador general.

Definición. Símbolo se llama cuantificador general.

leer: para cualquiera , para todos , para todos .

Dejar
- predicado unario.

leer: para cualquiera
- verdadero.

Ejemplo.

- “Todos los números naturales son primos” - Afirmación falsa.

- “Todos los números enteros son pares” - Afirmación falsa.

- “Todos los estudiantes recibieron una evaluación " es un predicado de un solo lugar. Colocamos un cuantificador en un predicado de dos lugares y obtuvimos un predicado de un lugar. Asimismo
-predicado n-ario, entonces

- (n-1)-predicado local.

- (n-2)-predicado de lugar.

En ruso se omite el cuantificador de generalidad.

Cuantificador de existencia.

Definición. Símbolo llamado cuantificador de existencia.

leer: existe , Hay , Habrá .

Expresión
, Dónde
- predicado de un lugar, léase: existe , para lo cual
verdadero.

Ejemplo.

- “hay números naturales primos”. (Y)

- “incluso hay números enteros”. (Y).

- “hay un estudiante que recibió una calificación " es un predicado de un solo lugar.

Si sumamos 1 cuantificador a un predicado n-ario, obtenemos un predicado (n-1)-ario; si sumamos n cuantificadores, obtenemos un predicado de lugar cero, es decir declaración.

Si asignamos cuantificadores del mismo tipo, entonces no importa el orden en que se asignen los cuantificadores. Y si se asignan diferentes cuantificadores a un predicado, entonces el orden en el que se asignan los cuantificadores no se puede cambiar.

Construcción de la negación de enunciados que contienen cuantificadores. Las leyes de De Morgan.

Ley de De Morgan.

Al construir la negación de un enunciado que contiene un cuantificador general, este cuantificador general se reemplaza por un cuantificador de existencia y el predicado se reemplaza por su negación.

Ley de De Morgan.

Al construir la negación de enunciados que contienen un cuantificador existencial, es necesario reemplazar el cuantificador existencial con un cuantificador general, y el predicado
- su negación. La negación de enunciados que contienen varios cuantificadores se construye de manera similar: el cuantificador general se reemplaza por un cuantificador existencial, el cuantificador existencial por un cuantificador general, el predicado se reemplaza por su negación.

P.2. Elementos de las teorías de conjuntos (teoría de conjuntos intuitiva). Conjuntos numéricos. El conjunto de los números reales.

Descripción del conjunto: La palabra conjunto se refiere a una colección de objetos, que se considera como un todo. En lugar de la palabra "conjunto", a veces dicen "colección", "clase".

Definición. Un objeto incluido en un conjunto se llama elemento.

Registro
significa que es un elemento del conjunto . Registro
significa que no es un elemento del conjunto . Puedes decir sobre cualquier objeto si es un elemento de un conjunto o no. Escribamos esta declaración usando símbolos lógicos:

No existe ningún objeto que pertenezca a un conjunto y al mismo tiempo no pertenezca, es decir,

Un conjunto no puede contener elementos idénticos, es decir si es de un conjunto que contiene un elemento , eliminar elemento , entonces obtenemos un conjunto que no contiene el elemento .

Definición. dos juegos Y se dice que son iguales si contienen los mismos elementos.

Al estudiar formas expresivas (predicados), se indicó una de las formas de obtener enunciados: sustitución de algún valor de una variable en P(x) de un determinado conjunto A. Por ejemplo,

P(x): “x es un número primo”. Sustituyendo x = 7, obtenemos el enunciado

"7 es un número primo". Nos familiarizaremos con dos operaciones lógicas más: adjuntar un cuantificador general y un cuantificador de existencia, que nos permiten obtener enunciados a partir de formas expresivas.

Sustituyamos la palabra "cualquiera" antes de la forma expresiva P(x): "cualquier x es un número primo". Recibimos una declaración falsa. Sustituyamos la palabra "algunos" delante de P(x): "algunos números x son primos". Recibimos una declaración verdadera.

En matemáticas, las palabras "cualquiera", "algunos" y sus sinónimos se denominan cuantificadores, que se denominan respectivamente cuantificador general (") y cuantificador de existencia ($). El cuantificador general se reemplaza en formulaciones verbales por las palabras: cualquiera , todos, cada uno, cada, etc. El cuantificador de existencia en la formulación verbal se reemplaza por las palabras: hay al menos uno, hay alguno, etc.

Sea P(x) una forma expresiva en M. Notación

("хОМ) Р(х)

significa: para cualquier elemento x (del conjunto M) se cumple P(x), que ya es un enunciado. Para demostrar que la afirmación ("x)P(x) es verdadera, es necesario revisar todos los elementos a, b, c, etc. de M y asegurarse de que P(a), P(b), P( c) ,... son verdaderas, y si es imposible enumerar los elementos de M, deben probar razonando que para cualquier a de M el enunciado P(a) es verdadero. Para verificar que ("x)P(. x) es falsa, basta con encontrar sólo un elemento de AOM para el cual P(a) sea falsa.

EJEMPLO. Forma expresiva dada

B(x): “es un número primo”.

B(1): 2 2 + 1 = 5 - número primo;

B(2): = 17 - número primo;

B(3): = 257 - número primo;

B(4): = 65537 es un número primo.

¿Podemos decir que ("x)B(x)? Esto necesita ser probado. Leonard Euler demostró que B(5) es falso, es decir, + 1 = 2 32 + 1 es divisible por 641 y, por lo tanto, (" x) B(x) - falso.

EJEMPLO. Considere el enunciado ("x)C(x), donde en norte dado C(x): “x 3 + 5x se divide por 6”.

Obviamente, C(1), C(2), C(3), C(4) son verdaderas. Pero si verificamos incluso un millón de valores de x, siempre existe el peligro de que para el primer millón de valores de x, la afirmación C(x) resulte falsa.

Puedes probarlo, por ejemplo, así:

x 3 + 5x = x 3 - x + 6x = x(x 2 - 1) + 6x = (x - 1)x(x + 1) + 6x

La expresión (x - 1)x(x + 1) es divisible por 3, ya que de tres números naturales consecutivos al menos uno es divisible por 3; esta expresión también es divisible por 2, ya que de tres números consecutivos uno o dos son pares. El segundo término 6x es divisible por 6, por lo tanto toda la suma es divisible por 6, es decir ("x)C(x) - verdadero.

Sea C(x) alguna forma expresiva. Registro

significa: hay un elemento x del conjunto M para el cual se cumple C(x). ($x)C(x) ya es una declaración. Si en el conjunto M se puede encontrar un elemento a para el cual C(a) es verdadero, entonces la afirmación ($x)C(x) es verdadera. Si no hay un solo elemento a en M para el cual C(a) sea verdadero, la afirmación ($x)C(x) es falsa.

EJEMPLO. En el set norte dado por C(x):" ". C(1) - falso, C(2) - falso, C(5) - verdadero. Por lo tanto, ($x)C(x) es una afirmación verdadera.

EJEMPLO. En el set norte dado por K(x): “x 2 + 2x + 3 se divide por 7”. K(1) = 6, 6 no es divisible por 7; K(2) = 11, 11 no es divisible por 7, etc.

Hipótesis: ($x)K(x) - falso.

Demostrémoslo. Según el teorema de la división con resto, cualquier número natural se puede representar como n = 7q + r, donde r< 7.

norte 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2(7q + r) + 3 = 7(7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.

Entonces, el número n 2 + 2n + 3 es divisible por 7 si y solo si r 2 + 2r + 3 es divisible por 7. El resto es r О ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ). Usando el método de la fuerza bruta, nos aseguraremos de que r 2 + 2r + 3 no sea divisible por 7. Entonces, ($x)K(x) es falso.

¿Cómo construir la negación de un enunciado con un cuantificador?

Para construir la negación de un enunciado con cuantificador, es necesario sustituir el cuantificador general ("") por el cuantificador existencial ($) y, a la inversa, el cuantificador existencial por el cuantificador general, y la oración después del cuantificador por su negación, es decir

[("x)P(x) Û ($x) P(x);

[($x)P(x) Û ("x) P(x).

Por ejemplo, supongamos que se dan dos declaraciones:

R: “todo número primo es impar”;

P: "Todo número primo es par".

¿Será B la negación de A? No, porque ninguna de las afirmaciones es cierta. En este caso

R: “no todos los números primos son impares, es decir hay un número primo par” es una afirmación verdadera.

A continuación, consideramos que se ha construido una negación de una oración si su negación no se escribe simplemente, sino que la oración resultante se transforma a una forma en la que los signos de negación aparecen antes de expresiones más simples. Por ejemplo, la negación de una oración de la forma A Ù B no se considerará (A Ù B), sino su equivalente: A Ú B.

Sea A(x,y) una forma expresiva con dos variables.

Entonces ("x)A(x,y), ($x)A(x,y), ("x)A(x,y), ($x)A(x,y) también son formas expresivas pero con una variable. En este caso, se dice que el cuantificador conecta una variable. Para obtener un enunciado de la forma expresiva A(x,y), es necesario conectar ambas variables. Por ejemplo, ("x)($y)A(x,y) es una declaración.

Para la forma expresiva P(x,y): “x< y”, заданной на z, considere todos los casos de obtención de un enunciado sumando (teniendo) cuantificadores:

1) ("x)("y)P(x,y) Û l - “Para cada x y para cada y x< y”;

2) ("y)("x)(x< y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) ($x)($y) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) ($y)($x) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) ("x)($y) (x< y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) ($y)("x) (x< y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) ("y)($x) (x< y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) ($x)("y) (x< y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

` Preste atención a las afirmaciones (1) y (2), (3) y (4). Las estructuras de estos enunciados difieren solo en el orden de los cuantificadores del mismo nombre, pero el significado y los valores de verdad de los enunciados no cambian.

Los enunciados (5) y (6), (7) y (8) difieren en el orden en que aparecen los cuantificadores opuestos, lo que conduce a un cambio en el significado y, posiblemente, en el valor de verdad del enunciado. La declaración (7) afirma la presencia en z el número más pequeño, que es falso. (8) afirma que no existe la verdad.

Preguntas teóricas:

1. El concepto de predicado a partir de una o varias variables.

2. Ejemplos de predicados de un lugar y de dos lugares. 3. El dominio de verdad del predicado.

4. Cuantificadores de generalidad y existencia. Variables libres y ligadas. Operaciones sobre predicados. ¿Cuál es el dominio de la verdad? ; ; ? Dar interpretaciones geométricas.

5. Transformación de fórmulas de lógica de predicados. Definición de un predicado idénticamente verdadero e idénticamente falso, conexión con el dominio de la verdad. Equivalencias básicas.

Ceremonias

5.1. Especifique varios valores de las variables para los cuales los siguientes predicados sean verdaderos o falsos:

1. x 2, x О N; 9. = - x, x О R;

2.x< 1 , x Î N ; 10. > 0 ,

3. x > 6® x ³ 3 , xÎZ; 11. pecado x = - , xО R;

4. x + 3x +6 = 0 , x О R; 12. cos x = , x ОR;

5. = 0, xÎR; 13. x ³ y , x,y О R;

6. | x - 5 |< 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;

7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x О R; 15. x (y - 1) = 0, x,yÎR;

8. = x, x О R; 16. x + y =4, x, y ОR.

5.2. Encuentre el dominio de verdad de los predicados del ejercicio 5.1. Dibuja los casos 13 - 16 en el plano de coordenadas.

5.3.

1. = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;

2. = ; 8. | 5x - 3 |< 7;

3. - > ; 9. 2 - | x | = 1,7;

4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;

5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;

6. > 0; 12. | 2x + 4 | ³ 2x + 4.

5.4. Encuentre el dominio de verdad de los predicados:

1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 >3 - 0,5x);

2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);

3.( - +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );

4.( - +x< 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );

5.((x+3) (x - 1)< 0) Ù (x + 4x + 6 >x(x - 5);

6.((x - 6x + 9)(2x - 10)< 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);

7.(1 + £ ) Ú (- 1< 5x - 5)

8.( - > 2) Ú (- 3x - 1 > 2) ;

9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );

En cualquier idioma nacional, los conectivos “y”, “o”, “si…, entonces…”, “si y sólo si…”, etc. se utilizan en el habla ordinaria. Le permite construir nuevas declaraciones complejas a partir de declaraciones ya dadas. La verdad o falsedad de las afirmaciones así obtenidas depende de la verdad y falsedad de las afirmaciones originales y de las correspondientes. Interpretación de conectivos como operaciones sobre enunciados.. Una operación lógica se puede describir completamente. tabla de verdad, indicando qué significados toma una declaración compleja para todos los significados posibles de declaraciones simples.

Operación lógica es un método para construir un enunciado complejo a partir de enunciados elementales, en el que el valor de verdad del enunciado complejo está completamente determinado por los valores de verdad de los enunciados originales (ver el artículo “ ”).

En el álgebra lógica, las operaciones lógicas y los conectivos lógicos correspondientes tienen nombres especiales y se denotan de la siguiente manera:

La conjunción es una operación lógica que asocia cada dos enunciados elementales con un nuevo enunciado, que es verdadero si y sólo si ambos enunciados originales son verdaderos 7 . Operación lógica conjunción

Consideremos dos afirmaciones: pag = “Mañana hará mucho frío" Y q = “nevará mañana" Obviamente un nuevo dicho. pag & q = “Mañana hará mucho frío y mañana nevará."Es cierto sólo si las afirmaciones son verdaderas al mismo tiempo. pag Y q, es decir, que mañana habrá heladas y nieve. Declaración pag & q será falso en todos los demás casos: nevará, pero habrá deshielo (es decir, no habrá heladas); habrá heladas, pero no nieve; no habrá heladas ni nieve.

Disyunción- operación lógica que asocia cada dos enunciados elementales con un nuevo enunciado, que es falso si y sólo si ambos enunciados iniciales son falsos, y verdadero cuando al menos uno de los dos enunciados que lo forman es verdadero 8. Operación lógica disyunción determinado por la siguiente tabla de verdad:

Consideremos dos afirmaciones: pag = “Colón estaba en la India" Y q = “Colón estaba en Egipto pag q = “Colón estuvo en la India o estuvo en Egipto"Es cierto tanto si Colón estaba en la India, pero no en Egipto, como si no estaba en la India, pero estaba en Egipto, y también si estaba tanto en la India como en Egipto. Pero esta afirmación sería falsa si Colón no estuviera ni en la India ni en Egipto.

La conjunción "o" se puede utilizar en el habla en otro sentido "exclusivo". Luego corresponde a otro enunciado: una disyunción disyuntiva o estricta.

Estricto, o divisor,disyunción- una operación lógica que asocia dos enunciados elementales con un nuevo enunciado que es verdadero sólo cuando sólo uno de los enunciados es verdadero. Operación lógica cláusula disyuntiva determinado por la siguiente tabla de verdad:

Consideremos dos afirmaciones: pag = “El gato está cazando ratones." Y q = “El gato duerme en el sofá." Es obvio que la nueva declaración pagq Esto es cierto sólo en dos casos: cuando el gato está cazando ratones o cuando el gato duerme tranquilamente. Esta afirmación será falsa si el gato no hace ni lo uno ni lo otro, es decir cuando ambos eventos no ocurren. Pero esta afirmación será falsa incluso cuando se suponga que ambas afirmaciones ocurrirán simultáneamente. Como esto no puede suceder, la afirmación es falsa.

En lógica, los conectivos “o” y “o” tienen significados diferentes, pero en ruso a veces se usa el conectivo “o” en lugar del conectivo “o”. En estos casos, la inequívoca definición de la operación lógica utilizada está asociada al análisis del contenido del enunciado. Por ejemplo, análisis de la afirmación “ Petya se sienta en el podio A o en el podio B"reemplazar con" Petya se sienta en el podio A o B”, entonces el análisis de la última afirmación indicará claramente una operación lógica divisor disyunción, porque una persona no puede estar en dos lugares diferentes al mismo tiempo.

Implicación- una operación lógica que asocia cada dos enunciados elementales con un nuevo enunciado que es falso si y sólo si condición(premisa) - verdadero, y consecuencia(conclusión) es falsa. La abrumadora cantidad de dependencias entre eventos se puede describir mediante implicación. Por ejemplo, con la frase “ Si vamos a San Petersburgo durante las vacaciones, visitaremos la Catedral de San Isaac” Afirmamos que si venimos a San Petersburgo durante las vacaciones, definitivamente visitaremos la Catedral de San Isaac.

Operación lógica implicación

Una implicación será falsa sólo si la premisa es verdadera y la conclusión es falsa, y ciertamente será verdadera si su condición pag FALSO. Además, para un matemático esto es bastante natural. De hecho, partiendo de una premisa falsa, se puede obtener tanto una afirmación verdadera como una falsa mediante un razonamiento correcto.

Digamos 1 = 2, luego 2 = 1. Sumando estas igualdades, obtenemos 3 = 3, es decir a partir de una premisa falsa, mediante transformaciones idénticas, obtuvimos un enunciado verdadero.

Implicación formada a partir de declaraciones. A Y EN, se puede escribir usando las siguientes oraciones: “Si A, Eso EN", "De A debería EN”, “A implica EN", "Con el fin de A, es necesario que EN", "Con el fin de EN, suficiente para A”.

Equivalencia- una operación lógica que asocia dos enunciados elementales con uno nuevo, que es verdadero si y sólo si ambos enunciados iniciales son simultáneamente verdaderos o simultáneamente falsos. Operación lógica equivalencia viene dada por la siguiente tabla de verdad:

Consideremos los posibles significados de un enunciado complejo que es una equivalencia: “ El profesor le dará al alumno un 5 en el trimestre si y sólo si el alumno recibe un 5 en el examen”..

1) El estudiante recibió 5 en la prueba y 5 en el trimestre, es decir. el maestro cumplió su promesa, por lo tanto la afirmación es cierta.

2) El alumno no obtuvo un 5 en el examen y el profesor no le puso un 5 en el trimestre, es decir. el maestro cumplió su promesa, la afirmación es cierta.

3) El alumno no obtuvo un 5 en el examen, pero el profesor le dio un 5 en el trimestre, es decir. el maestro no cumplió su promesa, la afirmación es falsa.

4) El alumno obtuvo un 5 en el examen, pero el profesor no le puso un 5 en el trimestre, es decir. el maestro no cumplió su promesa, la afirmación es falsa.

Tenga en cuenta que en los teoremas matemáticos la equivalencia se expresa mediante el conectivo "necesario y suficiente".

Las operaciones discutidas anteriormente fueron dobles (binarias), es decir se realizaron en dos operandos (declaraciones). En el álgebra de la lógica, la operación de un solo lugar (unaria) está definida y ampliamente utilizada. negación.

Negación- una operación lógica que asocia cada enunciado elemental con un nuevo enunciado cuyo significado es opuesto al original. Operación lógica negación viene dada por la siguiente tabla de verdad:

En ruso, el conectivo “no es cierto que...” se utiliza para construir una negación. Aunque el conectivo "no es cierto que ..." no conecta dos enunciados en uno, los lógicos lo interpretan como una operación lógica, ya que, cuando se coloca delante de un enunciado arbitrario, forma uno nuevo a partir de él.

Al negar la afirmación “Tengo una computadora en casa” habrá una declaración “No es cierto que tenga ordenador en casa” o, lo que es lo mismo en ruso, “No tengo computadora en casa”. Al negar la afirmación “No sé chino” habrá una declaración “No es cierto que no sepa chino” o, que es lo mismo en ruso, “Sé chino”.

Cuantificadores

En lógica matemática, junto con las operaciones lógicas, también se utilizan cuantificadores. Cuantificador(del lat. cuántico- cuántos) es una operación lógica que da una característica cuantitativa del área de objetos a los que se refiere la expresión obtenida como resultado de su aplicación.

En el lenguaje corriente, palabras como Todo, cada, alguno, cualquier, cualquier, sin cesar muchos, existe, disponible, el único, alguno, final número, así como todos los números cardinales. En los lenguajes formalizados, una parte integral del cual es el cálculo de predicados, dos tipos de cuantificadores son suficientes para expresar todas esas características: cuantificador general Y cuantificador de existencia.

Los cuantificadores permiten partir de una forma expresiva específica (ver “ Declaraciones. valores booleanos”) para obtener una forma expresiva con un número menor de parámetros, en particular, para obtener una declaración 9 a partir de una forma expresiva de un solo lugar.

Cuantificador general permite a partir de un formulario de declaración determinado con una única variable libre incógnita obtenga una declaración utilizando el enlace "Para todos incógnita…”. El resultado de aplicar el cuantificador general a la forma proposicional A( incógnita) denotar incógnita A( incógnita). Declaración incógnita A( incógnita) será verdadera si y sólo si, tras la sustitución en A( incógnita) en lugar de una variable libre incógnita de cualquier objeto del rango de valores posibles, siempre se obtiene una afirmación verdadera. Declaración incógnita A( incógnita) puede leerse de la siguiente manera: “Para cualquier incógnita A( incógnita)", "A( incógnita) por arbitrario incógnita", "Para todos incógnita verdadero A ( incógnita)", "Cada incógnita tiene la propiedad A( incógnita)", etc.

El cuantificador existencial permite partir de una forma expresiva dada con una única variable libre incógnita obtener una declaración usando el conectivo "Existe tal incógnita, Qué …". El resultado de aplicar el cuantificador general a la forma proposicional A( incógnita) denotar incógnita A( incógnita). Declaración
incógnita A( incógnita) es verdadera si y sólo si, en el rango de valores posibles de la variable incógnita existe un objeto tal que al sustituir su nombre en lugar de la aparición de una variable libre incógnita en A( incógnita) resulta ser una afirmación verdadera. Declaración incógnita A( incógnita) puede leerse de la siguiente manera: “Para algunos incógnita A( incógnita)”, “Para una adecuada incógnita verdadero A ( incógnita)", "Existe incógnita, para lo cual A( incógnita)”, “Al menos por uno incógnita verdadero A ( incógnita)", etc.

Los cuantificadores desempeñan para los lenguajes formalizados de lógica matemática el mismo papel que las llamadas palabras "cuantitativas" ("cuantificadoras") desempeñan para el lenguaje natural: determinan el alcance de aplicabilidad de una determinada declaración (o forma expresiva).

Al construir una negación para una declaración que contiene un cuantificador, se aplica la siguiente regla: la partícula "no" se agrega al predicado, el cuantificador general se reemplaza por un cuantificador de unicidad y viceversa. Veamos un ejemplo. La negación de la afirmación “Todos los niños de 11º grado son excelentes estudiantes” es la afirmación “No es cierto que todos los niños de 11º grado sean excelentes estudiantes” o “Algunos niños de 11º grado no son excelentes estudiantes”.

En informática, los cuantificadores se utilizan en lenguajes de programación lógicos (ver " Lenguajes de programación”) y lenguajes de consulta de bases de datos.

Se requiere la capacidad de construir declaraciones complejas cuando se trabaja con bases de datos, cuando se construye una consulta de búsqueda en Internet, cuando se construyen algoritmos y se escriben programas en cualquier lenguaje algorítmico. Además, esta habilidad se puede clasificar como una habilidad escolar general, porque se asocia con la construcción de inferencias complejas (razonamiento, extracción de conclusiones). Esta habilidad se basa en el conocimiento de operaciones lógicas básicas y la capacidad de determinar la verdad de afirmaciones complejas.

Los escolares se familiarizan con las operaciones lógicas disyunción, conjunción y negación en la escuela básica. Allí también se introduce el concepto de tabla de verdad. Lo más probable es que la familiaridad con estos conceptos surja en los lenguajes de programación, pero también se pueden usar en hojas de cálculo: allí las operaciones lógicas se implementan a través de las funciones correspondientes O, Y, NO.

En la escuela secundaria se pueden cubrir operaciones lógicas más complejas. Los problemas al utilizar la implicación se encuentran en cada una de las versiones publicadas del Examen Estatal Unificado de Ciencias de la Computación. Por ejemplo: ¿para qué número? incógnita declaración verdadera (( incógnita > 3) (incógnita < 3)) –> (incógnita < 1)? (Versión de demostración del Examen Estatal Unificado, 2007)

Al estudiar la operación de la implicación, los estudiantes deben prestar atención al hecho de que la mayoría de los teoremas matemáticos son implicaciones. Sin embargo, aquellas implicaciones en las que las premisas (condiciones) y las conclusiones (consecuencias) son oraciones sin conexión mutua (esencialmente) no pueden desempeñar un papel más o menos importante en la ciencia. Son propuestas completamente infructuosas, porque... no conducen a conclusiones más profundas. De hecho, en matemáticas, ningún teorema es una implicación en la que la condición y la conclusión no estén relacionadas en contenido. Además del conectivo “si,... entonces...”, en los teoremas matemáticos las implicaciones son formulaciones de condiciones sólo necesarias o suficientes.

La tarea de crear condiciones suficientes y necesarias para los escolares resulta difícil. A la hora de desarrollar esta habilidad conviene destacar especialmente tres puntos:

a) la forma “necesario y suficiente” utilizada en los enunciados matemáticos corresponde al conectivo “si y sólo entonces” (equivalencia);

b) el conectivo “para…( A), es necesario que...( B)” se realiza por implicación directa A B. (Para que una ecuación cuadrática tenga solución el discriminante debe ser no negativo);

c) una condición suficiente se cumple por la implicación inversa B ® A y se puede expresar en ruso, por ejemplo, así: “para que... (A), basta que... (B)”.

En la escuela secundaria (grados 10 y 11), es útil que los estudiantes desarrollen la capacidad de construir una negación de una afirmación en ruso. Esta habilidad es necesaria, por ejemplo, para demostrar teoremas mediante el método "por contradicción". Construir una negación incluso para enunciados simples no siempre es fácil. Por ejemplo, a la declaración Hay rojos en el estacionamiento.“Zhiguli No serán negativas las siguientes frases:

1) Los que están en el estacionamiento no son rojos. “Zhiguli”;

2) Hay uno blanco en el estacionamiento. “mercedes”;

3) rojos“Zhiguli” no estan estacionados.

La negación de esta afirmación sería: "No hay Zhigulis rojos en el estacionamiento". Esto se puede explicar a los escolares de esta manera: la negación de una oración debe excluir por completo la verdad de la afirmación original. Si hay un Mercedes blanco en el estacionamiento, nada impide que el Zhiguli rojo también se estacione.

Puede leer sobre el algoritmo para construir la negación de un enunciado complejo en el libro "Fundamentos matemáticos de la informática" de E. Andreeva, L. Bosova, I. Falina.

Hasta ahora, el estudio de cuantificadores no ha sido tradicional en los cursos escolares de informática. Sin embargo, ahora están incluidos en el estándar de la escuela especializada. La forma más sencilla es demostrar el papel de los cuantificadores en la construcción de las mismas negaciones de enunciados en ruso, tanto matemáticos como arbitrarios. La regla para reemplazar un cuantificador general por un cuantificador existencial y viceversa puede justificarse fácilmente utilizando las leyes de De Morgan (ver. “Expresiones booleanas”).

6 De palabras latinas ídem- lo mismo y potencia- fuerte; literalmente equivalente.

7 Esta definición se extiende fácilmente al caso norte declaraciones ( norte > 2, norte- número natural).

8 Esta definición, como la anterior, se aplica al caso norte declaraciones ( norte > 2, norte- número natural).

9 Uspensky V.A., Vereshchagin N.K., Plisko V.E. Curso de introducción a la lógica matemática. M.: Fizmatlit, 2002.

La naturaleza funcional del predicado implica la introducción de otro concepto: cuantificador. (cuántico – del latín “cuánto”) Las operaciones cuantificadoras pueden considerarse como una generalización de las operaciones de conjunción y disyunción en el caso de regiones finitas e infinitas.

Cuantificador general (todos, todos, todos, cualquiera (todos – “todos”)). La expresión verbal correspondiente suena así:

“Para cada x, P(x) es verdadera”. La aparición de una variable en una fórmula se puede limitar si la variable se encuentra inmediatamente después del signo del cuantificador o en el alcance del cuantificador después del cual aparece la variable. Todas las demás ocurrencias son libres, la transición de P(x) a x(Px) o (Px) se llama vincular la variable x o adjuntar un cuantificador a la variable x (o al predicado P) o cuantificación de la variable x. La variable a la que se adjunta el cuantificador se llama relacionado, una variable de cuantificación no relacionada se llama gratis.

Por ejemplo, la variable x en el predicado P(x) se llama libre (x es cualquiera de M), en la declaración P(x) la variable x se llama variable ligada.

La equivalencia es verdadera: P(x 1)P(x 2)…P(x n),

P(x) – predicado definido en el conjunto M=(x 1,x 2 ...x 4)

Cuantificador de existencia(existir – “existir”). La expresión verbal correspondiente es: “Existe una x tal que P(x) es verdadera”. El enunciado xP(x) ya no depende de x, la variable x está conectada por un cuantificador.

La equivalencia es justa:

xP(x) = P(x 1)P(x 2)…P(x n), donde

P(x) es un predicado definido en el conjunto M=(x 1 ,x 2 …x n ).

El cuantificador general y el cuantificador existencial se denominan duales, ¡a veces se utiliza la notación cuantificadora! - “existe y, además, sólo uno”.

Está claro que el enunciado xP(x) es verdadero sólo en el caso único en el que P(x) es un predicado idénticamente verdadero, y el enunciado es falso sólo cuando P(x) es un predicado idénticamente falso.

Las operaciones de cuantificación también se aplican a predicados multilugar. La aplicación de una operación cuantificadora al predicado P(x,y) con respecto a la variable x pone en correspondencia con el predicado de dos lugares P(x,y) el predicado de un lugar xP(x,y) o xP( x,y), dependiendo de y e independiente de x.

A un predicado de dos lugares, se pueden aplicar operaciones cuantificadoras en ambas variables. Luego obtenemos ocho declaraciones:

1.P(x,y); 2.P(x,y);

3. P(x,y); 4. P(x,y);

5. P(x,y); 6. P(x,y);

7. P(x,y); 8.P(x,y)

Ejemplo 3. Considere posibles opciones para adjuntar cuantificadores a un predicado. P(x,y) – “incógnita dividido por y”, definido sobre el conjunto de los números naturales (sin cero) norte. Dar formulaciones verbales de las declaraciones recibidas y determinar su verdad.

La operación de adjuntar cuantificadores conduce a las siguientes fórmulas:

Afirmaciones “para dos números naturales cualesquiera, uno es divisible por el otro” (o 1) todos los números naturales son divisibles por cualquier número natural; 2) cualquier número natural es divisor de cualquier número natural) falso;

Afirmaciones “hay dos números naturales tales que el primero es divisible por el segundo” (1. “hay un número natural x que es divisible por algún número y”; 2. “hay un número natural y que es divisor de algunos números naturales x") son verdaderos;

La afirmación “hay un número natural que es divisible por cualquier número natural” es falsa;

La afirmación “por todo número natural hay un número natural que es divisible por el primero” (o por todo número natural hay un dividendo) es cierta;

La afirmación “para todo número natural x existe un número natural y por el cual es divisible” (o “para todo número natural hay un divisor”) es cierta;

La afirmación “hay un número natural que es divisor de todo número natural” es cierta (dicho divisor es uno).

En el caso general, cambiar el orden de los cuantificadores cambia el significado del enunciado y su significado lógico, es decir, por ejemplo, las declaraciones P(x,y) y P(x,y) son diferentes.

Sea el predicado P(x,y) que signifique que x es la madre de y, entonces P(x,y) significa que cada persona tiene una madre, una afirmación verdadera. P(x,y) significa que hay una madre de todas las personas. La verdad de esta afirmación depende del conjunto de valores que y puede tomar: si es el conjunto de hermanos entonces es verdadera, en caso contrario es falsa. Por tanto, reordenar los cuantificadores de universalidad y existencia puede cambiar el significado mismo y el significado de la expresión.

a) reemplazar el signo inicial (o) por el opuesto

b) poner un signo delante del resto del predicado