Método de matriz inversa para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La regla de Cramer. Método de matriz inversa

(A veces, este método también se denomina método matricial o método de matriz inversa) requiere una familiarización preliminar con un concepto como la forma matricial de notación SLAE. El método de la matriz inversa está destinado a resolver aquellos sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el determinante de la matriz del sistema es distinto de cero. Naturalmente, esto supone que la matriz del sistema es cuadrada (el concepto de determinante existe sólo para matrices cuadradas). La esencia del método de la matriz inversa se puede expresar en tres puntos:

1. Escribe tres matrices: la matriz del sistema $A$, la matriz de incógnitas $X$, la matriz de términos libres $B$.
2. Encuentra la matriz inversa $A^(-1)$.
3. Usando la igualdad $X=A^(-1)\cdot B$, obtenga una solución al SLAE dado.

Cualquier SLAE se puede escribir en forma matricial como $A\cdot X=B$, donde $A$ es la matriz del sistema, $B$ es la matriz de términos libres, $X$ es la matriz de incógnitas. Dejemos que exista la matriz $A^(-1)$. Multipliquemos ambos lados de la igualdad $A\cdot X=B$ por la matriz $A^(-1)$ de la izquierda:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Dado que $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ es la matriz identidad), la igualdad escrita arriba se convierte en:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Dado que $E\cdot X=X$, entonces:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Ejemplo No. 1

Resuelva el SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ usando la matriz inversa.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 y 7\\ 9 y 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Encontremos la matriz inversa a la matriz del sistema, es decir Calculemos $A^(-1)$. En el ejemplo No. 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Ahora sustituyamos las tres matrices ($X$, $A^(-1)$, $B$) en la igualdad $X=A^(-1)\cdot B$. Luego realizamos la multiplicación de matrices.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

Entonces, obtuvimos la igualdad $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( matriz )\derecha)$. De esta igualdad tenemos: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Respuesta: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Ejemplo No. 2

Resuelva SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ usando el método de matriz inversa.

Escribamos la matriz del sistema $A$, la matriz de términos libres $B$ y la matriz de incógnitas $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Ahora es el turno de encontrar la matriz inversa a la matriz del sistema, es decir encontrar $A^(-1)$. En el ejemplo número 3 de la página dedicada a encontrar matrices inversas, ya se encontró la matriz inversa. Usemos el resultado final y escribamos $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 y 37\end(array)\right). $$

Ahora sustituyamos las tres matrices ($X$, $A^(-1)$, $B$) en la igualdad $X=A^(-1)\cdot B$, y luego realicemos la multiplicación de matrices en el lado derecho de esta igualdad.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 y -5 y 1 \\ 8 y 2 y -16 \\ -12 y -3 y 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Entonces, obtuvimos la igualdad $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\right)$. De esta igualdad tenemos: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Sea una matriz cuadrada de enésimo orden

La matriz A -1 se llama matriz inversa en relación con la matriz A, si A*A -1 = E, donde E es la matriz identidad de enésimo orden.

Matriz de identidad- una matriz cuadrada en la que todos los elementos a lo largo de la diagonal principal, que van desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, son unos y el resto son ceros, por ejemplo:

matriz inversa puede existir solo para matrices cuadradas aquellos. para aquellas matrices en las que coincide el número de filas y columnas.

Teorema de la condición de existencia de una matriz inversa

Para que una matriz tenga matriz inversa es necesario y suficiente que sea no singular.

La matriz A = (A1, A2,...A n) se llama no degenerado, si los vectores columna son linealmente independientes. El número de vectores columna linealmente independientes de una matriz se denomina rango de la matriz. Por tanto, podemos decir que para que exista una matriz inversa es necesario y suficiente que el rango de la matriz sea igual a su dimensión, es decir r=n.

Algoritmo para encontrar la matriz inversa.

1. Escriba la matriz A en la tabla para resolver sistemas de ecuaciones usando el método gaussiano y asígnele la matriz E a la derecha (en lugar de los lados derechos de las ecuaciones).
2. Utilizando transformaciones de Jordan, reduzca la matriz A a una matriz que consta de columnas unitarias; en este caso, es necesario transformar simultáneamente la matriz E.
3. Si es necesario, reorganice las filas (ecuaciones) de la última tabla de modo que debajo de la matriz A de la tabla original obtenga la matriz identidad E.
4. Escriba la matriz inversa A -1, que se encuentra en la última tabla debajo de la matriz E de la tabla original.

Ejemplo 1

Para la matriz A, encuentre la matriz inversa A -1

Solución: Escribimos la matriz A y asignamos la matriz identidad E a la derecha. Usando transformaciones de Jordan, reducimos la matriz A a la matriz identidad E. Los cálculos se dan en la tabla 31.1.

Comprobemos la exactitud de los cálculos multiplicando la matriz original A y la matriz inversa A -1.

Como resultado de la multiplicación de matrices se obtuvo la matriz identidad. Por tanto, los cálculos se realizaron correctamente.

Respuesta:

Resolver ecuaciones matriciales

Las ecuaciones matriciales pueden verse así:

AX = B, HA = B, AXB = C,

donde A, B, C son las matrices especificadas, X es la matriz deseada.

Las ecuaciones matriciales se resuelven multiplicando la ecuación por matrices inversas.

Por ejemplo, para encontrar la matriz de la ecuación, debes multiplicar esta ecuación por a la izquierda.

Por lo tanto, para encontrar una solución a la ecuación, debes encontrar la matriz inversa y multiplicarla por la matriz del lado derecho de la ecuación.

Otras ecuaciones se resuelven de manera similar.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación AX = B si

Solución: Dado que la matriz inversa es igual a (ver ejemplo 1)

Método matricial en análisis económico.

Junto a otros, también se utilizan métodos matriciales. Estos métodos se basan en álgebra lineal y de matrices vectoriales. Estos métodos se utilizan para analizar fenómenos económicos complejos y multidimensionales. Muy a menudo, estos métodos se utilizan cuando es necesario realizar una evaluación comparativa del funcionamiento de las organizaciones y sus divisiones estructurales.

En el proceso de aplicación de métodos de análisis matricial se pueden distinguir varias etapas.

En la primera etapa Se está formando un sistema de indicadores económicos y, sobre su base, se compila una matriz de datos iniciales, que es una tabla en la que los números del sistema se muestran en sus filas individuales. (yo = 1,2,....,n), y en columnas verticales - números de indicadores (j = 1,2,....,m).

En la segunda etapa Para cada columna vertical, se identifica el mayor de los valores de indicador disponibles, que se toma como uno.

Después de esto, todos los montos reflejados en esta columna se dividen por el valor más grande y se forma una matriz de coeficientes estandarizados.

En la tercera etapa todos los componentes de la matriz están al cuadrado. Si tienen diferente significado, entonces a cada indicador matricial se le asigna un determinado coeficiente de ponderación. k. El valor de este último lo determina la opinión de expertos.

En el último, cuarta etapa valores de calificación encontrados rj se agrupan en orden de aumento o disminución.

Los métodos matriciales descritos deben utilizarse, por ejemplo, en un análisis comparativo de varios proyectos de inversión, así como en la evaluación de otros indicadores económicos de las actividades de las organizaciones.

Las ecuaciones en general, las ecuaciones algebraicas lineales y sus sistemas, así como los métodos para resolverlas, ocupan un lugar especial en las matemáticas, tanto teóricas como aplicadas.

Esto se debe al hecho de que la gran mayoría de los problemas físicos, económicos, técnicos e incluso pedagógicos se pueden describir y resolver utilizando una variedad de ecuaciones y sus sistemas. Recientemente, el modelado matemático ha ganado especial popularidad entre investigadores, científicos y profesionales en casi todas las áreas temáticas, lo que se explica por sus obvias ventajas sobre otros métodos bien conocidos y probados para estudiar objetos de diversas naturalezas, en particular, los llamados complejos. sistemas. Existe una gran variedad de definiciones diferentes de un modelo matemático dadas por científicos en diferentes momentos, pero en nuestra opinión, la más exitosa es la siguiente afirmación. Un modelo matemático es una idea expresada por una ecuación. Por tanto, la capacidad de componer y resolver ecuaciones y sus sistemas es una característica integral de un especialista moderno.

Para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales los métodos más utilizados son Cramer, Jordan-Gauss y el método matricial.

El método de solución matricial es un método para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales con un determinante distinto de cero utilizando una matriz inversa.

Si escribimos los coeficientes de las cantidades desconocidas xi en la matriz A, reunimos las cantidades desconocidas en la columna del vector X y los términos libres en la columna del vector B, entonces el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede escribir en la forma siguiente ecuación matricial A · X = B, que tiene solución única sólo cuando el determinante de la matriz A no es igual a cero. En este caso, la solución al sistema de ecuaciones se puede encontrar de la siguiente manera X = A-1 · B, Dónde A-1 es la matriz inversa.

El método de solución matricial es el siguiente.

Tengamos un sistema de ecuaciones lineales con norte desconocido:

Se puede reescribir en forma matricial: HACHA = B, Dónde A- la matriz principal del sistema, B Y X- columnas de términos libres y soluciones del sistema, respectivamente:

Multipliquemos esta ecuación matricial de la izquierda por A-1 - matriz inversa de la matriz A: A -1 (HACHA) = A -1 B

Porque A -1 A = mi, obtenemos X= Un -1 B. El lado derecho de esta ecuación dará la columna de solución del sistema original. La condición para la aplicabilidad de este método (así como la existencia general de una solución a un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales con el número de ecuaciones igual al número de incógnitas) es la no degeneración de la matriz. A. Una condición necesaria y suficiente para ello es que el determinante de la matriz no sea igual a cero A:det A≠ 0.

Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, es decir, cuando el vector B = 0 , de hecho, la regla opuesta: el sistema HACHA = 0 tiene una solución no trivial (es decir, distinta de cero) sólo si det A= 0. Esta conexión entre soluciones de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos se denomina alternativa de Fredholm.

Ejemplo soluciones a un sistema no homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales.

Asegurémonos de que el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes de las incógnitas del sistema de ecuaciones algebraicas lineales, no sea igual a cero.

El siguiente paso es calcular los complementos algebraicos de los elementos de la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas. Serán necesarios para encontrar la matriz inversa.

Esta calculadora en línea resuelve un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método matricial. Se da una solución muy detallada. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, seleccione el número de variables. Elija un método para calcular la matriz inversa. Luego ingrese los datos en las celdas y haga clic en el botón "Calcular".

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Método matricial para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Dada la definición de matriz inversa, tenemos A −1 A=mi, Dónde mi- matriz de identidad. Por lo tanto (4) se puede escribir de la siguiente manera:

Así, para resolver el sistema de ecuaciones lineales (1) (o (2)), basta con multiplicar la inversa de A matriz por vector de restricción b.

Ejemplos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales usando el método matricial.

Ejemplo 1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método matricial:

Encontremos la inversa de la matriz A usando el método de Jordan-Gauss. En el lado derecho de la matriz A Escribamos la matriz identidad:

Excluyamos los elementos de la primera columna de la matriz debajo de la diagonal principal. Para hacer esto, suma las líneas 2,3 con la línea 1, multiplicada por -1/3, -1/3, respectivamente:

Excluyamos los elementos de la segunda columna de la matriz debajo de la diagonal principal. Para hacer esto, suma la línea 3 con la línea 2 multiplicada por -24/51:

Excluyamos los elementos de la segunda columna de la matriz sobre la diagonal principal. Para hacer esto, suma la línea 1 con la línea 2 multiplicada por -3/17:

Separe el lado derecho de la matriz. La matriz resultante es la matriz inversa de A :

Forma matricial de escribir un sistema de ecuaciones lineales: hacha=b, Dónde

Calculemos todos los complementos algebraicos de la matriz. A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

La matriz inversa se calcula a partir de la siguiente expresión.

Este es un concepto que generaliza todas las operaciones posibles realizadas con matrices. Matriz matemática - tabla de elementos. Sobre una mesa donde metro líneas y norte columnas, se dice que esta matriz tiene la dimensión metro en norte.

Vista general de la matriz:

Para soluciones matriciales Es necesario entender qué es una matriz y conocer sus principales parámetros. Elementos principales de la matriz:

• La diagonal principal, que consta de elementos. un 11, un 22…..un minuto.
• Diagonal lateral formada por elementos. un 1n , un 2n-1 .....un m1.

Principales tipos de matrices:

• El cuadrado es una matriz donde el número de filas = el número de columnas ( m=n).
• Cero: donde todos los elementos de la matriz = 0.
• Matriz transpuesta - matriz EN, que se obtuvo de la matriz original A reemplazando filas con columnas.
• Unidad: todos los elementos de la diagonal principal = 1, todos los demás = 0.
• Una matriz inversa es una matriz que, multiplicada por la matriz original, da como resultado una matriz identidad.

La matriz puede ser simétrica con respecto a las diagonales principal y secundaria. Es decir, si un 12 = un 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. un m-1n = un mn-1, entonces la matriz es simétrica con respecto a la diagonal principal. Sólo las matrices cuadradas pueden ser simétricas.

Métodos de resolución de matrices.

Casi todos métodos de resolución de matrices consiste en encontrar su determinante norte-ésimo orden y la mayoría de ellos son bastante engorrosos. Para encontrar el determinante de segundo y tercer orden existen otros métodos más racionales.

Encontrar determinantes de segundo orden.

Para calcular el determinante de una matriz. A 2do orden, es necesario restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria del producto de los elementos de la diagonal principal:

Métodos para encontrar determinantes de tercer orden.

A continuación se muestran las reglas para encontrar el determinante de tercer orden.

Regla simplificada del triángulo como una de métodos de resolución de matrices, se puede representar de esta manera:

Es decir, el producto de elementos del primer determinante que están conectados por rectas se toma con signo “+”; Asimismo, para el 2º determinante se toman los productos correspondientes con el signo “-”, es decir, según el siguiente esquema:

En resolver matrices usando la regla de Sarrus, a la derecha del determinante se suman las 2 primeras columnas y se toman con signo “+” los productos de los elementos correspondientes en la diagonal principal y en las diagonales paralelas a ella; y los productos de los elementos correspondientes de la diagonal secundaria y las diagonales paralelas a ella, con el signo “-”:

Descomposición del determinante en una fila o columna al resolver matrices.

El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila del determinante y sus complementos algebraicos. Normalmente, se selecciona la fila/columna que contiene ceros. La fila o columna a lo largo de la cual se realiza la descomposición se indicará mediante una flecha.

Reducir el determinante a forma triangular al resolver matrices.

En resolviendo matrices método para reducir el determinante a una forma triangular, funcionan así: usando las transformaciones más simples en filas o columnas, el determinante adquiere una forma triangular y luego su valor, de acuerdo con las propiedades del determinante, será igual al producto de los elementos que están en la diagonal principal.

Teorema de Laplace para la resolución de matrices.

Al resolver matrices utilizando el teorema de Laplace, es necesario conocer el teorema en sí. Teorema de Laplace: Sea Δ - esto es un determinante norte-ésimo orden. Seleccionamos cualquier k filas (o columnas), proporcionadas k≤ norte - 1. En este caso, la suma de los productos de todos los menores. k-ésimo orden contenido en el seleccionado k filas (columnas), por sus complementos algebraicos serán iguales al determinante.

Resolviendo la matriz inversa.

Secuencia de acciones para soluciones de matriz inversa:

1. Determinar si una matriz dada es cuadrada. Si la respuesta es negativa, queda claro que no puede haber una matriz inversa para ello.
2. Calculamos complementos algebraicos.
3. Componemos una matriz de unión (mutua, adjunta) C.
4. La matriz inversa la componemos a partir de sumas algebraicas: todos los elementos de la matriz adjunta C dividir por el determinante de la matriz inicial. La matriz final será la matriz inversa requerida en relación con la dada.
5. Comprobamos el trabajo realizado: multiplicamos la matriz inicial y la matriz resultante, el resultado debe ser una matriz identidad.

Resolución de sistemas matriciales.

Para soluciones de sistemas matriciales El método gaussiano es el más utilizado.

El método de Gauss es un método estándar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) y consiste en eliminar variables secuencialmente, es decir, con la ayuda de cambios elementales, el sistema de ecuaciones se lleva a un sistema equivalente de ecuaciones triangulares. forma y a partir de ella, secuencialmente, a partir de este último (por número), encontrar cada elemento del sistema.

método de gauss es la mejor y más versátil herramienta para encontrar soluciones matriciales. Si un sistema tiene un número infinito de soluciones o el sistema es incompatible, entonces no se puede resolver utilizando la regla de Cramer y el método matricial.

El método de Gauss también implica movimientos directos (reducir la matriz extendida a una forma escalonada, es decir, obtener ceros debajo de la diagonal principal) e inversos (obtener ceros encima de la diagonal principal de la matriz extendida). El movimiento hacia adelante es el método de Gauss, el movimiento hacia atrás es el método de Gauss-Jordan. El método de Gauss-Jordan se diferencia del método de Gauss sólo en la secuencia de eliminación de variables.