Lista de logaritmos con soluciones - fracciones fáciles. Ecuación logarítmica: fórmulas y técnicas básicas

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Explíquelo de forma más sencilla. Por ejemplo, \(\log_(2)(8)\) es igual a la potencia a la que se debe elevar \(2\) para obtener \(8\). De esto queda claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Ejemplos:		\(\log_(5)(25)=2\)		porque \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		porque \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento y base del logaritmo.

Cualquier logaritmo tiene la siguiente “anatomía”:

El argumento de un logaritmo generalmente se escribe en su nivel y la base se escribe en un subíndice más cercano al signo del logaritmo. Y esta entrada dice así: “logaritmo de veinticinco en base cinco”.

¿Cómo calcular el logaritmo?

Para calcular el logaritmo, debes responder la pregunta: ¿a qué potencia se debe elevar la base para obtener el argumento?

Por ejemplo, calcula el logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) ¿A qué potencia se debe elevar \(4\) para obtener \(16\)? Obviamente el segundo. Es por eso:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(5)\) para obtener \(1\)? ¿Qué poder hace que cualquier número uno? ¡Cero, por supuesto!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(7)\) para obtener \(\sqrt(7)\)? En primer lugar, cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) ¿A qué potencia se debe elevar \(3\) para obtener \(\sqrt(3)\)? Sabemos que es una potencia fraccionaria, lo que significa que la raíz cuadrada es la potencia de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Ejemplo : Calcular logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solución :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Necesitamos encontrar el valor del logaritmo, denotémoslo como x. Ahora usemos la definición de logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		¿Qué conecta \(4\sqrt(2)\) y \(8\)? Dos, porque ambos números se pueden representar de dos en dos: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A la izquierda usamos las propiedades del grado: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) y \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Las bases son iguales, pasamos a la igualdad de indicadores.
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplica ambos lados de la ecuación por \(\frac(2)(5)\)
		La raíz resultante es el valor del logaritmo.

Respuesta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

¿Por qué se inventó el logaritmo?

Para entender esto, resolvamos la ecuación: \(3^(x)=9\). Simplemente haga coincidir \(x\) para que la ecuación funcione. Por supuesto, \(x=2\).

Ahora resuelve la ecuación: \(3^(x)=8\). ¿A qué es igual x? Ese es el punto.

Los más inteligentes dirán: “X es un poco menos que dos”. ¿Cómo escribir exactamente este número? Para responder a esta pregunta, se inventó el logaritmo. Gracias a él, la respuesta aquí se puede escribir como \(x=\log_(3)(8)\).

Quiero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), como cualquier logaritmo es solo un número. Sí, parece inusual, pero es breve. Porque si quisiéramos escribirlo como decimal, quedaría así: \(1.892789260714.....\)

Ejemplo : Resuelve la ecuación \(4^(5x-4)=10\)

Solución :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) y \(10\) no se pueden llevar a la misma base. Esto significa que no puedes prescindir de un logaritmo. Usemos la definición de logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Inviertamos la ecuación para que X esté a la izquierda.
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Ante nosotros. Movamos \(4\) hacia la derecha. Y no le tengas miedo al logaritmo, trátalo como a un número normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divide la ecuación por 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Esta es nuestra raíz. Sí, parece inusual, pero no eligen la respuesta.

Respuesta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimales y naturales

Como se indica en la definición de logaritmo, su base puede ser cualquier número positivo excepto uno \((a>0, a\neq1)\). Y entre todas las bases posibles, hay dos que ocurren con tanta frecuencia que se inventó una notación breve especial para los logaritmos con ellas:

Logaritmo natural: un logaritmo cuya base es el número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), y el logaritmo se escribe como \(\ln(a)\).

Eso es, \(\ln(a)\) es lo mismo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimal: un logaritmo cuya base es 10 se escribe \(\lg(a)\).

Eso es, \(\lg(a)\) es lo mismo que \(\log_(10)(a)\), donde \(a\) es algún número.

Identidad logarítmica básica

Los logaritmos tienen muchas propiedades. Uno de ellos se llama "Identidad logarítmica básica" y tiene este aspecto:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Esta propiedad se deriva directamente de la definición. Veamos exactamente cómo surgió esta fórmula.

Recordemos una breve notación de la definición de logaritmo:

si \(a^(b)=c\), entonces \(\log_(a)(c)=b\)

Es decir, \(b\) es lo mismo que \(\log_(a)(c)\). Entonces podemos escribir \(\log_(a)(c)\) en lugar de \(b\) en la fórmula \(a^(b)=c\). Resultó \(a^(\log_(a)(c))=c\) - la identidad logarítmica principal.

Puedes encontrar otras propiedades de los logaritmos. Con su ayuda, puedes simplificar y calcular los valores de expresiones con logaritmos, que son difíciles de calcular directamente.

Ejemplo : Encuentra el valor de la expresión \(36^(\log_(6)(5))\)

Solución :

Respuesta : \(25\)

¿Cómo escribir un número como logaritmo?

Como se mencionó anteriormente, cualquier logaritmo es solo un número. Lo contrario también es cierto: cualquier número se puede escribir como un logaritmo. Por ejemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) es igual a dos. Luego, en lugar de dos, puedes escribir \(\log_(2)(4)\).

Pero \(\log_(3)(9)\) también es igual a \(2\), lo que significa que también podemos escribir \(2=\log_(3)(9)\) . Lo mismo ocurre con \(\log_(5)(25)\), y con \(\log_(9)(81)\), etc. Es decir, resulta

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Por lo tanto, si lo necesitamos, podemos escribir dos como un logaritmo con cualquier base en cualquier lugar (incluso en una ecuación, incluso en una expresión, incluso en una desigualdad); simplemente escribimos la base al cuadrado como argumento.

Lo mismo ocurre con el triple: se puede escribir como \(\log_(2)(8)\), o como \(\log_(3)(27)\), o como \(\log_(4)( 64) \)... Aquí escribimos la base en el cubo como argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Y con cuatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Y con menos uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Y con un tercio:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Cualquier número \(a\) se puede representar como un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Ejemplo : Encuentra el significado de la expresión. \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solución :

Respuesta : \(1\)

(del griego λόγος - "palabra", "relación" y ἀριθμός - "número") números b Residencia en a(log α b) se llama tal número do, Y b= una c, es decir, registros log α b=do Y b=ado son equivalentes. El logaritmo tiene sentido si a > 0, a ≠ 1, b > 0.

En otras palabras logaritmo números b Residencia en A formulado como un exponente al que se debe elevar un número a para obtener el numero b(El logaritmo existe sólo para números positivos).

De esta formulación se deduce que el cálculo x= log α b, equivale a resolver la ecuación a x =b.

Por ejemplo:

Iniciar sesión 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 .

Destaquemos que la formulación indicada del logaritmo permite determinar inmediatamente valor logaritmo, cuando el número bajo el signo del logaritmo actúa como una determinada potencia de la base. De hecho, la formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número b Residencia en a es igual Con. También está claro que el tema de los logaritmos está estrechamente relacionado con el tema. potencias de un numero.

Calcular el logaritmo se llama logaritmo. Logaritmo es la operación matemática de tomar un logaritmo. Al tomar logaritmos, los productos de factores se transforman en sumas de términos.

Potenciación es la operación matemática inversa del logaritmo. Durante la potenciación, una base determinada se eleva hasta el grado de expresión sobre el cual se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en un producto de factores.

Muy a menudo, se utilizan logaritmos reales con bases 2 (binario), el número de Euler e ≈ 2,718 (logaritmo natural) y 10 (decimal).

En esta etapa es aconsejable considerar muestras de logaritmos iniciar sesión 7 2 , en √ 5, lg0.0001.

Y las entradas lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 no tienen sentido, ya que en la primera de ellas se coloca un número negativo bajo el signo del logaritmo, en la segunda hay un número negativo en la base, y en el tercero hay un número negativo bajo el signo del logaritmo y la unidad en la base.

Condiciones para determinar el logaritmo.

Vale la pena considerar por separado las condiciones a > 0, a ≠ 1, b > 0, bajo las cuales obtenemos definición de logaritmo. Consideremos por qué se tomaron estas restricciones. Una igualdad de la forma x = log α nos ayudará con esto b, llamada identidad logarítmica básica, que se deriva directamente de la definición de logaritmo dada anteriormente.

Tomemos la condición a≠1. Como uno elevado a cualquier potencia es igual a uno, la igualdad x=log α b sólo puede existir cuando b=1, pero log 1 1 será cualquier número real. Para eliminar esta ambigüedad, tomamos a≠1.

Demostremos la necesidad de la condición. a>0. En a=0 según la formulación del logaritmo sólo puede existir cuando b=0. Y en consecuencia entonces iniciar sesión 0 0 puede ser cualquier número real distinto de cero, ya que cero elevado a cualquier potencia distinta de cero es cero. Esta ambigüedad puede eliminarse mediante la condición a≠0. y cuando a<0 Tendríamos que rechazar el análisis de los valores racionales e irracionales del logaritmo, ya que un grado con exponente racional e irracional se define sólo para bases no negativas. Es por esta razón que se estipula la condición a>0.

Y la última condición b>0 se deriva de la desigualdad a>0, ya que x=log α b, y el valor del grado con base positiva a siempre positivo.

Características de los logaritmos.

Logaritmos caracterizado por distintivo características, lo que llevó a su uso generalizado para facilitar significativamente los cálculos minuciosos. Al pasar “al mundo de los logaritmos”, la multiplicación se transforma en una suma mucho más sencilla, la división en resta y la exponenciación y la extracción de raíces se transforman, respectivamente, en multiplicación y división por el exponente.

La formulación de logaritmos y una tabla de sus valores (para funciones trigonométricas) fue publicada por primera vez en 1614 por el matemático escocés John Napier. Las tablas logarítmicas, ampliadas y detalladas por otros científicos, se utilizaron ampliamente en cálculos científicos y de ingeniería y siguieron siendo relevantes hasta el uso de calculadoras electrónicas y computadoras.

¿Qué es un logaritmo?

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

¿Qué es un logaritmo? ¿Cómo resolver logaritmos? Estas preguntas confunden a muchos graduados. Tradicionalmente, el tema de los logaritmos se considera complejo, incomprensible y aterrador. Especialmente ecuaciones con logaritmos.

Esto es absolutamente falso. ¡Absolutamente! ¿No me crees? Bien. Ahora, en sólo 10 - 20 minutos usted:

1. Lo entenderás que es un logaritmo.

2. Aprenda a resolver toda una clase de ecuaciones exponenciales. Incluso si no has oído nada sobre ellos.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Además, para ello sólo necesitarás conocer la tabla de multiplicar y cómo elevar un número a una potencia…

Siento que tienes dudas... Bueno, está bien, ¡marca el tiempo! ¡Vamos!

Primero, resuelve esta ecuación en tu cabeza:

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Todos estamos familiarizados con las ecuaciones desde la escuela primaria. Allí también aprendimos a resolver los ejemplos más simples, y debemos admitir que encuentran su aplicación incluso en matemáticas superiores. Todo es sencillo con las ecuaciones, incluidas las ecuaciones cuadráticas. Si tiene problemas con este tema, le recomendamos encarecidamente que lo revise.

Probablemente también hayas repasado los logaritmos. Sin embargo, consideramos importante contar de qué se trata para quienes aún no lo saben. Un logaritmo equivale a la potencia a la que se debe elevar la base para obtener el número a la derecha del signo del logaritmo. Pongamos un ejemplo a partir del cual todo le quedará claro.

Si elevas 3 a la cuarta potencia, obtienes 81. Ahora sustituye los números por analogía y finalmente entenderás cómo se resuelven los logaritmos. Ahora sólo queda combinar los dos conceptos comentados. Al principio, la situación parece extremadamente complicada, pero tras un examen más detenido, el peso vuelve a su lugar. Estamos seguros de que después de este breve artículo no tendrás problemas en esta parte del Examen Estatal Unificado.

Hoy en día existen muchas formas de solucionar este tipo de estructuras. Te contamos las tareas más sencillas, efectivas y aplicables en el caso del Examen Estatal Unificado. La resolución de ecuaciones logarítmicas debe comenzar con el ejemplo más simple. Las ecuaciones logarítmicas más simples constan de una función y una variable.

Es importante señalar que x está dentro del argumento. A y b deben ser números. En este caso, puedes simplemente expresar la función en términos de un número elevado a una potencia. Se parece a esto.

Por supuesto, resolver una ecuación logarítmica usando este método te llevará a la respuesta correcta. El problema para la gran mayoría de estudiantes en este caso es que no entienden qué viene de dónde. Como resultado, hay que aguantar errores y no conseguir los puntos deseados. El error más ofensivo será si mezclas las letras. Para resolver la ecuación de esta manera, debes memorizar esta fórmula escolar estándar porque es difícil de entender.

Para hacerlo más fácil, puedes recurrir a otro método: la forma canónica. La idea es extremadamente simple. Vuelve tu atención al problema. Recuerda que la letra a es un número, no una función o variable. A no es igual a uno y mayor que cero. No hay restricciones en b. Ahora, de todas las fórmulas, recordemos una. B se puede expresar de la siguiente manera.

De esto se deduce que todas las ecuaciones originales con logaritmos se pueden representar en la forma:

Ahora podemos eliminar los logaritmos. El resultado es un diseño sencillo, que ya hemos visto anteriormente.

La conveniencia de esta fórmula radica en el hecho de que se puede utilizar en una amplia variedad de casos, y no solo para los diseños más simples.

¡No te preocupes por OOF!

Muchos matemáticos experimentados notarán que no hemos prestado atención al dominio de la definición. La regla se reduce al hecho de que F(x) es necesariamente mayor que 0. No, no hemos pasado por alto este punto. Ahora estamos hablando de otra gran ventaja de la forma canónica.

Aquí no habrá raíces adicionales. Si una variable solo aparecerá en un lugar, entonces no es necesario un alcance. Se hace automáticamente. Para verificar este juicio, intente resolver varios ejemplos simples.

Cómo resolver ecuaciones logarítmicas con diferentes bases.

Estas ya son ecuaciones logarítmicas complejas y el enfoque para resolverlas debe ser especial. Aquí rara vez es posible limitarnos a la notoria forma canónica. Comencemos nuestra historia detallada. Tenemos la siguiente construcción.

Presta atención a la fracción. Contiene el logaritmo. Si ves esto en una tarea, vale la pena recordar un truco interesante.

¿Qué significa? Cada logaritmo se puede representar como el cociente de dos logaritmos con una base conveniente. Y esta fórmula tiene un caso especial que es aplicable a este ejemplo (nos referimos a si c=b).

Esta es exactamente la fracción que vemos en nuestro ejemplo. De este modo.

Básicamente, le dimos la vuelta a la fracción y obtuvimos una expresión más conveniente. ¡Recuerda este algoritmo!

Ahora es necesario que la ecuación logarítmica no contenga bases diferentes. Representemos la base como una fracción.

En matemáticas existe una regla según la cual se puede derivar un título a partir de una base. Los siguientes resultados de construcción.

Parecería que ¿qué nos impide ahora convertir nuestra expresión en la forma canónica y simplemente resolverla? No es tan simple. No debe haber fracciones antes del logaritmo. ¡Arreglemos esta situación! Se permite utilizar fracciones como grados.

Respectivamente.

Si las bases son iguales, podemos eliminar los logaritmos e igualar las expresiones mismas. De esta manera la situación será mucho más sencilla de lo que era. Lo que quedará es una ecuación elemental que cada uno de nosotros sabía cómo resolver en octavo o incluso séptimo grado. Puedes hacer los cálculos tú mismo.

Hemos obtenido la única raíz verdadera de esta ecuación logarítmica. Los ejemplos de resolución de una ecuación logarítmica son bastante simples, ¿no? Ahora podrá afrontar de forma independiente incluso las tareas más complejas de preparación y aprobación del Examen Estatal Unificado.

¿Cuál es el resultado?

En el caso de ecuaciones logarítmicas, partimos de una regla muy importante. Es necesario actuar de tal manera que se reduzca la expresión a la forma más simple posible. En este caso, tendrás más posibilidades no sólo de resolver la tarea correctamente, sino también de hacerlo de la forma más sencilla y lógica posible. Así es exactamente como siempre trabajan los matemáticos.

No recomendamos encarecidamente buscar caminos difíciles, especialmente en este caso. Recuerda algunas reglas simples que te permitirán transformar cualquier expresión. Por ejemplo, reduzca dos o tres logaritmos a la misma base o obtenga una potencia de la base y gane con esto.

También vale la pena recordar que resolver ecuaciones logarítmicas requiere práctica constante. Poco a poco irás avanzando hacia estructuras cada vez más complejas, lo que te llevará a resolver con confianza todas las variantes de los problemas del Examen Estatal Unificado. Prepárate con mucha antelación para tus exámenes y ¡buena suerte!

Se desprende de su definición. Y entonces el logaritmo del número. b Residencia en A se define como el exponente al que se debe elevar un número a para obtener el numero b(El logaritmo existe sólo para números positivos).

De esta formulación se deduce que el cálculo x=log a b, equivale a resolver la ecuación ax=b. Por ejemplo, iniciar sesión 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 . La formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número b Residencia en a es igual Con. También está claro que el tema de los logaritmos está estrechamente relacionado con el tema de las potencias de un número.

Con logaritmos, como con cualquier número, puedes hacer operaciones de suma, resta y transformarnos en todos los sentidos posibles. Pero debido al hecho de que los logaritmos no son números completamente ordinarios, aquí se aplican sus propias reglas especiales, que se llaman propiedades principales.

Sumar y restar logaritmos.

Tomemos dos logaritmos con las mismas bases: registrar una x Y iniciar sesión y. Entonces es posible realizar operaciones de suma y resta:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registrar un(incógnita 1 . incógnita 2 . incógnita 3 ... x k) = registrar una x 1 + registrar una x 2 + registrar una x 3 + ... + iniciar sesión xk.

De teorema del cociente logaritmo Se puede obtener una propiedad más del logaritmo. Es de conocimiento común que el registro a 1= 0, por lo tanto

registro a 1 /b= iniciar sesión a 1 - registro un segundo= -registro un segundo.

Esto significa que hay una igualdad:

iniciar sesión a 1 / b = - iniciar sesión a b.

Logaritmos de dos números recíprocos por la misma razón se diferenciarán entre sí únicamente por el signo. Entonces:

Registro 3 9= - registro 3 1/9; registro 5 1/125 = - registro 5 125.