Resolver ecuaciones irracionales. Métodos para resolver ecuaciones irracionales.

Las ecuaciones en las que una variable está contenida bajo el signo de la raíz se llaman irracionales.

Los métodos para resolver ecuaciones irracionales generalmente se basan en la posibilidad de reemplazar (con la ayuda de algunas transformaciones) una ecuación irracional por una ecuación racional que sea equivalente a la ecuación irracional original o sea una consecuencia de ella. En la mayoría de los casos, ambos lados de la ecuación se elevan a la misma potencia. Esto produce una ecuación que es consecuencia de la original.

A la hora de resolver ecuaciones irracionales se debe tener en cuenta lo siguiente:

1) si el exponente radical es un número par, entonces la expresión radical debe ser no negativa; en este caso, el valor de la raíz tampoco es negativo (definición de raíz con exponente par);

2) si el exponente radical es un número impar, entonces la expresión radical puede ser cualquier número real; en este caso, el signo de la raíz coincide con el signo de la expresión radical.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.
x2 - 3 = 1;
Movamos -3 del lado izquierdo de la ecuación hacia la derecha y realicemos una reducción de términos similares.
x2 = 4;
La ecuación cuadrática incompleta resultante tiene dos raíces -2 y 2.

Comprobemos las raíces obtenidas sustituyendo los valores de la variable x en la ecuación original.
Examen.
Cuando x 1 = -2 - verdadero:
Cuando x 2 = -2- verdadero.
De ello se deduce que la ecuación irracional original tiene dos raíces -2 y 2.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación .

Esta ecuación se puede resolver usando el mismo método que en el primer ejemplo, pero lo haremos de manera diferente.

Encontremos la ODZ de esta ecuación. De la definición de raíz cuadrada se deduce que en esta ecuación deben cumplirse simultáneamente dos condiciones:

ODZ de este uranio: x.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación =+ 2.

Encontrar la ODZ en esta ecuación es una tarea bastante difícil. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x1 =1; x 2 = 0.
Después de comprobarlo, establecemos que x 2 =0 es una raíz extra.
Respuesta:x1 =1.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación x =.

En este ejemplo, la ODZ es fácil de encontrar. ODZ de esta ecuación: x[-1;).

Elevamos al cuadrado ambos lados de esta ecuación y como resultado obtenemos la ecuación x 2 = x + 1. Las raíces de esta ecuación son:

Es difícil verificar las raíces encontradas. Pero, a pesar de que ambas raíces pertenecen a la ODZ, es imposible afirmar que ambas raíces sean raíces de la ecuación original. Esto resultará en un error. En este caso, la ecuación irracional equivale a una combinación de dos desigualdades y una ecuación:

x+10 Y x0 Y x 2 = x + 1, de lo que se deduce que la raíz negativa de la ecuación irracional es extraña y debe descartarse.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación += 7.

Elevemos al cuadrado ambos lados de la ecuación y realicemos la reducción de términos semejantes, transfiramos los términos de un lado de la ecuación al otro y multipliquemos ambos lados por 0,5. Como resultado obtenemos la ecuación
= 12, (*) que es consecuencia del original. Elevemos nuevamente al cuadrado ambos lados de la ecuación. Obtenemos la ecuación (x + 5)(20 - x) = 144, que es consecuencia de la original. La ecuación resultante se reduce a la forma x 2 - 15x + 44 =0.

Esta ecuación (también consecuencia de la original) tiene raíces x 1 = 4, x 2 = 11. Ambas raíces, como muestra la verificación, satisfacen la ecuación original.

Reps. x1 = 4, x2 = 11.

Comentario. Al elevar ecuaciones al cuadrado, los estudiantes suelen multiplicar expresiones radicales en ecuaciones como (*), es decir, en lugar de ecuación = 12, escriben la ecuación = 12. Esto no da lugar a errores, ya que las ecuaciones son consecuencias de las ecuaciones. Sin embargo, hay que tener en cuenta que, en el caso general, tal multiplicación de expresiones radicales da ecuaciones desiguales.

En los ejemplos analizados anteriormente, primero se podría mover uno de los radicales al lado derecho de la ecuación. Entonces quedará un radical en el lado izquierdo de la ecuación, y después de elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, se obtendrá una función racional en el lado izquierdo de la ecuación. Esta técnica (aislamiento del radical) se utiliza con bastante frecuencia para resolver ecuaciones irracionales.

Ejemplo 6. Resolver ecuación-= 3.

Aislando el primer radical, obtenemos la ecuación.
=+ 3, equivalente al original.

Al elevar al cuadrado ambos lados de esta ecuación, obtenemos la ecuación

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, equivalente a la ecuación

4x - 5 = 3(*). Esta ecuación es consecuencia de la ecuación original. Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, llegamos a la ecuación
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), o

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Esta ecuación es consecuencia de la ecuación (*) (y por tanto de la ecuación original) y tiene raíces. La primera raíz x 1 = 2 satisface la ecuación original, pero la segunda x 2 = no.

Respuesta: x = 2.

Tenga en cuenta que si inmediatamente, sin aislar uno de los radicales, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación original, tendríamos que realizar transformaciones bastante engorrosas.

Al resolver ecuaciones irracionales, además de aislar radicales, se utilizan otros métodos. Consideremos un ejemplo del uso del método de sustitución de una incógnita (método de introducción de una variable auxiliar).

Mientras estudian álgebra, los escolares se enfrentan a muchos tipos de ecuaciones. Entre los más simples se encuentran los lineales, que contienen una incógnita. Si una variable en una expresión matemática se eleva a una determinada potencia, entonces la ecuación se llama cuadrática, cúbica, bicuadrática, etc. Estas expresiones pueden contener números racionales. Pero también existen ecuaciones irracionales. Se diferencian de otros por la presencia de una función donde la incógnita está bajo el signo radical (es decir, puramente externamente, la variable aquí se puede ver escrita bajo la raíz cuadrada). La resolución de ecuaciones irracionales tiene sus propias características. A la hora de calcular el valor de una variable para obtener la respuesta correcta hay que tenerlos en cuenta.

"Indescriptible en palabras"

No es ningún secreto que los matemáticos antiguos operaban principalmente con números racionales. Estos incluyen, como saben, números enteros expresados ​​mediante fracciones periódicas ordinarias y decimales, representantes de una determinada comunidad. Sin embargo, los científicos del Medio y Cercano Oriente, así como de la India, que desarrollaron la trigonometría, la astronomía y el álgebra, también aprendieron a resolver ecuaciones irracionales. Por ejemplo, los griegos conocían cantidades similares, pero al expresarlas en forma verbal usaban el concepto “alogos”, que significaba “inexpresable”. Un poco más tarde, los europeos, imitándolos, llamaron a esos números "sordos". Se diferencian de todos los demás en que sólo pueden representarse como una fracción infinita no periódica, cuya expresión numérica final es simplemente imposible de obtener. Por lo tanto, más a menudo estos representantes del reino de los números se escriben en forma de números y signos como alguna expresión ubicada bajo la raíz del segundo grado o superior.

Con base en lo anterior, intentemos definir una ecuación irracional. Estas expresiones contienen los llamados "números inexpresables", escritos con el signo de la raíz cuadrada. Pueden ser todo tipo de opciones bastante complejas, pero en su forma más simple se parecen a la de la foto de abajo.

Al comenzar a resolver ecuaciones irracionales, en primer lugar es necesario calcular el rango de valores permitidos de la variable.

¿Tiene sentido la expresión?

La necesidad de verificar los valores obtenidos se deriva de las propiedades. Como se sabe, dicha expresión es aceptable y tiene significado solo bajo ciertas condiciones. En el caso de raíces de grados pares, todas las expresiones radicales deben ser positivas o iguales a cero. Si no se cumple esta condición, la notación matemática presentada no puede considerarse significativa.

Demos un ejemplo específico de cómo resolver ecuaciones irracionales (que se muestra a continuación).

En este caso, es obvio que las condiciones especificadas no se pueden cumplir para ningún valor aceptado por el valor deseado, ya que resulta que 11 ≤ x ≤ 4. Esto significa que solo Ø puede ser una solución.

Método de análisis

De lo anterior queda claro cómo resolver algunos tipos de ecuaciones irracionales. En este caso, un simple análisis puede ser una forma eficaz.

Demos una serie de ejemplos que nuevamente lo demostrarán claramente (en la foto a continuación).

En el primer caso, tras un examen cuidadoso de la expresión, resulta inmediatamente extremadamente claro que no puede ser cierta. De hecho, el lado izquierdo de la igualdad debería dar como resultado un número positivo, que no puede ser igual a -1.

En el segundo caso, la suma de dos expresiones positivas puede considerarse igual a cero sólo cuando x - 3 = 0 y x + 3 = 0 al mismo tiempo. Y esto nuevamente es imposible. Y eso significa que la respuesta debería escribirse nuevamente Ø.

El tercer ejemplo es muy similar al ya comentado anteriormente. De hecho, aquí las condiciones de la ODZ requieren que se cumpla la siguiente desigualdad absurda: 5 ≤ x ≤ 2. Y una ecuación así tampoco puede tener soluciones sensatas.

Zoom ilimitado

La naturaleza de lo irracional sólo puede explicarse y conocerse de forma más clara y completa a través de la serie interminable de números decimales. Un ejemplo específico y sorprendente de los miembros de esta familia es pi. No en vano esta constante matemática se conoce desde la antigüedad, utilizándose para calcular la circunferencia y el área de un círculo. Pero entre los europeos lo pusieron en práctica por primera vez el inglés William Jones y el suizo Leonard Euler.

Esta constante surge de la siguiente manera. Si comparamos círculos de diferentes circunferencias, entonces la relación entre sus longitudes y diámetros es necesariamente igual al mismo número. Esto es pi. Si lo expresamos mediante una fracción ordinaria, aproximadamente obtenemos 22/7. Esto lo hizo por primera vez el gran Arquímedes, cuyo retrato se muestra en la figura de arriba. Es por eso que ese número recibió su nombre. Pero este no es un valor explícito, sino aproximado, de quizás el más sorprendente de los números. Un científico brillante encontró el valor deseado con una precisión de 0,02, pero, de hecho, esta constante no tiene un significado real, sino que se expresa como 3,1415926535... Es una serie interminable de números que se acerca indefinidamente a algún valor mítico.

cuadratura

Pero volvamos a las ecuaciones irracionales. Para encontrar la incógnita, en este caso se suele recurrir a un método sencillo: elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad existente. Este método suele dar buenos resultados. Pero hay que tener en cuenta lo insidioso de las cantidades irracionales. Se deben comprobar todas las raíces obtenidas como resultado de esto, ya que pueden no ser adecuadas.

Pero sigamos mirando los ejemplos e intentemos encontrar las variables usando el método recientemente propuesto.

No es nada difícil, utilizando el teorema de Vieta, encontrar los valores deseados de las cantidades después de que, como resultado de ciertas operaciones, hayamos formado una ecuación cuadrática. Aquí resulta que entre las raíces estarán 2 y -19. Sin embargo, al verificar y sustituir los valores resultantes en la expresión original, puede asegurarse de que ninguna de estas raíces sea adecuada. Esto es algo común en las ecuaciones irracionales. Esto significa que nuestro dilema nuevamente no tiene solución y la respuesta debería indicar un conjunto vacío.

Ejemplos más complejos

En algunos casos, es necesario elevar al cuadrado ambos lados de una expresión no una, sino varias veces. Veamos ejemplos en los que esto es necesario. Se pueden ver a continuación.

Una vez recibidas las raíces, no olvides revisarlas, porque pueden aparecer más. Se debe explicar por qué esto es posible. Al aplicar este método, la ecuación queda algo racionalizada. Pero al deshacernos de las raíces que no nos gustan y que nos impiden realizar operaciones aritméticas, parecemos ampliar la gama existente de significados, lo cual está plagado (como se puede comprender) de consecuencias. Anticipándonos a esto, realizamos una verificación. En este caso, existe la posibilidad de asegurarse de que solo una de las raíces sea adecuada: x = 0.

Sistemas

¿Qué debemos hacer en los casos en que necesitamos resolver sistemas de ecuaciones irracionales y no tenemos una, sino dos incógnitas? Aquí actuamos de la misma forma que en los casos habituales, pero teniendo en cuenta las propiedades anteriores de estas expresiones matemáticas. Y en cada nueva tarea, por supuesto, conviene utilizar un enfoque creativo. Pero, nuevamente, es mejor considerar todo utilizando el ejemplo específico que se presenta a continuación. Aquí no solo necesitas encontrar las variables xey, sino también indicar su suma en la respuesta. Entonces, hay un sistema que contiene cantidades irracionales (ver foto a continuación).

Como puede ver, tal tarea no representa nada sobrenaturalmente difícil. Sólo necesitas ser inteligente y adivinar que el lado izquierdo de la primera ecuación es el cuadrado de la suma. Se encuentran tareas similares en el Examen Estatal Unificado.

Irracional en matemáticas

Cada vez surgió entre la humanidad la necesidad de crear nuevos tipos de números cuando no tenía suficiente “espacio” para resolver algunas ecuaciones. Los números irracionales no son una excepción. Como atestiguan los hechos de la historia, los grandes sabios prestaron atención a esto por primera vez incluso antes de nuestra era, en el siglo VII. Esto lo hizo un matemático de la India conocido como Manava. Entendió claramente que era imposible extraer una raíz de algunos números naturales. Por ejemplo, estos incluyen 2; 17 o 61, entre muchos otros.

Uno de los pitagóricos, un pensador llamado Hippaso, llegó a la misma conclusión al intentar hacer cálculos utilizando expresiones numéricas de los lados del pentagrama. Al descubrir elementos matemáticos que no pueden expresarse en valores numéricos y que no tienen las propiedades de los números ordinarios, enfureció tanto a sus colegas que lo arrojaron por la borda al mar. El caso es que otros pitagóricos consideraron su razonamiento una rebelión contra las leyes del universo.

Signo del Radical: Evolución

El signo raíz para expresar el valor numérico de los números "sordos" no comenzó a usarse de inmediato para resolver desigualdades y ecuaciones irracionales. Los matemáticos europeos, en particular los italianos, comenzaron a pensar en lo radical alrededor del siglo XIII. Al mismo tiempo, se les ocurrió la idea de utilizar la R latina como designación, pero los matemáticos alemanes actuaron de manera diferente en sus trabajos. Les gustaba más la letra V. En Alemania pronto se difundió la designación V(2), V(3), que pretendía expresar la raíz cuadrada de 2, 3, etc. Posteriormente, los holandeses intervinieron y modificaron el signo del radical. Y René Descartes completó la evolución, llevando el signo de la raíz cuadrada a la perfección moderna.

Deshacerse de lo irracional

Las ecuaciones y desigualdades irracionales pueden incluir una variable no solo bajo el signo de la raíz cuadrada. Puede ser de cualquier grado. La forma más común de deshacerse de él es elevar ambos lados de la ecuación a la potencia adecuada. Esta es la acción principal que ayuda en las operaciones con lo irracional. Las acciones en casos pares no son particularmente diferentes de las que ya hemos comentado anteriormente. Aquí se deben tener en cuenta las condiciones para la no negatividad de la expresión radical, y al final de la solución es necesario filtrar los valores extraños de las variables de la misma manera como se mostró en los ejemplos ya considerados. .

Entre las transformaciones adicionales que ayudan a encontrar la respuesta correcta, se suele utilizar la multiplicación de la expresión por su conjugado, y muchas veces también es necesario introducir una nueva variable, lo que facilita la solución. En algunos casos, es recomendable utilizar gráficas para encontrar el valor de las incógnitas.

Resolver ecuaciones irracionales.

En este artículo hablaremos de soluciones. ecuaciones irracionales más simples.

ecuación irracional es una ecuación que contiene una incógnita bajo el signo de la raíz.

Veamos dos tipos ecuaciones irracionales, que son muy similares a primera vista, pero en esencia son muy diferentes entre sí.

(1)

(2)

En la primera ecuación vemos que la incógnita está bajo el signo de la raíz de tercer grado. Podemos sacar la raíz impar de un número negativo, por lo que en esta ecuación no hay restricciones ni para la expresión bajo el signo de la raíz ni para la expresión en el lado derecho de la ecuación. Podemos elevar ambos lados de la ecuación a la tercera potencia para deshacernos de la raíz. Obtenemos una ecuación equivalente:

Al elevar los lados derecho e izquierdo de la ecuación a una potencia impar, no podemos tener miedo de obtener raíces extrañas.

Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación.

Elevemos ambos lados de la ecuación a la tercera potencia. Obtenemos una ecuación equivalente:

Movamos todos los términos a un lado y pongamos x entre paréntesis:

Igualando cada factor a cero, obtenemos:

Respuesta: (0;1;2)

Miremos de cerca la segunda ecuación: . En el lado izquierdo de la ecuación está la raíz cuadrada, que sólo toma valores no negativos. Por lo tanto, para que la ecuación tenga soluciones, el lado derecho también debe ser no negativo. Por tanto, la condición se impone en el lado derecho de la ecuación:

Título="g(x)>=0"> - это !} condición para la existencia de raíces.

Para resolver una ecuación de este tipo, es necesario elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación:

(3)

La elevación al cuadrado puede dar lugar a la aparición de raíces extrañas, por lo que necesitamos las ecuaciones:

Título="f(x)>=0"> (4)!}

Sin embargo, la desigualdad (4) se deriva de la condición (3): si el lado derecho de la igualdad contiene el cuadrado de alguna expresión, y el cuadrado de cualquier expresión solo puede tomar valores no negativos, entonces el lado izquierdo también debe ser no negativo. negativo. Por lo tanto, la condición (4) se sigue automáticamente de la condición (3) y nuestra la ecuacion es equivalente al sistema:

Título="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Ejemplo 2. Resolvamos la ecuación:

.

Pasemos a un sistema equivalente:

Título="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Resolvamos la primera ecuación del sistema y comprobamos qué raíces satisfacen la desigualdad.

Título de desigualdad="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Respuesta:x=1

¡Atención! Si en el proceso de resolución elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, debemos recordar que pueden aparecer raíces extrañas. Por lo tanto, debes pasar a un sistema equivalente o, al final de la solución, HACER UNA COMPROBACIÓN: encontrar las raíces y sustituirlas en la ecuación original.

Ejemplo 3. Resolvamos la ecuación:

Para resolver esta ecuación, también necesitamos elevar al cuadrado ambos lados. No nos molestemos con la ODZ y la condición para la existencia de raíces en esta ecuación, simplemente hagamos una verificación al final de la solución.

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

Movamos el término que contiene la raíz hacia la izquierda y todos los demás términos hacia la derecha:

Elevemos nuevamente al cuadrado ambos lados de la ecuación:

Sobre el tema de Vieta:

Hagamos una comprobación. Para hacer esto, sustituimos las raíces encontradas en la ecuación original. Obviamente, en , el lado derecho de la ecuación original es negativo y el lado izquierdo es positivo.

En obtenemos la igualdad correcta.

institución educativa municipal

"Escuela Secundaria No. 2 de Kuedino"

Métodos para resolver ecuaciones irracionales.

Completado por: Olga Egorova,

Supervisor:

Maestro

matemáticas,

Mayor Calificación

Introducción....……………………………………………………………………………………… 3

Sección 1. Métodos para resolver ecuaciones irracionales.…………………………………6

1.1 Resolver las ecuaciones irracionales de la parte C………….….….……………………21

Sección 2. Tareas individuales…………………………………………….....………...24

Respuestas………………………………………………………………………………………….25

Bibliografía…….…………………………………………………………………….26

Introducción

La educación matemática recibida en una escuela integral es un componente esencial de la educación general y la cultura general del hombre moderno. Casi todo lo que rodea al hombre moderno está relacionado de alguna manera con las matemáticas. Y los recientes avances en física, ingeniería y tecnología de la información no dejan ninguna duda de que en el futuro la situación seguirá siendo la misma. Por lo tanto, resolver muchos problemas prácticos se reduce a resolver varios tipos de ecuaciones que debes aprender a resolver. Uno de estos tipos son las ecuaciones irracionales.

Ecuaciones irracionales

Una ecuación que contiene una incógnita (o una expresión algebraica racional para una incógnita) bajo el signo radical se llama ecuación irracional. En matemáticas elementales, las soluciones a ecuaciones irracionales se encuentran en el conjunto de los números reales.

Cualquier ecuación irracional se puede reducir a una ecuación algebraica racional mediante operaciones algebraicas elementales (multiplicación, división, elevación de ambos lados de la ecuación a una potencia entera). Debe tenerse en cuenta que la ecuación algebraica racional resultante puede resultar no equivalente a la ecuación irracional original, es decir, puede contener raíces "extra" que no serán raíces de la ecuación irracional original. Por lo tanto, una vez encontradas las raíces de la ecuación algebraica racional resultante, es necesario comprobar si todas las raíces de la ecuación racional serán raíces de la ecuación irracional.

En el caso general, es difícil indicar algún método universal para resolver cualquier ecuación irracional, ya que es deseable que, como resultado de las transformaciones de la ecuación irracional original, el resultado no sea simplemente alguna ecuación algebraica racional, entre las raíces de las cuales no serán las raíces de la ecuación irracional dada, sino una ecuación algebraica racional formada a partir de polinomios del menor grado posible. El deseo de obtener esa ecuación algebraica racional formada a partir de polinomios del menor grado posible es bastante natural, ya que encontrar todas las raíces de una ecuación algebraica racional en sí misma puede resultar una tarea bastante difícil, que solo podremos resolver por completo. en un número muy limitado de casos.

Tipos de ecuaciones irracionales

Resolver ecuaciones irracionales de grado par siempre causa más problemas que resolver ecuaciones irracionales de grado impar. Al resolver ecuaciones irracionales de grado impar, la OD no cambia. Por tanto, a continuación consideraremos ecuaciones irracionales cuyo grado es par. Hay dos tipos de ecuaciones irracionales:

2..

Consideremos el primero de ellos.

Ecuaciones ODZ: f(x)≥ 0. En ODZ, el lado izquierdo de la ecuación siempre es no negativo; por lo tanto, una solución solo puede existir cuando gramo(X)≥ 0. En este caso, ambos lados de la ecuación no son negativos y la exponenciación 2 norte da una ecuación equivalente. lo entendemos

Prestemos atención al hecho de que en este caso ODZ se realiza automáticamente y no es necesario escribirlo, pero la condicióngramo(x) Debe comprobarse ≥ 0.

Nota: Ésta es una condición de equivalencia muy importante. En primer lugar, libera al estudiante de la necesidad de investigar y, después de encontrar soluciones, verificar la condición f(x) ≥ 0 – la no negatividad de la expresión radical. En segundo lugar, se centra en comprobar el estado.gramo(x) ≥ 0 – no negatividad del lado derecho. Después de todo, después de elevar al cuadrado, la ecuación se resuelve. es decir, se resuelven dos ecuaciones a la vez (¡pero en diferentes intervalos del eje numérico!):

1.- donde gramo(X)≥ 0 y

2. - donde g(x) ≤ 0.

Mientras tanto, muchos, que no tienen la costumbre escolar de encontrar ODZ, actúan exactamente al revés al resolver este tipo de ecuaciones:

a) después de encontrar soluciones, verifican la condición f(x) ≥ 0 (que se cumple automáticamente), cometiendo errores aritméticos y obteniendo un resultado incorrecto;

b) ignorar la condicióngramo(x) ≥ 0 - y nuevamente la respuesta puede resultar incorrecta.

Nota: La condición de equivalencia es especialmente útil al resolver ecuaciones trigonométricas, en las que encontrar la ODZ implica resolver desigualdades trigonométricas, lo cual es mucho más difícil que resolver ecuaciones trigonométricas. Comprobación de condiciones pares en ecuaciones trigonométricas gramo(X)≥ 0 no siempre es fácil de lograr.

Consideremos el segundo tipo de ecuaciones irracionales.

. Sea dada la ecuación . Su ODZ:

En ODZ ambos lados son no negativos y al elevar al cuadrado se obtiene la ecuación equivalente F(x) =gramo(X). Por lo tanto, en ODZ o

Con este método de solución, basta con comprobar la no negatividad de una de las funciones; puede elegir una más sencilla.

Sección 1. Métodos para resolver ecuaciones irracionales.

1 método. Deshacerse de los radicales elevando sucesivamente ambos lados de la ecuación a la potencia natural correspondiente

El método más comúnmente utilizado para resolver ecuaciones irracionales es el método de eliminar radicales elevando sucesivamente ambos lados de la ecuación a la potencia natural apropiada. Hay que tener en cuenta que cuando ambos lados de la ecuación se elevan a una potencia impar, la ecuación resultante es equivalente a la original, y cuando ambos lados de la ecuación se elevan a una potencia par, la ecuación resultante, generalmente hablando, no será equivalente a la ecuación original. Esto se puede verificar fácilmente elevando ambos lados de la ecuación a cualquier potencia par. El resultado de esta operación es la ecuación , cuyo conjunto de soluciones es una unión de conjuntos de soluciones: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Sin embargo A pesar de este inconveniente, el procedimiento de elevar ambos lados de la ecuación a alguna (a menudo incluso) potencia es el procedimiento más común para reducir una ecuación irracional a una ecuación racional.

Resuelve la ecuación:

Dónde - algunos polinomios. Debido a la definición de la operación de extracción de raíz en el conjunto de números reales, los valores permitidos de la incógnita son https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 height =21" altura="21">..gif " ancho="243" altura="28 src=">.

Dado que ambos lados de la ecuación 1 fueron elevados al cuadrado, puede resultar que no todas las raíces de la ecuación 2 sean soluciones de la ecuación original; es necesario verificar las raíces.

Resuelve la ecuación:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" ancho="137" alto="25">

Al cubos ambos lados de la ecuación, obtenemos

Considerando que https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(La última ecuación puede tener raíces que, en general, no son raíces de la ecuación ).

Elevamos al cubo ambos lados de esta ecuación: . Reescribimos la ecuación en la forma x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Al verificar establecemos que x1 = 0 es una raíz extraña de la ecuación (-2 ≠ 1), y x2 = 1 satisface la raíz original ecuación.

Respuesta: x = 1.

Método 2. Reemplazo de un sistema adyacente de condiciones

Al resolver ecuaciones irracionales que contienen radicales de orden par, pueden aparecer raíces extrañas en las respuestas, que no siempre son fáciles de identificar. Para que sea más fácil identificar y descartar raíces extrañas, al resolver ecuaciones irracionales se reemplaza inmediatamente por un sistema de condiciones adyacente. Las desigualdades adicionales en el sistema en realidad tienen en cuenta la ODZ de la ecuación que se está resolviendo. Puedes encontrar el ODZ por separado y tenerlo en cuenta más adelante, pero es preferible utilizar sistemas mixtos de condiciones: hay menos peligro de olvidar algo o no tenerlo en cuenta en el proceso de resolución de la ecuación. Por tanto, en algunos casos es más racional utilizar el método de transición a sistemas mixtos.

Resuelve la ecuación:

Respuesta: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" ancho="109 altura=27" altura="27">

Esta ecuación es equivalente al sistema

Respuesta: la ecuación no tiene soluciones.

Método 3. Usando propiedades de raíz enésima

Al resolver ecuaciones irracionales, se utilizan las propiedades de la raíz enésima. raíz aritmética norte- th grados de entre A llamar a un número no negativo norte- yo cuyo poder es igual a A. Si norte – incluso( 2n), entonces a ≥ 0, de lo contrario la raíz no existe. Si norte – extraño( 2 n+1), entonces a es cualquiera y = - ..gif" width="45" height="19"> Entonces:

2.

3.

4.

5.

A la hora de aplicar formalmente cualquiera de estas fórmulas (sin tener en cuenta las restricciones especificadas), hay que tener en cuenta que el VA de las partes izquierda y derecha de cada una de ellas puede ser diferente. Por ejemplo, la expresión se define con f ≥ 0 Y gramos ≥ 0, y la expresión es como si f ≥ 0 Y gramos ≥ 0, y con f ≤ 0 Y gramo ≤ 0.

Para cada una de las fórmulas 1 a 5 (sin tener en cuenta las restricciones especificadas), la ODZ de su lado derecho puede ser más ancha que la ODZ de la izquierda. De ello se deduce que las transformaciones de la ecuación con el uso formal de las fórmulas 1-5 “de izquierda a derecha” (como están escritas) conducen a una ecuación que es consecuencia de la original. En este caso, pueden aparecer raíces extrañas de la ecuación original, por lo que la verificación es un paso obligatorio para resolver la ecuación original.

Las transformaciones de ecuaciones con el uso formal de las fórmulas 1-5 "de derecha a izquierda" son inaceptables, ya que es posible juzgar la DO de la ecuación original y, en consecuencia, la pérdida de raíces.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

que es consecuencia del original. Resolver esta ecuación se reduce a resolver un conjunto de ecuaciones. .

De la primera ecuación de este conjunto encontramos https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> de donde encontramos. Así, las raíces de esta ecuación solo puede contener números (-1) y (-2). La verificación muestra que ambas raíces encontradas satisfacen esta ecuación.

Respuesta: -1,-2.

Resuelve la ecuación: .

Solución: según las identidades, reemplace el primer término con . Tenga en cuenta que es la suma de dos números no negativos en el lado izquierdo. “Quita” el módulo y, después de traer términos similares, resuelve la ecuación. Desde entonces obtenemos la ecuación. Desde , luego https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" ancho="145" alto="21 src=">

Respuesta: x = 4,25.

Método 4 Introducción de nuevas variables.

Otro ejemplo de resolución de ecuaciones irracionales es el método de introducir nuevas variables, con respecto a las cuales se obtiene una ecuación irracional más simple o una ecuación racional.

Resolver ecuaciones irracionales reemplazando la ecuación con su consecuencia (y luego verificando las raíces) se puede hacer de la siguiente manera:

1. Encuentra la ODZ de la ecuación original.

2. Pasar de la ecuación a su consecuencia.

3. Encuentra las raíces de la ecuación resultante.

4. Comprueba si las raíces encontradas son las raíces de la ecuación original.

El cheque es el siguiente:

A) se comprueba la pertenencia de cada raíz encontrada a la ecuación original. Aquellas raíces que no pertenecen a la ODZ son ajenas a la ecuación original.

B) para cada raíz incluida en la ODZ de la ecuación original, se comprueba si los lados izquierdo y derecho de cada una de las ecuaciones que surgen en el proceso de resolución de la ecuación original y elevados a una potencia par tienen los mismos signos. Aquellas raíces para las cuales las partes de cualquier ecuación elevada a una potencia par tienen signos diferentes son ajenas a la ecuación original.

C) solo aquellas raíces que pertenecen a la ODZ de la ecuación original y para las cuales ambos lados de cada una de las ecuaciones que surgen en el proceso de resolución de la ecuación original y elevadas a una potencia par tienen los mismos signos se verifican mediante sustitución directa en la ecuación original.

Este método de solución con el método de verificación especificado permite evitar cálculos engorrosos en el caso de sustituir directamente cada una de las raíces encontradas de la última ecuación en la original.

Resuelve la ecuación irracional:

.

El conjunto de valores válidos para esta ecuación es:

Poniendo , después de la sustitución obtenemos la ecuación

o ecuación equivalente

que puede considerarse como una ecuación cuadrática con respecto a. Resolviendo esta ecuación, obtenemos

.

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación irracional original es la unión de los conjuntos solución de las dos ecuaciones siguientes:

, .

Elevando ambos lados de cada una de estas ecuaciones a un cubo, obtenemos dos ecuaciones algebraicas racionales:

, .

Resolviendo estas ecuaciones, encontramos que esta ecuación irracional tiene una única raíz x = 2 (no se requiere verificación, ya que todas las transformaciones son equivalentes).

Respuesta: x = 2.

Resuelve la ecuación irracional:

Denotemos 2x2 + 5x – 2 = t. Entonces la ecuación original tomará la forma . Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación resultante y acercar términos semejantes, obtenemos una ecuación que es consecuencia de la anterior. De ella encontramos t=16.

Volviendo a la incógnita x, obtenemos la ecuación 2x2 + 5x – 2 = 16, que es consecuencia de la original. Al comprobar estamos convencidos de que sus raíces x1 = 2 y x2 = - 9/2 son las raíces de la ecuación original.

Respuesta: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 método. Transformación idéntica de la ecuación.

Al resolver ecuaciones irracionales, no debes comenzar a resolver la ecuación elevando ambos lados de las ecuaciones a una potencia natural, tratando de reducir la solución de la ecuación irracional a la solución de una ecuación algebraica racional. Primero necesitamos ver si es posible hacer alguna transformación idéntica de la ecuación que pueda simplificar significativamente su solución.

Resuelve la ecuación:

El conjunto de valores aceptables para esta ecuación: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Dividamos esta ecuación por.

.

Obtenemos:

Cuando a = 0 la ecuación no tendrá soluciones; cuando la ecuación se puede escribir como

pues esta ecuación no tiene soluciones, ya que para cualquier X, perteneciente al conjunto de valores admisibles de la ecuación, la expresión del lado izquierdo de la ecuación es positiva;

cuando la ecuación tiene solución

Teniendo en cuenta que el conjunto de soluciones admisibles de la ecuación está determinado por la condición , finalmente obtenemos:

Al resolver esta ecuación irracional, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> la solución a la ecuación será. Para todos los demás valores X la ecuación no tiene soluciones.

EJEMPLO 10:

Resuelve la ecuación irracional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" ancho="381" alto="51">

Resolver la ecuación cuadrática del sistema da dos raíces: x1 = 1 y x2 = 4. La primera de las raíces resultantes no satisface la desigualdad del sistema, por lo tanto x = 4.

Notas

1) Realizar transformaciones idénticas le permite prescindir de comprobar.

2) La desigualdad x – 3 ≥0 se refiere a transformaciones de identidad, y no al dominio de definición de la ecuación.

3) En el lado izquierdo de la ecuación hay una función decreciente y en el lado derecho de esta ecuación hay una función creciente. Las gráficas de funciones decrecientes y crecientes en la intersección de sus dominios de definición no pueden tener más de un punto común. Evidentemente, en nuestro caso x = 4 es la abscisa del punto de intersección de las gráficas.

Respuesta: x = 4.

6 método. Usar el dominio de funciones para resolver ecuaciones

Este método es más efectivo para resolver ecuaciones que incluyen funciones https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> y encontrar sus definiciones de área (F)..gif" ancho="53" alto="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, entonces necesitas verificar si la ecuación es correcta al final del intervalo, y si< 0, а b >0, entonces es necesario comprobar a intervalos (un;0) Y . El entero más pequeño en E(y) es 3.

Respuesta: x = 3.

8 método. Aplicación de la derivada en la resolución de ecuaciones irracionales.

El método más común utilizado para resolver ecuaciones mediante el método de la derivada es el método de estimación.

EJEMPLO 15:

Resuelve la ecuación: (1)

Solución: Desde https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, o (2). Considere la función ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> en absoluto y, por tanto, aumenta. Por lo tanto la ecuación es equivalente a una ecuación que tiene una raíz que es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

EJEMPLO 16:

Resuelve la ecuación irracional:

El dominio de una función es un segmento. Encontremos los valores mayor y menor de esta función en el segmento. Para hacer esto, encontramos la derivada de la función. F(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Encontremos los valores de la función. F(X) en los extremos del segmento y en el punto: Entonces, pero y, por lo tanto, la igualdad es posible sólo si https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. Verificar muestra que el número 3 es la raíz de esta ecuación.

Respuesta: x = 3.

9 método. Funcional

En los exámenes, a veces te piden que resuelvas ecuaciones que se pueden escribir en la forma , donde es una función.

Por ejemplo, algunas ecuaciones: 1) 2) . En efecto, en el primer caso , en el segundo caso . Por lo tanto, resuelva ecuaciones irracionales usando la siguiente afirmación: si una función es estrictamente creciente en el conjunto X y para cualquiera, entonces las ecuaciones, etc. son equivalentes en el conjunto X .

Resuelve la ecuación irracional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> aumenta estrictamente en el conjunto R, y https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > que tiene una raíz única Por lo tanto, la ecuación (1) equivalente a ella también tiene una raíz única.

Respuesta: x = 3.

EJEMPLO 18:

Resuelve la ecuación irracional: (1)

En virtud de la definición de raíz cuadrada, encontramos que si la ecuación (1) tiene raíces, entonces pertenecen al conjunto DIV_ADBLOCK166">

. (2)

Considere la función https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> aumenta estrictamente en este conjunto para cualquier ..gif" width="100" altura ="41"> que tiene una sola raíz Por lo tanto, y su equivalente en el conjunto X la ecuación (1) tiene una sola raíz

Respuesta: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Solución: Esta ecuación es equivalente a un sistema mixto.

Tema: “Ecuaciones irracionales de la forma , .»

(Desarrollo metodológico.)

Conceptos básicos

Ecuaciones irracionales Se llaman ecuaciones en las que la variable está contenida bajo el signo de la raíz (radical) o el signo de elevación a una potencia fraccionaria.

Una ecuación de la forma f(x)=g(x), donde al menos una de las expresiones f(x) o g(x) es irracional ecuación irracional.

Propiedades básicas de los radicales.:

• Todos los radicales grado par son aritmética, aquellos. si la expresión radical es negativa, entonces el radical no tiene significado (no existe); si la expresión radical es igual a cero, entonces el radical también es igual a cero; si la expresión radical es positiva, entonces el significado del radical existe y es positivo.
• Todos los radicales grado impar se definen para cualquier valor de la expresión radical. En este caso, el radical es negativo si la expresión radical es negativa; es igual a cero si la expresión radical es igual a cero; positivo si la expresión sometida es positiva.

Métodos para resolver ecuaciones irracionales.

Resolver una ecuación irracional - significa encontrar todos los valores reales de una variable, al sustituirlos en la ecuación original se convierte en una igualdad numérica correcta, o demostrar que dichos valores no existen. Las ecuaciones irracionales se resuelven en el conjunto de números reales R.

El rango de valores aceptables de la ecuación. Consiste en aquellos valores de la variable para los cuales todas las expresiones bajo el signo de radicales de grado par no son negativas.

Métodos básicos para resolver ecuaciones irracionales. son:

a) un método para elevar ambos lados de la ecuación a la misma potencia;

b) método de introducción de nuevas variables (método de sustitución);

c) métodos artificiales para resolver ecuaciones irracionales.

En este artículo nos detendremos en la consideración de ecuaciones del tipo definido anteriormente y presentaremos 6 métodos para resolver dichas ecuaciones.

1 método. Cubo.

Este método requiere el uso de fórmulas de multiplicación abreviadas y no contiene ningún inconveniente, es decir no conduce a la aparición de raíces extrañas.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Solución:

Reescribamos la ecuación en la forma y al cubo ambas partes. Obtenemos una ecuación equivalente a esta ecuación,

Respuesta:x=2,x=11.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación.

Solución:

Reescribamos la ecuación en la forma y al cubo ambos lados. Obtenemos una ecuación equivalente a esta ecuación.

y considere la ecuación resultante como cuadrática con respecto a una de las raíces

por lo tanto, el discriminante es 0 y la ecuación puede tener una solución x = -2.

Examen:

Respuesta:x=-2.

Comentario: La verificación se puede omitir si se está resolviendo la ecuación cuadrática.

Método 2. Cubo según la fórmula.

Continuaremos elevando la ecuación al cubo, pero usaremos fórmulas de multiplicación abreviadas modificadas.

Usemos las fórmulas:

(modificación menor de la fórmula conocida), entonces

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación .

Solución:

Elevemos la ecuación al cubo usando las fórmulas dadas anteriormente.

Pero la expresión debe ser igual al lado derecho. Por lo tanto tenemos:

.

Ahora, cuando lo elevamos al cubo, obtenemos la ecuación cuadrática habitual:

, y sus dos raíces

Ambos valores, como muestra la prueba, son correctos.

Respuesta: x=2, x=-33.

¿Pero son todas las transformaciones aquí equivalentes? Antes de responder esta pregunta, resolvamos una ecuación más.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación.

Solución:

Elevando ambos lados a la tercera potencia, como antes, tenemos:

De donde (considerando que la expresión entre paréntesis es igual a ), obtenemos:

Obtenemos: Hagamos una verificación y asegurémonos de que x = 0 sea una raíz extraña.

Respuesta: .

Respondamos a la pregunta: "¿Por qué surgieron raíces extrañas?"

La igualdad implica igualdad . Reemplazando de con – con, obtenemos:

Es fácil comprobar la identidad.

Entonces, si , entonces o , o . La ecuación se puede representar como , .

Reemplazando de a –s, obtenemos: si , entonces o o

Por lo tanto, al utilizar este método de solución, es necesario verificar y asegurarse de que no haya raíces extrañas.

Método 3. Método del sistema.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación .

Solución:

Dejar , . Entonces:

¿Dónde es obvio que

La segunda ecuación del sistema se obtiene de tal forma que la combinación lineal de expresiones radicales no depende de la variable original.

Es fácil ver que el sistema no tiene solución y, por tanto, la ecuación original no tiene solución.

Respuesta: No hay raíces.

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación .

Solución:

Introduzcamos un reemplazo, compongamos y resolvamos un sistema de ecuaciones.

Dejar , . Entonces

Volviendo a la variable original tenemos:

Respuesta:x=0.

Método 4 Utilizar la monotonicidad de funciones.

Antes de utilizar este método, veamos la teoría.

Necesitaremos las siguientes propiedades:

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación .

Solución:

El lado izquierdo de la ecuación es una función creciente y el lado derecho es un número, es decir es una constante, por lo tanto, la ecuación no tiene más de una raíz, la cual seleccionaremos: x=9. Comprobando nos aseguraremos de que la raíz es la adecuada.