Proporcionalidad directa. Relaciones proporcionales directas e inversas.

Tipos de dependencia

Veamos cómo cargar la batería. Como primera cantidad, tomemos el tiempo que tarda en cargarse. El segundo valor es el tiempo que funcionará después de la carga. Cuanto más cargues la batería, más durará. El proceso continuará hasta que la batería esté completamente cargada.

Dependencia del tiempo de funcionamiento de la batería del tiempo de carga

Nota 1

Esta dependencia se llama directo:

A medida que aumenta un valor, también aumenta el segundo. A medida que un valor disminuye, el segundo valor también disminuye.

Veamos otro ejemplo.

Cuantos más libros lea un alumno, menos errores cometerá en el dictado. O cuanto más alto te eleves en las montañas, menor será la presión atmosférica.

Nota 2

Esta dependencia se llama contrarrestar:

A medida que aumenta un valor, el segundo disminuye. A medida que un valor disminuye, el segundo valor aumenta.

Así, en caso dependencia directa ambas cantidades cambian por igual (ambas aumentan o disminuyen), y en el caso relación inversa– opuesto (uno aumenta y el otro disminuye, o viceversa).

Determinar dependencias entre cantidades.

Ejemplo 1

El tiempo que lleva visitar a un amigo es de $20$ minutos. Si la velocidad (el primer valor) aumenta $2$ veces, encontraremos cómo cambiará el tiempo (el segundo valor) que se gastará en el camino hacia el amigo.

Obviamente, el tiempo disminuirá $2$ veces.

Nota 3

Esta dependencia se llama proporcional:

La cantidad de veces que cambia una cantidad, la cantidad de veces que cambia la segunda cantidad.

Ejemplo 2

Por $2$ barras de pan en la tienda hay que pagar 80 rublos. Si necesitas comprar hogazas de pan a $4$ (la cantidad de pan aumenta $2$ veces), ¿cuántas veces más tendrás que pagar?

Obviamente, el costo también aumentará $2$ veces. Tenemos un ejemplo de dependencia proporcional.

En ambos ejemplos, se consideraron dependencias proporcionales. Pero en el ejemplo de las hogazas de pan, las cantidades cambian en una dirección, por lo tanto, la dependencia es directo. Y en el ejemplo de ir a casa de un amigo, la relación entre velocidad y tiempo es contrarrestar. Así hay relación directamente proporcional Y relación inversamente proporcional.

Proporcionalidad directa

Consideremos cantidades proporcionales de $2$: la cantidad de hogazas de pan y su costo. Supongamos que una barra de pan de $2 cuesta $80$ rublos. Si el número de bollos aumenta $4$ veces ($8$ bollos), su costo total será de $320$ rublos.

La proporción del número de bollos: $\frac(8)(2)=4$.

Relación de costo del panecillo: $\frac(320)(80)=$4.

Como puede ver, estas relaciones son iguales entre sí:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definición 1

La igualdad de dos razones se llama proporción.

Con una dependencia directamente proporcional, se obtiene una relación cuando el cambio en la primera y segunda cantidad coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definición 2

Las dos cantidades se llaman directamente proporcional, si cuando uno de ellos cambia (aumenta o disminuye), el otro valor también cambia (aumenta o disminuye, respectivamente) en la misma cantidad.

Ejemplo 3

El auto viajó $180$ km en $2$ horas. Calcula el tiempo durante el cual recorrerá $2$ veces la distancia a la misma velocidad.

Solución.

El tiempo es directamente proporcional a la distancia:

$t=\frac(S)(v)$.

¿Cuántas veces aumentará la distancia, a velocidad constante, en la misma cantidad aumentará el tiempo?

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

El auto viajó $180$ km en $2$ horas

El auto recorrerá $180 \cdot 2=360$ km - en $x$ horas

Cuanto más viaje el coche, más tardará. En consecuencia, la relación entre las cantidades es directamente proporcional.

Hagamos una proporción:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Respuesta: El auto necesitará $4$ por hora.

Proporcionalidad inversa

Definición 3

Solución.

El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad:

$t=\frac(S)(v)$.

¿Cuántas veces aumenta la velocidad, con el mismo recorrido, el tiempo disminuye en la misma cantidad?

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Escribamos la condición del problema en forma de tabla:

El auto viajó $60$ km - en $6$ horas

El auto recorrerá $120$ km – en $x$ horas

Cuanto más rápido acelere el coche, menos tiempo tardará. En consecuencia, la relación entre las cantidades es inversamente proporcional.

Hagamos una proporción.

Porque la proporcionalidad es inversa, la segunda relación de la proporción se invierte:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Respuesta: El auto necesitará $3$ por hora.

I. Cantidades directamente proporcionales.

deja que el valor y depende del tamaño incógnita. Si al aumentar incógnita varias veces el tamaño en aumenta en la misma cantidad, entonces tales valores incógnita Y en se llaman directamente proporcionales.

Ejemplos.

1 . La cantidad de bienes adquiridos y el precio de compra (con un precio fijo por unidad de bienes: 1 pieza o 1 kg, etc.) Cuantas veces más bienes se compraron, más veces más pagaron.

2 . La distancia recorrida y el tiempo empleado en ella (a velocidad constante). ¿Cuántas veces más largo es el camino, cuántas veces más tiempo llevará completarlo?

3 . El volumen de un cuerpo y su masa. ( Si una sandía es 2 veces más grande que otra, entonces su masa será 2 veces mayor.)

II. Propiedad de proporcionalidad directa de cantidades.

Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la razón de dos valores tomados arbitrariamente de la primera cantidad es igual a la razón de dos valores correspondientes de la segunda cantidad.

Tarea 1. Para mermelada de frambuesa tomamos 12 kilogramos frambuesas y 8 kilogramos Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras? 9 kilogramos frambuesas?

Solución.

Razonamos así: que sea necesario. x kilos azúcar para 9 kilogramos frambuesas La masa de frambuesas y la masa de azúcar son cantidades directamente proporcionales: cuantas veces menos frambuesas hay, tantas veces menos azúcar se necesita. Por lo tanto, la proporción de frambuesas tomadas (en peso) ( 12:9 ) será igual a la proporción de azúcar tomada ( 8:x). Obtenemos la proporción:

12: 9=8: INCÓGNITA;

x=9 · 8: 12;

x=6. Respuesta: en 9 kilogramos es necesario tomar frambuesas 6 kilogramos Sáhara.

solución del problema Se podría hacer así:

Cantar 9 kilogramos es necesario tomar frambuesas x kilos Sáhara.

(Las flechas en la figura están dirigidas en una dirección y no importa hacia arriba o hacia abajo. Significado: ¿cuántas veces el número 12 mas numero 9 , el mismo número de veces 8 mas numero incógnita, es decir, aquí hay una relación directa).

Respuesta: en 9 kilogramos necesito tomar algunas frambuesas 6 kilogramos Sáhara.

Tarea 2. Coche para 3 horas viajó la distancia 264 kilometros. ¿Cuánto tiempo le llevará viajar? 440 kilometros, si conduce a la misma velocidad?

Solución.

dejar por x horas el coche cubrirá la distancia 440 kilometros.

Respuesta: el auto pasará 440 kilómetros en 5 horas.

Hoy veremos qué cantidades se llaman inversamente proporcionales, cómo se ve una gráfica de proporcionalidad inversa y cómo todo esto puede resultarle útil no solo en las lecciones de matemáticas, sino también fuera de la escuela.

Proporciones tan diferentes

Proporcionalidad Nombra dos cantidades que sean mutuamente dependientes.

La dependencia puede ser directa e inversa. En consecuencia, las relaciones entre cantidades se describen por proporcionalidad directa e inversa.

Proporcionalidad directa- Se trata de una relación entre dos cantidades en la que un aumento o disminución de una de ellas conduce a un aumento o disminución de la otra. Aquellos. su actitud no cambia.

Por ejemplo, cuanto más te esfuerces en estudiar para los exámenes, mejores serán tus calificaciones. O cuantas más cosas lleves contigo de excursión, más pesada será tu mochila. Aquellos. La cantidad de esfuerzo dedicado a la preparación de los exámenes es directamente proporcional a las calificaciones obtenidas. Y la cantidad de cosas que caben en una mochila es directamente proporcional a su peso.

Proporcionalidad inversa– esta es una dependencia funcional en la que una disminución o un aumento varias veces en un valor independiente (se llama argumento) provoca un aumento o disminución proporcional (es decir, el mismo número de veces) en un valor dependiente (se llama función).

Ilustremos con un ejemplo sencillo. Quieres comprar manzanas en el mercado. Las manzanas en el mostrador y la cantidad de dinero en tu billetera están en proporción inversa. Aquellos. Cuantas más manzanas compres, menos dinero te quedará.

Función y su gráfica.

La función de proporcionalidad inversa se puede describir como y = k/x. en el cual incógnita≠ 0 y k≠ 0.

Esta función tiene las siguientes propiedades:

Su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales excepto incógnita = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
El rango son todos los números reales excepto y= 0. mi(y): (-∞; 0) Ud. (0; +∞) .
No tiene valores máximos ni mínimos.
Es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen.
No periódico.
Su gráfica no corta los ejes de coordenadas.
No tiene ceros.
Si k> 0 (es decir, el argumento aumenta), la función disminuye proporcionalmente en cada uno de sus intervalos. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
A medida que el argumento aumenta ( k> 0) los valores negativos de la función están en el intervalo (-∞; 0), y los valores positivos están en el intervalo (0; +∞). Cuando el argumento disminuye ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

La gráfica de una función de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Se muestra de la siguiente manera:

Problemas de proporcionalidad inversa

Para que quede más claro, veamos varias tareas. No son demasiado complicados y resolverlos te ayudará a visualizar qué es la proporcionalidad inversa y cómo este conocimiento puede ser útil en tu vida diaria.

Tarea número 1. Un auto se mueve a una velocidad de 60 km/h. Le tomó 6 horas llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia si se mueve al doble de velocidad?

Podemos empezar escribiendo una fórmula que describa la relación entre tiempo, distancia y velocidad: t = S/V. De acuerdo, nos recuerda mucho a la función de proporcionalidad inversa. E indica que el tiempo que pasa un coche en la carretera y la velocidad a la que se desplaza son inversamente proporcionales.

Para comprobarlo, encontremos V 2, que según la condición es 2 veces mayor: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Luego calculamos la distancia usando la fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ahora no es difícil averiguar el tiempo t 2 que se nos exige según las condiciones del problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como puede ver, el tiempo de viaje y la velocidad son inversamente proporcionales: a una velocidad 2 veces mayor que la velocidad original, el automóvil pasará 2 veces menos tiempo en la carretera.

La solución a este problema también se puede escribir como una proporción. Así que primero creemos este diagrama:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Las flechas indican una relación inversamente proporcional. También sugieren que al trazar una proporción se debe voltear el lado derecho del registro: 60/120 = x/6. ¿De dónde obtenemos x = 60 * 6/120 = 3 horas?

Tarea número 2. El taller emplea a 6 trabajadores que pueden completar una determinada cantidad de trabajo en 4 horas. Si el número de trabajadores se reduce a la mitad, ¿cuánto tiempo les tomará a los trabajadores restantes completar la misma cantidad de trabajo?

Anotemos las condiciones del problema en forma de diagrama visual:

↓ 6 trabajadores – 4 horas

↓ 3 trabajadores – x h

Escribamos esto como una proporción: 6/3 = x/4. Y obtenemos x = 6 * 4/3 = 8 horas Si hay 2 veces menos trabajadores, los restantes dedicarán 2 veces más tiempo a hacer todo el trabajo.

Tarea número 3. Hay dos tuberías que conducen a la piscina. Por una tubería fluye agua a una velocidad de 2 l/s y llena la piscina en 45 minutos. A través de otra tubería, la piscina se llenará en 75 minutos. ¿A qué velocidad entra el agua a la piscina por este tubo?

Para empezar, reduzcamos todas las cantidades que se nos dan según las condiciones del problema a las mismas unidades de medida. Para ello expresamos la velocidad de llenado de la piscina en litros por minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Dado que de la condición de que la piscina se llena más lentamente a través del segundo tubo, esto significa que el caudal de agua es menor. La proporcionalidad es inversa. Expresemos la velocidad desconocida a través de x y tracemos el siguiente diagrama:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Y luego hacemos la proporción: 120/x = 75/45, de donde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

En el problema, la velocidad de llenado de la piscina se expresa en litros por segundo; reduzcamos la respuesta que recibimos a la misma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarea número 4. Una pequeña imprenta privada imprime tarjetas de visita. Un empleado de una imprenta trabaja a una velocidad de 42 tarjetas de visita por hora y trabaja un día completo: 8 horas. Si trabajara más rápido e imprimiera 48 tarjetas de presentación en una hora, ¿cuánto antes podría regresar a casa?

Seguimos el camino probado y elaboramos un diagrama según las condiciones del problema, designando el valor deseado como x:

↓ 42 tarjetas de visita/hora – 8 horas

↓ 48 tarjetas de visita/h – x h

Tenemos una relación inversamente proporcional: la cantidad de veces más tarjetas de presentación que imprime un empleado de una imprenta por hora, la misma cantidad de veces menos tiempo que necesitará para completar el mismo trabajo. Sabiendo esto, creemos una proporción:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 horas.

Así, habiendo completado el trabajo en 7 horas, el empleado de la imprenta podría irse a casa una hora antes.

Conclusión

Nos parece que estos problemas de proporcionalidad inversa son realmente sencillos. Esperamos que ahora tú también pienses en ellos de esa manera. Y lo principal es que el conocimiento sobre la dependencia inversamente proporcional de las cantidades puede resultarle útil más de una vez.

No sólo en lecciones y exámenes de matemáticas. Pero aún así, cuando te preparas para salir de viaje, ir de compras, decidir ganar un dinerito extra durante las vacaciones, etc.

Cuéntanos en los comentarios qué ejemplos de relaciones proporcionales inversas y directas notas a tu alrededor. Que sea un juego así. Verás lo emocionante que es. No olvides compartir este artículo en las redes sociales para que tus amigos y compañeros también puedan jugar.

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Trikhleb Daniil, estudiante de séptimo grado

conocimiento de la proporcionalidad directa y el coeficiente de proporcionalidad directa (introducción del concepto de coeficiente angular”);

construir un gráfico de proporcionalidad directa;

consideración de la posición relativa de gráficas de proporcionalidad directa y funciones lineales con coeficientes angulares idénticos.

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Títulos de diapositivas:

Proporcionalidad directa y su gráfica.

¿Cuál es el argumento y valor de una función? ¿Qué variable se llama independiente o dependiente? ¿Qué es una función? REPASO ¿Cuál es el dominio de una función?

Métodos para especificar una función. Analítico (usando una fórmula) Gráfico (usando un gráfico) Tabular (usando una tabla)

La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos del plano coordenado, cuyas abscisas son iguales a los valores del argumento, y las ordenadas son los valores correspondientes de la función. HORARIO DE FUNCIONES

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

COMPLETA LA TAREA Construye una gráfica de la función y = 2 x +1, donde 0 ≤ x ≤ 4. Haz una mesa. Usando la gráfica, encuentra el valor de la función en x=2.5. ¿A qué valor del argumento el valor de la función es igual a 8?

Definición La proporcionalidad directa es una función que se puede especificar mediante una fórmula de la forma y = k x, donde x es una variable independiente, k es un número distinto de cero. (k-coeficiente de proporcionalidad directa) Proporcionalidad directa

8 Gráfica de proporcionalidad directa: una línea recta que pasa por el origen de coordenadas (punto O (0,0)) Para construir una gráfica de la función y = kx, dos puntos son suficientes, uno de los cuales es O (0,0) Para k > 0, la gráfica se ubica en los cuartos de coordenadas I y III. en k

Gráficas de funciones de proporcionalidad directa y x k>0 k>0 k

Tarea Determina cuál de las gráficas muestra la función de proporcionalidad directa.

Tarea Determina qué gráfica de función se muestra en la figura. Elija una fórmula entre las tres ofrecidas.

Trabajo oral. ¿Puede la gráfica de una función dada por la fórmula y = k x, donde k

Determina cuál de los puntos A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) pertenecen a la gráfica de proporcionalidad directa dada por la fórmula y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - incorrecto. El punto A no pertenece a la gráfica de la función y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - correcto. El punto B pertenece a la gráfica de la función y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - incorrecto El punto C no pertenece a la gráfica de la función y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - verdadero. El punto E pertenece a la gráfica de la función y=5x

TEST 1 opción 2 opción No. 1. ¿Cuáles de las funciones dadas por la fórmula son directamente proporcionales? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

No. 2. Escriba el número de líneas y = kx, donde k > 0 1 opción k

No 3. Determinar cuáles de los puntos pertenecen a la gráfica de proporcionalidad directa, dada por la fórmula Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opción C (1, -1), E (0.0 ) Opción 2

y =5x y =10x III A VI y IV E 1 2 3 1 2 3 No. Respuesta correcta Respuesta correcta No.

Completa la tarea: Muestra esquemáticamente cómo se ubica la gráfica de la función dada por la fórmula: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

TAREA De los siguientes gráficos, seleccione solo gráficos de proporcionalidad directa.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funciones y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0.3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Selecciona funciones de la forma y = k x (proporcionalidad directa) y escríbelas

Funciones de proporcionalidad directa Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

y Funciones lineales que no son funciones de proporcionalidad directa 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Tarea: párrafo 15 págs. 65-67, núm. 307; N° 308.

Repitámoslo de nuevo. ¿Qué cosas nuevas has aprendido? ¿Qué aprendiste? ¿Qué te resultó particularmente difícil?

Me gustó la lección y se entiende el tema: Me gustó la lección, pero todavía no entiendo todo: No me gustó la lección y el tema no está claro.

Proporciones tan diferentes

Proporcionalidad Nombra dos cantidades que sean mutuamente dependientes.

La dependencia puede ser directa e inversa. En consecuencia, las relaciones entre cantidades se describen por proporcionalidad directa e inversa.

Función y su gráfica.

La función de proporcionalidad inversa se puede describir como y = k/x. en el cual incógnita≠ 0 y k≠ 0.

Esta función tiene las siguientes propiedades:

Su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales excepto incógnita = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
El rango son todos los números reales excepto y= 0. mi(y): (-∞; 0) Ud. (0; +∞) .
No tiene valores máximos ni mínimos.
Es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen.
No periódico.
Su gráfica no corta los ejes de coordenadas.
No tiene ceros.
Si k> 0 (es decir, el argumento aumenta), la función disminuye proporcionalmente en cada uno de sus intervalos. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
A medida que el argumento aumenta ( k> 0) los valores negativos de la función están en el intervalo (-∞; 0), y los valores positivos están en el intervalo (0; +∞). Cuando el argumento disminuye ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

La gráfica de una función de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Se muestra de la siguiente manera:

Problemas de proporcionalidad inversa

Tarea número 1. Un auto se mueve a una velocidad de 60 km/h. Le tomó 6 horas llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia si se mueve al doble de velocidad?

Como puede ver, el tiempo de viaje y la velocidad son inversamente proporcionales: a una velocidad 2 veces mayor que la velocidad original, el automóvil pasará 2 veces menos tiempo en la carretera.

La solución a este problema también se puede escribir como una proporción. Así que primero creemos este diagrama:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Anotemos las condiciones del problema en forma de diagrama visual:

↓ 6 trabajadores – 4 horas

↓ 3 trabajadores – x h

Escribamos esto como una proporción: 6/3 = x/4. Y obtenemos x = 6 * 4/3 = 8 horas Si hay 2 veces menos trabajadores, los restantes dedicarán 2 veces más tiempo a hacer todo el trabajo.

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Y luego hacemos la proporción: 120/x = 75/45, de donde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

En el problema, la velocidad de llenado de la piscina se expresa en litros por segundo; reduzcamos la respuesta que recibimos a la misma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Seguimos el camino probado y elaboramos un diagrama según las condiciones del problema, designando el valor deseado como x:

↓ 42 tarjetas de visita/hora – 8 horas

↓ 48 tarjetas de visita/h – x h

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 horas.

Así, habiendo completado el trabajo en 7 horas, el empleado de la imprenta podría irse a casa una hora antes.

Conclusión

No sólo en lecciones y exámenes de matemáticas. Pero aún así, cuando te preparas para salir de viaje, ir de compras, decidir ganar un dinerito extra durante las vacaciones, etc.

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