La regla para factorizar un polinomio usando el método de agrupación. Casos complejos de factorización de polinomios.

Cualquier polinomio algebraico de grado n se puede representar como un producto de n factores lineales de la forma y un número constante, que son los coeficientes del polinomio en el grado más alto x, es decir

Dónde - son las raíces del polinomio.

La raíz de un polinomio es el número (real o complejo) que hace que el polinomio desaparezca. Las raíces de un polinomio pueden ser raíces reales o raíces conjugadas complejas, entonces el polinomio se puede representar de la siguiente forma:

Consideremos métodos para descomponer polinomios de grado "n" en el producto de factores de primer y segundo grado.

Método número 1.Método de coeficientes indeterminados.

Los coeficientes de dicha expresión transformada se determinan mediante el método de coeficientes indefinidos. La esencia del método es que se conoce de antemano el tipo de factores en los que se descompone un polinomio determinado. Cuando se utiliza el método de coeficientes inciertos, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

P.1. Dos polinomios son idénticamente iguales si sus coeficientes son iguales para las mismas potencias de x.

P.2. Cualquier polinomio de tercer grado se descompone en el producto de factores lineales y cuadráticos.

P.3. Cualquier polinomio de cuarto grado se puede descomponer en el producto de dos polinomios de segundo grado.

Ejemplo 1.1. Es necesario factorizar la expresión cúbica:

P.1. De acuerdo con las afirmaciones aceptadas, la misma igualdad se cumple para la expresión cúbica:

P.2. El lado derecho de la expresión se puede representar como términos de la siguiente manera:

P.3. Elaboramos un sistema de ecuaciones a partir de la condición de igualdad de coeficientes en las potencias correspondientes de la expresión cúbica.

Este sistema de ecuaciones se puede resolver seleccionando coeficientes (si se trata de un problema académico simple) o se pueden utilizar métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que los coeficientes inciertos se determinan de la siguiente manera:

Así, la expresión original se factoriza de la siguiente forma:

Este método se puede utilizar tanto en cálculos analíticos como en programación informática para automatizar el proceso de encontrar la raíz de una ecuación.

Método número 2.Fórmulas vieta

Las fórmulas de Vieta son fórmulas que conectan los coeficientes de ecuaciones algebraicas de grado n y sus raíces. Estas fórmulas fueron presentadas implícitamente en los trabajos del matemático francés François Vieta (1540 - 1603). Debido a que Vieth sólo consideraba raíces reales positivas, no tuvo la oportunidad de escribir estas fórmulas de forma explícita y general.

Para cualquier polinomio algebraico de grado n que tenga n raíces reales,

Son válidas las siguientes relaciones que conectan las raíces de un polinomio con sus coeficientes:

Es conveniente utilizar las fórmulas de Vieta para comprobar la exactitud de la búsqueda de las raíces de un polinomio, así como para construir un polinomio a partir de raíces dadas.

Ejemplo 2.1. Consideremos cómo se relacionan las raíces de un polinomio con sus coeficientes usando el ejemplo de una ecuación cúbica.

De acuerdo con las fórmulas de Vieta, la relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes tiene la siguiente forma:

Se pueden establecer relaciones similares para cualquier polinomio de grado n.

Método número 3. Factorizar una ecuación cuadrática con raíces racionales

De la última fórmula de Vieta se deduce que las raíces de un polinomio son divisores de su término libre y coeficiente principal. En este sentido, si el planteamiento del problema especifica un polinomio de grado n con coeficientes enteros

entonces este polinomio tiene una raíz racional (fracción irreducible), donde p es el divisor del término libre y q es el divisor del coeficiente principal. En este caso, un polinomio de grado n se puede representar como (teorema de Bezout):

Un polinomio, cuyo grado es 1 menor que el grado del polinomio inicial, se determina dividiendo un polinomio de grado n binomial, por ejemplo, utilizando el esquema de Horner o de la forma más sencilla: "columna".

Ejemplo 3.1. Es necesario factorizar el polinomio.

P.1. Debido a que el coeficiente del término más alto es igual a uno, las raíces racionales de este polinomio son divisores del término libre de la expresión, es decir pueden ser números enteros . Sustituimos cada uno de los números presentados en la expresión original y encontramos que la raíz del polinomio presentado es igual a.

Dividamos el polinomio original por un binomio:

Usemos el esquema de Horner

Los coeficientes del polinomio original se establecen en la línea superior, mientras que la primera celda de la línea superior permanece vacía.

En la primera celda de la segunda línea, se escribe la raíz encontrada (en el ejemplo considerado, se escribe el número "2"), y los siguientes valores en las celdas se calculan de cierta manera y son los coeficientes del polinomio, que se obtiene dividiendo el polinomio por el binomio. Los coeficientes desconocidos se determinan de la siguiente manera:

El valor de la celda correspondiente de la primera fila se transfiere a la segunda celda de la segunda fila (en el ejemplo considerado, se escribe el número "1").

La tercera celda de la segunda fila contiene el valor del producto de la primera celda y la segunda celda de la segunda fila más el valor de la tercera celda de la primera fila (en el ejemplo considerado 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

La cuarta celda de la segunda fila contiene el valor del producto de la primera celda y la tercera celda de la segunda fila más el valor de la cuarta celda de la primera fila (en el ejemplo considerado 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Así, el polinomio original se factoriza:

Método número 4.Usar fórmulas de multiplicación abreviadas

Se utilizan fórmulas de multiplicación abreviadas para simplificar los cálculos, así como para factorizar polinomios. Las fórmulas de multiplicación abreviadas le permiten simplificar la solución de problemas individuales.

Fórmulas utilizadas para factorizar

Factorizar polinomios es una transformación de identidad, como resultado de lo cual un polinomio se transforma en el producto de varios factores: polinomios o monomios.

Hay varias formas de factorizar polinomios.

Método 1. Quitar el factor común de paréntesis.

Esta transformación se basa en la ley distributiva de la multiplicación: ac + bc = c(a + b). La esencia de la transformación es aislar el factor común en los dos componentes considerados y "sacarlo" de paréntesis.

Factoricemos el polinomio 28x 3 – 35x 4.

Solución.

1. Encuentra un divisor común para los elementos 28x3 y 35x4. Para 28 y 35 serán 7; para x 3 y x 4 – x 3. En otras palabras, nuestro factor común es 7x 3.

2. Representamos cada uno de los elementos como un producto de factores, uno de los cuales
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Sacamos el factor común de paréntesis.
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Método 2. Usar fórmulas de multiplicación abreviadas. El "dominio" del uso de este método es notar una de las fórmulas de multiplicación abreviadas en la expresión.

Factoricemos el polinomio x 6 – 1.

Solución.

1. Podemos aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados a esta expresión. Para hacer esto, imagine x 6 como (x 3) 2 y 1 como 1 2, es decir 1. La expresión tomará la forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Podemos aplicar la fórmula de suma y diferencia de cubos a la expresión resultante:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Entonces,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2+x+1).

Método 3. Agrupación. El método de agrupación implica combinar los componentes de un polinomio de tal manera que sea fácil realizar operaciones con ellos (suma, resta, resta de un factor común).

Factoricemos el polinomio x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Solución.

1. Agrupemos los componentes de esta forma: el 1º con el 2º y el 3º con el 4º.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. En la expresión resultante, quitamos de paréntesis los factores comunes: x 2 en el primer caso y 5 en el segundo.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Sacamos el factor común x – 3 de paréntesis y obtenemos:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Entonces,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Aseguremos el material.

Factoriza el polinomio a 2 – 7ab + 12b 2 .

Solución.

1. Representemos el monomio 7ab como la suma 3ab + 4ab. La expresión tomará la forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Abramos los corchetes y obtengamos:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Agrupemos los componentes del polinomio de esta forma: 1º con 2º y 3º con 4º. Obtenemos:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Saquemos los factores comunes de paréntesis:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Saquemos el factor común (a – 3b) de paréntesis:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Entonces,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3b) ∙ (a – 4b).

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Factorizar un polinomio. Parte 1

Factorización es una técnica universal que ayuda a resolver ecuaciones y desigualdades complejas. El primer pensamiento que nos viene a la mente al resolver ecuaciones y desigualdades en las que hay un cero en el lado derecho es intentar factorizar el lado izquierdo.

Enumeremos los principales. formas de factorizar un polinomio:

• sacando el factor común de paréntesis
• usando fórmulas de multiplicación abreviadas
• usando la fórmula para factorizar un trinomio cuadrático
• método de agrupación
• dividir un polinomio por un binomio
• método de coeficientes inciertos

En este artículo nos detendremos en detalle en los primeros tres métodos, consideraremos el resto en artículos posteriores;

1. Quitar el factor común de paréntesis.

Para sacar el factor común de los paréntesis, primero debes encontrarlo. factor multiplicador común igual al máximo común divisor de todos los coeficientes.

parte de la letra el factor común es igual al producto de las expresiones incluidas en cada término con el menor exponente.

El esquema para sumar un multiplicador común se ve así:

¡Atención!
El número de términos entre paréntesis es igual al número de términos de la expresión original. Si uno de los términos coincide con el factor común, entonces al dividirlo por el factor común obtenemos uno.

Ejemplo 1.

Factoriza el polinomio:

Saquemos el factor común de paréntesis. Para ello, primero lo encontraremos.

1. Encuentre el máximo común divisor de todos los coeficientes del polinomio, es decir números 20, 35 y 15. Es igual a 5.

2. Establecemos que la variable está contenida en todos los términos y el menor de sus exponentes es igual a 2. La variable está contenida en todos los términos y el menor de sus exponentes es 3.

La variable está contenida sólo en el segundo término, por lo que no forma parte del factor común.

Entonces el factor total es

3. Sacamos el multiplicador de paréntesis usando el diagrama anterior:

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación:

Solución. Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación. Saquemos el factor entre paréntesis:

Entonces obtenemos la ecuación

Igualemos cada factor a cero:

Obtenemos - la raíz de la primera ecuación.

Raíces:

Respuesta: -1, 2, 4

2. Factorización mediante fórmulas de multiplicación abreviadas.

Si el número de términos del polinomio que vamos a factorizar es menor o igual a tres, entonces intentamos aplicar las fórmulas de multiplicación abreviadas.

1. Si el polinomio esdiferencia de dos términos, entonces tratamos de aplicar fórmula de diferencia cuadrada:

o fórmula de diferencia de cubos:

Aquí están las letras y denota un número o expresión algebraica.

2. Si un polinomio es la suma de dos términos, entonces quizás se pueda factorizar usando fórmulas de suma de cubos:

3. Si un polinomio consta de tres términos, entonces intentamos aplicar fórmula de suma cuadrada:

o fórmula de diferencia al cuadrado:

O intentamos factorizar por fórmula para factorizar un trinomio cuadrático:

Aquí y están las raíces de la ecuación cuadrática.

Ejemplo 3.Factoriza la expresión:

Solución. Tenemos ante nosotros la suma de dos términos. Intentemos aplicar la fórmula para la suma de cubos. Para hacer esto, primero debes representar cada término como un cubo de alguna expresión y luego aplicar la fórmula para la suma de los cubos:

Ejemplo 4. Factoriza la expresión:

Decisión. Aquí tenemos la diferencia de los cuadrados de dos expresiones. Primera expresión: , segunda expresión:

Apliquemos la fórmula para la diferencia de cuadrados:

Abramos los corchetes y agreguemos términos similares, obtenemos:

En esta lección, recordaremos todos los métodos estudiados anteriormente para factorizar un polinomio y consideraremos ejemplos de su aplicación, además, estudiaremos un nuevo método: el método de aislar un cuadrado completo y aprenderemos a usarlo para resolver varios problemas. .

Sujeto:Factorizar polinomios

Lección:Factorización de polinomios. Método para seleccionar un cuadrado completo. Combinación de métodos

Recordemos los métodos básicos de factorización de un polinomio que se estudiaron anteriormente:

El método de poner entre paréntesis un factor común, es decir, un factor que está presente en todos los términos del polinomio. Veamos un ejemplo:

Recuerda que un monomio es el producto de potencias y números. En nuestro ejemplo, ambos términos tienen algunos elementos comunes e idénticos.

Entonces, saquemos el factor común de paréntesis:

;

Le recordamos que multiplicando el factor extraído por un paréntesis, puede comprobar la exactitud del factor extraído.

Método de agrupación. No siempre es posible extraer un factor común en un polinomio. En este caso, debes dividir a sus miembros en grupos de tal manera que en cada grupo puedas sacar un factor común e intentar descomponerlo para que después de quitar los factores en los grupos, aparezca un factor común en el expresión completa y puede continuar la descomposición. Veamos un ejemplo:

Agrupemos el primer término con el cuarto, el segundo con el quinto y el tercero con el sexto:

Saquemos los factores comunes en los grupos:

La expresión ahora tiene un factor común. Saquémoslo:

Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas. Veamos un ejemplo:

;

Escribamos la expresión en detalle:

Evidentemente, tenemos ante nosotros la fórmula de la diferencia al cuadrado, ya que es la suma de los cuadrados de dos expresiones y a ella se le resta su doble producto. Usemos la fórmula:

Hoy aprenderemos otro método: el método de seleccionar un cuadrado completo. Se basa en las fórmulas del cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia. Recordémosles:

Fórmula para el cuadrado de la suma (diferencia);

La peculiaridad de estas fórmulas es que contienen los cuadrados de dos expresiones y su doble producto. Veamos un ejemplo:

Anotamos la expresión:

Entonces, la primera expresión es y la segunda es.

Para crear una fórmula para el cuadrado de una suma o diferencia, no basta con duplicar el producto de las expresiones. Hay que sumar y restar:

Completemos el cuadrado de la suma:

Transformemos la expresión resultante:

Apliquemos la fórmula de la diferencia de cuadrados, recordemos que la diferencia de los cuadrados de dos expresiones es el producto y la suma de su diferencia:

Entonces, este método consiste, en primer lugar, en identificar las expresiones a y b que están al cuadrado, es decir, determinar qué expresiones están al cuadrado en este ejemplo. Después de esto, debes verificar la presencia de un producto duplicado y, si no está allí, entonces sumarlo y restarlo, esto no cambiará el significado del ejemplo, pero el polinomio se puede factorizar usando las fórmulas para el cuadrado de la suma o diferencia y diferencia de cuadrados, si es posible.

Pasemos a la resolución de ejemplos.

Ejemplo 1: factorizar:

Encontremos expresiones que estén al cuadrado:

Anotemos cuál debería ser su doble producto:

Sumemos y restemos el doble del producto:

Completemos el cuadrado de la suma y demos otros similares:

Escribámoslo usando la fórmula de diferencia de cuadrados:

Ejemplo 2: resuelve la ecuación:

;

En el lado izquierdo de la ecuación hay un trinomio. Necesitas factorizarlo en factores. Usamos la fórmula de diferencia al cuadrado:

Tenemos el cuadrado de la primera expresión y el producto doble, falta el cuadrado de la segunda expresión, sumemos y restemos:

Doblemos un cuadrado completo y demos términos similares:

Apliquemos la fórmula de diferencia de cuadrados:

Entonces tenemos la ecuación

Sabemos que un producto es igual a cero sólo si al menos uno de los factores es igual a cero. Creemos las siguientes ecuaciones basadas en esto:

Resolvamos la primera ecuación:

Resolvamos la segunda ecuación:

Respuesta: o

;

Procedemos de manera similar al ejemplo anterior: seleccionamos el cuadrado de la diferencia.

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