Número completo n. Espacios con otros números pi
Los entusiastas de las matemáticas de todo el mundo comen un trozo de pastel cada año el 14 de marzo; después de todo, es el día de Pi, el número irracional más famoso. Esta fecha está directamente relacionada con el número cuyos primeros dígitos son 3,14. Pi es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Como es irracional, es imposible escribirlo como una fracción. Este es un número infinitamente largo. Fue descubierto hace miles de años y ha sido estudiado constantemente desde entonces, pero ¿Pi todavía guarda algún secreto? Desde orígenes antiguos hasta un futuro incierto, estos son algunos de los datos más interesantes sobre Pi.
Memorizando Pi
El récord de memorización de números decimales pertenece a Rajvir Meena de la India, que logró recordar 70.000 dígitos; estableció el récord el 21 de marzo de 2015. Anteriormente, el poseedor del récord era Chao Lu de China, que logró recordar 67.890 dígitos; este récord se estableció en 2005. El poseedor del récord no oficial es Akira Haraguchi, quien se grabó en vídeo repitiendo 100.000 dígitos en 2005 y recientemente publicó un vídeo donde logra recordar 117.000 dígitos. El récord se haría oficial sólo si este video fue grabado en presencia de un representante del Libro Guinness de los Récords, y sin confirmación sigue siendo sólo un hecho impresionante, pero no se considera un logro. A los entusiastas de las matemáticas les encanta memorizar el número Pi. Mucha gente utiliza diversas técnicas mnemotécnicas, por ejemplo la poesía, donde el número de letras de cada palabra coincide con los dígitos de Pi. Cada idioma tiene sus propias versiones de frases similares que te ayudarán a recordar tanto los primeros números como la centena completa.
Hay un lenguaje Pi
Los matemáticos, apasionados de la literatura, inventaron un dialecto en el que el número de letras de todas las palabras corresponde a los dígitos de Pi en el orden exacto. El escritor Mike Keith incluso escribió un libro, Not a Wake, que está escrito íntegramente en Pi. Los entusiastas de esta creatividad escriben sus obras en total conformidad con el número de letras y el significado de los números. Esto no tiene ninguna aplicación práctica, pero es un fenómeno bastante común y bien conocido en los círculos de científicos entusiastas.
Crecimiento exponencial
Pi es un número infinito, por lo que, por definición, la gente nunca podrá establecer los dígitos exactos de este número. Sin embargo, el número de decimales ha aumentado considerablemente desde que se utilizó Pi por primera vez. Los babilonios también lo utilizaban, pero les bastaba una fracción de tres enteros y un octavo. Los chinos y los creadores del Antiguo Testamento se limitaron completamente a tres. En 1665, Sir Isaac Newton había calculado los 16 dígitos de Pi. En 1719, el matemático francés Tom Fante de Lagny había calculado 127 dígitos. La llegada de las computadoras ha mejorado radicalmente el conocimiento humano sobre Pi. De 1949 a 1967, el número de dígitos conocidos por el hombre se disparó de 2.037 a 500.000. No hace mucho, Peter Trueb, un científico de Suiza, pudo calcular 2,24 billones de dígitos de Pi. Tardaron 105 días. Por supuesto, este no es el límite. Es probable que con el desarrollo de la tecnología sea posible establecer una cifra aún más precisa: dado que Pi es infinito, la precisión simplemente no tiene límites y solo las características técnicas de la tecnología informática pueden limitarla.
Calcular Pi a mano
Si desea encontrar el número usted mismo, puede utilizar la técnica antigua: necesitará una regla, un frasco y un hilo, o puede utilizar un transportador y un lápiz. La desventaja de usar una lata es que debe ser redonda y la precisión estará determinada por qué tan bien una persona pueda enrollar la cuerda alrededor de ella. Puedes dibujar un círculo con un transportador, pero esto también requiere habilidad y precisión, ya que un círculo desigual puede distorsionar seriamente tus medidas. Un método más preciso implica el uso de geometría. Divide el círculo en muchos segmentos, como una pizza en porciones, y luego calcula la longitud de una línea recta que convertiría cada segmento en un triángulo isósceles. La suma de los lados dará el número aproximado Pi. Cuantos más segmentos utilice, más preciso será el número. Por supuesto, en tus cálculos no podrás acercarte a los resultados de una computadora, sin embargo, estos sencillos experimentos te permitirán comprender con más detalle qué es el número Pi y cómo se usa en matemáticas. 
Descubrimiento de Pi
Los antiguos babilonios conocían la existencia del número Pi hace ya cuatro mil años. Las tablillas babilónicas calculan Pi como 3,125, y un papiro matemático egipcio muestra el número 3,1605. En la Biblia, Pi se da en la obsoleta longitud de codos, y el matemático griego Arquímedes utilizó el teorema de Pitágoras, una relación geométrica entre la longitud de los lados de un triángulo y el área de las figuras dentro y fuera de los círculos. para describir Pi. Por tanto, podemos decir con seguridad que Pi es uno de los conceptos matemáticos más antiguos, aunque el nombre exacto de este número apareció hace relativamente poco tiempo.
Nueva mirada a Pi
Incluso antes de que el número Pi comenzara a correlacionarse con círculos, los matemáticos ya tenían muchas maneras de nombrar este número. Por ejemplo, en los libros de texto de matemáticas antiguos se puede encontrar una frase en latín que puede traducirse aproximadamente como “la cantidad que muestra la longitud cuando se multiplica el diámetro por ella”. El número irracional se hizo famoso cuando el científico suizo Leonhard Euler lo utilizó en su trabajo sobre trigonometría en 1737. Sin embargo, el símbolo griego de Pi todavía no se utilizaba; esto sólo ocurrió en un libro de un matemático menos conocido, William Jones. Ya lo utilizó en 1706, pero pasó desapercibido durante mucho tiempo. Con el tiempo, los científicos adoptaron este nombre y ahora es la versión más famosa del nombre, aunque anteriormente también se le llamaba número de Ludolf.
¿Es Pi un número normal?
Pi es definitivamente un número extraño, pero ¿en qué medida sigue las leyes matemáticas normales? Los científicos ya han resuelto muchas cuestiones relacionadas con este número irracional, pero aún quedan algunos misterios. Por ejemplo, no se sabe con qué frecuencia se utilizan todos los números; los números del 0 al 9 deben utilizarse en igual proporción. Sin embargo, las estadísticas se pueden rastrear a partir de los primeros billones de dígitos, pero debido a que el número es infinito, es imposible probar nada con certeza. Hay otros problemas que aún eluden a los científicos. Es posible que un mayor desarrollo de la ciencia ayude a arrojar luz sobre ellos, pero por el momento esto permanece fuera del alcance de la inteligencia humana.
Pi suena divino
Los científicos no pueden responder algunas preguntas sobre el número Pi, sin embargo, cada año comprenden cada vez mejor su esencia. Ya en el siglo XVIII se demostró la irracionalidad de este número. Además, se ha demostrado que la cifra es trascendental. Esto significa que no existe una fórmula específica que permita calcular Pi utilizando números racionales. 
Insatisfacción con el número Pi
Muchos matemáticos simplemente están enamorados de Pi, pero también hay quienes creen que estos números no son particularmente significativos. Además, afirman que Tau, que tiene el doble de tamaño que Pi, es más conveniente utilizarlo como número irracional. Tau muestra la relación entre circunferencia y radio, que algunos creen que representa un método de cálculo más lógico. Sin embargo, es imposible determinar algo inequívocamente en este asunto, y uno y otro número siempre tendrán partidarios, ambos métodos tienen derecho a la vida, por lo que esto es solo un hecho interesante y no una razón para pensar que no debería Usa el número Pi.
Durante muchos siglos e incluso, curiosamente, milenios, la gente ha comprendido la importancia y el valor para la ciencia de una constante matemática igual a la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. El número Pi aún es desconocido, pero con él se han implicado los mejores matemáticos de nuestra historia. La mayoría quería expresarlo como un número racional.
1. Los investigadores y verdaderos fanáticos del número Pi han organizado un club, para unirse al cual es necesario saber de memoria una cantidad bastante grande de sus signos.
2. Desde 1988 se celebra el “Día Pi”, que cae el 14 de marzo. Preparan ensaladas, tartas, galletas y repostería con su imagen.
3. Al número Pi ya se le ha puesto música y suena bastante bien. Incluso le erigieron un monumento en el Seattle estadounidense frente al Museo de Arte de la ciudad.
En aquella época, intentaron calcular el número Pi utilizando la geometría. El hecho de que este número es constante para una amplia variedad de círculos lo sabían los geómetras del Antiguo Egipto, Babilonia, la India y la Antigua Grecia, quienes afirmaron en sus trabajos que era sólo un poco más de tres.
En uno de los libros sagrados del jainismo (antigua religión india que surgió en el siglo VI a.C.) se menciona que entonces el número Pi se consideraba igual a la raíz cuadrada de diez, lo que finalmente da 3,162... .
Los matemáticos griegos antiguos medían un círculo construyendo un segmento, pero para medir un círculo, tenían que construir un cuadrado igual, es decir, una figura de igual área.
Cuando aún no se conocían las fracciones decimales, el gran Arquímedes encontró el valor de Pi con una precisión del 99,9%. Descubrió un método que se convirtió en la base de muchos cálculos posteriores, inscribiendo polígonos regulares en un círculo y describiéndolos a su alrededor. Como resultado, Arquímedes calculó el valor de Pi como la relación 22/7 ≈ 3,142857142857143.
En China, el matemático y astrónomo de la corte Zu Chongzhi en el siglo V a.C. mi. designó un valor más preciso para Pi, calculándolo con siete decimales y determinó su valor entre los números 3, 1415926 y 3,1415927. Los científicos tardaron más de 900 años en continuar esta serie digital.
Edad media
El famoso científico indio Madhava, que vivió a finales de los siglos XIV y XV y se convirtió en el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala, por primera vez en la historia comenzó a trabajar en la expansión de funciones trigonométricas en series. Es cierto que solo dos de sus obras han sobrevivido, y de otras solo se conocen referencias y citas de sus alumnos. El tratado científico "Mahajyanayana", atribuido a Madhava, afirma que el número Pi es 3,14159265359. Y en el tratado “Sadratnamala” se da un número con decimales aún más exactos: 3,14159265358979324. En los números dados, los últimos dígitos no corresponden al valor correcto.
En el siglo XV, el matemático y astrónomo de Samarcanda Al-Kashi calculó el número Pi con dieciséis decimales. Su resultado fue considerado el más preciso de los siguientes 250 años.
W. Johnson, un matemático de Inglaterra, fue uno de los primeros en denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro con la letra π. Pi es la primera letra de la palabra griega "περιφέρεια" - círculo. Pero esta designación logró ser generalmente aceptada solo después de que fue utilizada en 1736 por el científico más famoso L. Euler.
Conclusión
Los científicos modernos continúan trabajando en nuevos cálculos de los valores de Pi. Para ello ya se utilizan superordenadores. En 2011, el científico Shigeru Kondo, en colaboración con el estudiante estadounidense Alexander Yi, calculó correctamente una secuencia de 10 billones de dígitos. Pero aún no está claro quién descubrió el número Pi, quién fue el primero en pensar en este problema e hizo los primeros cálculos de este número verdaderamente místico.
Recientemente, existe una fórmula elegante para calcular Pi, publicada por primera vez en 1995 por David Bailey, Peter Borwein y Simon Plouffe:
Al parecer, lo que tiene de especial es que existen muchísimas fórmulas para calcular Pi: desde el método escolar de Montecarlo hasta la incomprensible integral de Poisson y la fórmula de Francois Vieta de finales de la Edad Media. Pero es a esta fórmula a la que vale la pena prestar especial atención: le permite calcular el enésimo dígito de pi sin encontrar los anteriores. Para obtener información sobre cómo funciona esto, así como el código listo para usar en C que calcula el dígito número 1.000.000, suscríbase.
¿Cómo funciona el algoritmo para calcular el enésimo dígito de Pi?
Por ejemplo, si necesitamos el dígito hexadecimal número 1000 de Pi, multiplicamos la fórmula completa por 16^1000, convirtiendo así el factor delante del paréntesis en 16^(1000-k). Al exponenciar, utilizamos el algoritmo de exponenciación binaria o, como mostrará el siguiente ejemplo, la exponenciación de módulo. Después de esto, calculamos la suma de varios términos de la serie. Además, no es necesario calcular mucho: a medida que k aumenta, 16^(N-k) disminuye rápidamente, por lo que los términos posteriores no afectarán el valor de los números requeridos). Todo eso es magia: brillante y simple.
La fórmula de Bailey-Borwine-Plouffe fue encontrada por Simon Plouffe utilizando el algoritmo PSLQ, que fue incluido en la lista de los 10 mejores algoritmos del siglo en 2000. El algoritmo PSLQ fue desarrollado a su vez por Bailey. Aquí una serie mexicana sobre matemáticos.
Por cierto, el tiempo de ejecución del algoritmo es O(N), el uso de memoria es O(log N), donde N es el número de serie del signo deseado.
Creo que sería apropiado citar el código en C escrito directamente por el autor del algoritmo, David Bailey:
/* Este programa implementa el algoritmo BBP para generar algunos dígitos hexadecimales comenzando inmediatamente después de una identificación de posición determinada, o en otras palabras, comenzando en la identificación de posición + 1. En la mayoría de los sistemas que utilizan aritmética de punto flotante IEEE de 64 bits, este código funciona correctamente siempre que d sea menor que aproximadamente 1,18 x 10^7. Si se puede emplear la aritmética de 80 bits, este límite es significativamente mayor. Cualquiera que sea la aritmética que se use, los resultados para una determinada posición id se pueden verificar repitiendo con id-1 o id+1 y verificando que los dígitos hexadecimales se superpongan perfectamente con un desplazamiento de uno, excepto posiblemente por algunos dígitos finales. Las fracciones resultantes suelen tener una precisión de al menos 11 dígitos decimales y de al menos 9 dígitos hexadecimales. */ /* David H. Bailey 2006-09-08 */ #incluir
p1 = p;
r = 1.; /* Realizar el algoritmo exponencial binario módulo ak. */ para (j = 1; j
= pt)( r = 16. * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; p1 = p1 - pt; ) pt = 0,5 * pt;
if (pt >= 1.)( r = r * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; ) ) return r; )¿Qué oportunidades ofrece esto? Por ejemplo: podemos crear un sistema informático distribuido que calcule el número Pi y establecer un nuevo récord de precisión de los cálculos para todo Habr (que, por cierto, ahora es de 10 billones de decimales). Según datos empíricos, la parte fraccionaria del número Pi es una secuencia numérica normal (aunque esto aún no se ha demostrado de manera confiable), lo que significa que sus secuencias numéricas se pueden usar para generar contraseñas y números simplemente aleatorios, o en criptografía. algoritmos (por ejemplo, hash). Puedes encontrar una gran variedad de formas de utilizarlo; sólo necesitas usar tu imaginación. Puedes encontrar más información sobre el tema en el artículo del propio David Bailey, donde habla en detalle sobre el algoritmo y su implementación (pdf);
Y parece que acabas de leer el primer artículo en ruso sobre este algoritmo en RuNet; no pude encontrar ningún otro. es un número trascendental, o en palabras simples no puede ser la raíz de algún polinomio con coeficientes enteros. Puede designarse como un número real o como un número indirecto que no es algebraico.
El número "Pi" es 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510...
Y parece que acabas de leer el primer artículo en ruso sobre este algoritmo en RuNet; no pude encontrar ningún otro. Puede que no sea solo un número irracional que no se pueda expresar usando varios números diferentes. El número "Pi" se puede representar mediante una determinada fracción decimal, que tiene un número infinito de dígitos después del punto decimal. Otro punto interesante es que todos estos números no se pueden repetir.
Y parece que acabas de leer el primer artículo en ruso sobre este algoritmo en RuNet; no pude encontrar ningún otro. se puede correlacionar con el número fraccionario 22/7, el llamado símbolo de la “triple octava”. Los antiguos sacerdotes griegos conocían este número. Además, incluso los residentes comunes y corrientes podrían utilizarlo para resolver cualquier problema cotidiano y también para diseñar estructuras tan complejas como las tumbas.
Según el científico e investigador Hayens, se puede rastrear un número similar entre las ruinas de Stonehenge y también en las pirámides de México.
Y parece que acabas de leer el primer artículo en ruso sobre este algoritmo en RuNet; no pude encontrar ningún otro. Ahmes, un famoso ingeniero en ese momento, lo menciona en sus escritos. Intentó calcularlo con la mayor precisión posible midiendo el diámetro del círculo utilizando los cuadrados dibujados en su interior. Probablemente, en algún sentido, este número tenga algún significado místico y sagrado para los antiguos.
Y parece que acabas de leer el primer artículo en ruso sobre este algoritmo en RuNet; no pude encontrar ningún otro. Es esencialmente el símbolo matemático más misterioso. Se puede clasificar como delta, omega, etc. Representa una relación que resultará ser exactamente la misma, independientemente del punto del universo en el que se encuentre el observador. Además, permanecerá inalterado respecto del objeto de medición.
Lo más probable es que la primera persona que decidió calcular el número "Pi" mediante un método matemático fuera Arquímedes. Decidió dibujar polígonos regulares en un círculo. Considerando que el diámetro de un círculo es uno, el científico designó el perímetro de un polígono dibujado en un círculo, considerando el perímetro de un polígono inscrito como una estimación superior y como una estimación inferior de la circunferencia.
¿Cuál es el número "Pi"?
Tabla de valores de funciones trigonométricas.
Nota. Esta tabla de valores de funciones trigonométricas utiliza el signo √ para representar la raíz cuadrada. Para indicar una fracción, utilice el símbolo "/".
ver también materiales útiles:
Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntralo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, seno 30 grados: buscamos la columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la fila "30 grados", en su intersección leemos el resultado: la mitad. De manera similar encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin y la línea de 60 grados encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. Los valores de los senos, cosenos y tangentes de otros ángulos “populares” se encuentran de la misma forma.
Seno pi, coseno pi, tangente pi y otros ángulos en radianes
La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulos. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.
El número pi expresa inequívocamente la dependencia de la circunferencia de la medida en grados del ángulo. Por tanto, pi radianes equivalen a 180 grados.
Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando pi (π) por 180..
Ejemplos:
1. Seno pi.
pecado π = pecado 180 = 0
por tanto, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.
2. coseno pi.
porque π = porque 180 = -1
por tanto, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.
3. pi tangente
tg π = tg 180 = 0
por tanto, la tangente pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.
Tabla de valores de seno, coseno y tangente para ángulos de 0 a 360 grados (valores comunes)
|
valor del ángulo α (grados) |
valor del ángulo α (vía pi) |
pecado (seno) |
porque (coseno) |
tg (tangente) |
ctg (cotangente) |
segundo (secante) |
cosec (cosecante) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas se indica un guión en lugar del valor de la función (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces para un valor dado de la medida en grados del ángulo la función no tiene un valor específico. Si no hay un guión, la celda está vacía, lo que significa que aún no hemos ingresado el valor requerido. Nos interesa saber qué consultas nos solicitan los usuarios y complementar la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulos más comunes son suficientes para resolver la mayoría. problemas.
Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 grados
(valores numéricos “según tablas Bradis”)
| valor del ángulo α (grados) | valor del ángulo α en radianes | pecado (seno) | cos (coseno) | tg (tangente) | ctg (cotangente) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |