Área de un trapezoide a través de los lados. Cómo encontrar el área de un trapezoide isósceles

Área de un trapezoide. ¡Saludos! En esta publicación veremos esta fórmula. ¿Por qué es exactamente así y cómo entenderla? Si hay comprensión, entonces no es necesario enseñarla. Si solo desea ver esta fórmula y con urgencia, puede desplazarse inmediatamente hacia abajo en la página))

Ahora en detalle y en orden.

Un trapezoide es un cuadrilátero, dos lados de este cuadrilátero son paralelos, los otros dos no. Las que no son paralelas son las bases del trapezoide. Los otros dos se llaman lados.

Si los lados son iguales, entonces el trapezoide se llama isósceles. Si uno de los lados es perpendicular a las bases, entonces dicho trapezoide se llama rectangular.

En su forma clásica, un trapecio se representa de la siguiente manera: la base más grande está en la parte inferior, respectivamente, la más pequeña está en la parte superior. Pero nadie prohíbe representarla y viceversa. Aquí están los bocetos:

Siguiente concepto importante.

La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados. La línea media es paralela a las bases del trapezoide e igual a su media suma.

Ahora profundicemos más. ¿Por qué es así?

Considere un trapezoide con bases. a y b y con la línea media yo, y realicemos algunas construcciones adicionales: dibuje líneas rectas a través de las bases y perpendiculares a través de los extremos de la línea media hasta que se crucen con las bases:

*Las designaciones de letras para vértices y otros puntos no se incluyen intencionalmente para evitar designaciones innecesarias.

Mira, los triángulos 1 y 2 son iguales según el segundo signo de igualdad de los triángulos, los triángulos 3 y 4 son iguales. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los elementos, es decir, los catetos (están indicados en azul y rojo, respectivamente).

¡Ahora atención! Si "cortamos" mentalmente los segmentos azul y rojo de la base inferior, nos quedará un segmento (este es el lado del rectángulo) igual a la línea media. A continuación, si "pegamos" los segmentos cortados azul y rojo a la base superior del trapezoide, también obtendremos un segmento (este también es el lado del rectángulo) igual a la línea media del trapezoide.

¿Entiendo? Resulta que la suma de las bases será igual a las dos líneas medias del trapezoide:

Ver otra explicación

Hagamos lo siguiente: construyamos una línea recta que pase por la base inferior del trapezoide y una línea recta que pase por los puntos A y B:

Obtenemos los triángulos 1 y 2, son iguales en los lados y en los ángulos adyacentes (el segundo signo de igualdad de los triángulos). Esto significa que el segmento resultante (en el boceto está indicado en azul) es igual a la base superior del trapezoide.

Consideremos ahora el triángulo:

*La línea media de este trapezoide y la línea media del triángulo coinciden.

Se sabe que un triángulo es igual a la mitad de su base paralela a él, es decir:

Bien, lo descubrimos. Ahora sobre el área del trapezoide.

Fórmula del área trapezoidal:

Dicen: el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases y su altura.

Es decir, resulta que es igual al producto de la línea central por la altura:

Probablemente ya hayas notado que esto es obvio. Geométricamente, esto se puede expresar de esta manera: si mentalmente cortamos los triángulos 2 y 4 del trapezoide y los colocamos en los triángulos 1 y 3, respectivamente:

Luego obtendremos un rectángulo con un área igual al área de nuestro trapezoide. El área de este rectángulo será igual al producto de la línea central por la altura, es decir, podemos escribir:

Pero aquí, por supuesto, no se trata de escribir, sino de comprender.

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Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Saludos cordiales, Alejandro.

Hay muchas formas de encontrar el área de un trapezoide. Normalmente un tutor de matemáticas conoce varios métodos para calcularlo, veámoslos con más detalle:
1) , donde AD y BC son las bases y BH es la altura del trapezoide. Prueba: trazar la diagonal BD y expresar las áreas de los triángulos ABD y CDB mediante el producto medio de sus bases y alturas:

, donde DP es la altura exterior en

Sumemos estas igualdades término a término y teniendo en cuenta que las alturas BH y DP son iguales obtenemos:

Saquémoslo de paréntesis

Q.E.D.

Corolario de la fórmula del área de un trapezoide:
Dado que la mitad de la suma de las bases es igual a MN, la línea media del trapezoide, entonces

2) Aplicación de la fórmula general para el área de un cuadrilátero.
El área de un cuadrilátero es igual a la mitad del producto de las diagonales multiplicado por el seno del ángulo entre ellas
Para comprobarlo basta dividir el trapezoide en 4 triángulos, expresar el área de cada uno en términos de “la mitad del producto de las diagonales por el seno del ángulo entre ellas” (tomado como ángulo, sumar el resultado expresiones, sáquelas del paréntesis y factorice este paréntesis usando el método de agrupación para obtener su igualdad con la expresión.

3) Método de desplazamiento diagonal
Este es mi nombre. Un profesor de matemáticas no encontrará ese título en los libros de texto escolares. Solo se puede encontrar una descripción de la técnica en libros de texto adicionales como ejemplo de resolución de un problema. Me gustaría señalar que la mayoría de los datos interesantes y útiles sobre la planimetría los revelan a los estudiantes los tutores de matemáticas en el proceso de realización del trabajo práctico. Esto es extremadamente subóptimo, porque el estudiante necesita aislarlos en teoremas separados y llamarlos "grandes nombres". Uno de ellos es el "desplazamiento diagonal". ¿De qué estamos hablando? Trazamos una recta paralela a AC que pasa por el vértice B hasta cortarla con la base inferior en el punto E. En este caso el cuadrilátero EBCA será un paralelogramo (por definición) y por tanto BC=EA y EB=AC. La primera igualdad es importante para nosotros ahora. Tenemos:

Tenga en cuenta que el triángulo BED, cuyo área es igual al área del trapecio, tiene varias propiedades más notables:
1) Su área es igual al área del trapecio
2) Su isósceles ocurre simultáneamente con el isósceles del propio trapezoide.
3) Su ángulo superior en el vértice B es igual al ángulo entre las diagonales del trapezoide (que se usa muy a menudo en los problemas)
4) Su mediana BK es igual a la distancia QS entre los puntos medios de las bases del trapezoide. Recientemente me encontré con el uso de esta propiedad cuando preparaba a un estudiante de Mecánica y Matemáticas en la Universidad Estatal de Moscú usando el libro de texto de Tkachuk, versión 1973 (el problema se encuentra al final de la página).

Técnicas especiales para un tutor de matemáticas.

A veces propongo problemas usando una forma muy complicada de encontrar el área de un trapezoide. La clasifico como una técnica especial porque en la práctica el tutor las utiliza muy raramente. Si necesita preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas solo en la Parte B, no es necesario que lea sobre ellos. Para otros, les contaré más. Resulta que el área de un trapezoide es el doble del área de un triángulo con vértices en los extremos de un lado y en la mitad del otro, es decir, el triángulo ABS de la figura:
Prueba: trazar las alturas SM y SN en los triángulos BCS y ADS y expresar la suma de las áreas de estos triángulos:

Dado que el punto S es el punto medio de CD, entonces (compruébelo usted mismo) encontremos la suma de las áreas de los triángulos:

Dado que esta suma resultó ser igual a la mitad del área del trapecio, entonces su segunda mitad. Etc.

En la colección de técnicas especiales del tutor, incluiría la forma de calcular el área de un trapezoide isósceles a lo largo de sus lados: donde p es el semiperímetro del trapezoide. No daré pruebas. De lo contrario, tu profesor de matemáticas se quedará sin trabajo :). ¡Ven a clase!

Problemas sobre el área de un trapezoide:

nota del tutor de matemáticas: La lista a continuación no es un acompañamiento metodológico del tema, es solo una pequeña selección de tareas interesantes basadas en las técnicas discutidas anteriormente.

1) La base inferior de un trapezoide isósceles es 13 y la superior es 5. Calcula el área del trapezoide si su diagonal es perpendicular al lado.
2) Calcula el área de un trapezoide si sus bases miden 2 cm y 5 cm, y sus lados miden 2 cm y 3 cm.
3) En un trapezoide isósceles, la base más grande es 11, el lado es 5 y la diagonal es Encuentra el área del trapezoide.
4) La diagonal de un trapezoide isósceles es 5 y la línea media es 4. Encuentra el área.
5) En un trapezoide isósceles, las bases son 12 y 20 y las diagonales son mutuamente perpendiculares. Calcular el área de un trapecio
6) La diagonal de un trapecio isósceles forma un ángulo con su base inferior. Calcula el área del trapezoide si su altura es de 6 cm.
7) El área del trapezoide es 20 y uno de sus lados mide 4 cm. Calcula la distancia desde el centro del lado opuesto.
8) La diagonal de un trapezoide isósceles lo divide en triángulos con áreas de 6 y 14. Calcula la altura si el lado lateral es 4.
9) En un trapezoide, las diagonales son iguales a 3 y 5, y el segmento que conecta los puntos medios de las bases es igual a 2. Encuentre el área del trapezoide (Mekhmat MSU, 1970).

No elegí los problemas más difíciles (¡no tengáis miedo de la ingeniería mecánica!) con la expectativa de poder resolverlos por mi cuenta. ¡Decide por tu salud! Si necesita preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, sin la participación de la fórmula para el área de un trapezoide en este proceso, pueden surgir problemas graves incluso con el problema B6 y más aún con C4. No empieces el tema y en caso de cualquier dificultad, pide ayuda. Un tutor de matemáticas siempre estará encantado de ayudarte.

Kolpakov A.N.
Tutor de matemáticas en Moscú, preparación para el examen estatal unificado en Strogino.

¿Qué es un trapezoide isósceles? Se trata de una figura geométrica cuyos lados opuestos y no paralelos son iguales. Existen varias fórmulas diferentes para encontrar el área de un trapezoide con diversas condiciones que se dan en los problemas. Es decir, el área se puede encontrar si se dan la altura, los lados, los ángulos, las diagonales, etc. También es imposible no mencionar que para los trapecios isósceles existen algunas "excepciones", gracias a las cuales la búsqueda del área y la fórmula en sí se simplifican significativamente. A continuación se muestran soluciones detalladas para cada caso con ejemplos.

Propiedades necesarias para encontrar el área de un trapezoide isósceles

Ya hemos descubierto que una figura geométrica que tiene lados opuestos, no paralelos, pero iguales, es un trapecio e isósceles. Hay casos especiales en los que un trapezoide se considera isósceles.

• Estas son las condiciones para la igualdad de ángulos. Entonces, un punto obligatorio: los ángulos en la base (toma la foto de abajo) deben ser iguales. En nuestro caso, ángulo BAD = ángulo CDA y ángulo ABC = ángulo BCD
• La segunda regla importante es que en tal trapezoide las diagonales deben ser iguales. Por lo tanto, AC = BD.
• Tercer aspecto: los ángulos opuestos del trapezoide deben sumar 180 grados. Esto significa que el ángulo ABC + el ángulo CDA = 180 grados. Lo mismo se aplica a los ángulos BCD y BAD.
• En cuarto lugar, si un trapezoide permite que se describa un círculo a su alrededor, entonces es isósceles.

Cómo encontrar el área de un trapezoide isósceles: fórmulas y sus descripciones

• S = (a+b)h/2 es la fórmula más común para encontrar el área, donde A – base inferior, b es la base superior y h es la altura.

• Si se desconoce la altura, puedes buscarla usando una fórmula similar: h = c*sin(x), donde c es AB o CD. sin(x) es el seno del ángulo en cualquier base, es decir, ángulo DAB = ángulo CDA = x. En última instancia, la fórmula toma esta forma: S = (a+b)*c*sen(x)/2.
• La altura también se puede encontrar usando esta fórmula:

• La fórmula final se ve así:

• El área de un trapezoide isósceles se puede encontrar a través de la línea media y la altura. La fórmula es: S = mh.

Consideremos la condición en la que un círculo está inscrito en un trapezoide.

En el caso que se muestra en la imagen,

QN = D = H – el diámetro del círculo y al mismo tiempo la altura del trapezoide;

LO, ON, OQ = R – radios del círculo;

DC = a – base superior;

AB = b – base inferior;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beta – ángulos de las bases del trapezoide.

Un caso similar permite encontrar el área usando las siguientes fórmulas:

• Ahora intentemos encontrar el área a través de las diagonales y los ángulos entre ellas.

En la figura denotamos AC, DB – diagonales – d. Ángulos COB, DOB – alfa; DOC, AOB – beta. Fórmula para el área de un trapezoide isósceles usando las diagonales y el ángulo entre ellas, ( S ) es:

La práctica del Examen Estatal Unificado y del Examen Estatal del año pasado muestra que los problemas de geometría causan dificultades a muchos escolares. Podrás afrontarlos fácilmente si memorizas todas las fórmulas necesarias y practicas la resolución de problemas.

En este artículo verás fórmulas para encontrar el área de un trapezoide, así como ejemplos de problemas con solución. Es posible que te encuentres con los mismos en los KIM durante los exámenes de certificación o en las Olimpíadas. Por lo tanto, trátelos con cuidado.

¿Qué necesitas saber sobre el trapezoide?

Para empezar recordemos que trapezoide Se llama cuadrilátero en el que dos lados opuestos, también llamados bases, son paralelos y los otros dos no.

En un trapezoide también se puede reducir la altura (perpendicular a la base). Se dibuja la línea media: es una línea recta paralela a las bases e igual a la mitad de su suma. Así como diagonales que pueden cruzarse formando ángulos agudos y obtusos. O, en algunos casos, en ángulo recto. Además, si el trapezoide es isósceles, se puede inscribir en él un círculo. Y describe un círculo a su alrededor.

Fórmulas del área trapezoidal

Primero, veamos las fórmulas estándar para encontrar el área de un trapezoide. Consideraremos formas de calcular el área de trapecios isósceles y curvilíneos a continuación.

Entonces, imagina que tienes un trapezoide con bases a y b, en el que la altura h se reduce a la base más grande. Calcular el área de una figura en este caso es tan fácil como pelar peras. Sólo necesitas dividir la suma de las longitudes de las bases por dos y multiplicar el resultado por la altura: S = 1/2(a + b)*h.

Tomemos otro caso: supongamos que en un trapezoide, además de la altura, existe una recta media m. Conocemos la fórmula para encontrar la longitud de la línea media: m = 1/2(a + b). Por lo tanto, podemos simplificar legítimamente la fórmula para el área de un trapezoide a la siguiente forma: S = m*h. En otras palabras, para encontrar el área de un trapezoide, debes multiplicar la línea central por la altura.

Consideremos otra opción: el trapezoide contiene diagonales d 1 y d 2, que no se cruzan en ángulos rectos α. Para calcular el área de dicho trapezoide, debes dividir el producto de las diagonales por dos y multiplicar el resultado por el pecado del ángulo entre ellas: S= 1/2d 1 d 2 *senα.

Ahora considere la fórmula para encontrar el área de un trapezoide si no se sabe nada sobre él excepto las longitudes de todos sus lados: a, b, cy d. Esta es una fórmula engorrosa y compleja, pero te será útil recordarla por si acaso: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Por cierto, los ejemplos anteriores también son válidos para el caso en el que se necesita la fórmula para el área de un trapezoide rectangular. Este es un trapezoide, cuyo lado linda con las bases en ángulo recto.

trapezoide isósceles

Un trapezoide cuyos lados son iguales se llama isósceles. Consideraremos varias opciones para la fórmula del área de un trapezoide isósceles.

Primera opción: para el caso en que un círculo con radio r está inscrito dentro de un trapezoide isósceles y el lado y la base más grande forman un ángulo agudo α. Un círculo puede inscribirse en un trapecio siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de sus lados.

El área de un trapezoide isósceles se calcula de la siguiente manera: se multiplica el cuadrado del radio del círculo inscrito por cuatro y se divide todo por senα: S = 4r 2 /senα. Otra fórmula de área es un caso especial para la opción cuando el ángulo entre la base grande y el lado es 30 0: S = 8r2.

Segunda opción: esta vez tomamos un trapezoide isósceles, en el que además se dibujan las diagonales d 1 y d 2, así como la altura h. Si las diagonales de un trapezoide son mutuamente perpendiculares, la altura es la mitad de la suma de las bases: h = 1/2(a + b). Sabiendo esto, es fácil transformar la fórmula para el área de un trapezoide que ya conoce en esta forma: S = h 2.

Fórmula para el área de un trapecio curvo

Comencemos por descubrir qué es un trapezoide curvo. Imagine un eje de coordenadas y una gráfica de una función f continua y no negativa que no cambia de signo dentro de un segmento dado en el eje x. Un trapezoide curvilíneo está formado por la gráfica de la función y = f(x): en la parte superior, el eje x está en la parte inferior (segmento), y en los lados, líneas rectas trazadas entre los puntos a y b y la gráfica de la función.

Es imposible calcular el área de una figura tan no estándar utilizando los métodos anteriores. Aquí es necesario aplicar el análisis matemático y utilizar la integral. A saber: la fórmula de Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). En esta fórmula, F es la antiderivada de nuestra función en el segmento seleccionado. Y el área de un trapezoide curvilíneo corresponde al incremento de la primitiva en un segmento dado.

Ejemplos de problemas

Para que todas estas fórmulas sean más fáciles de entender en tu cabeza, aquí tienes algunos ejemplos de problemas para encontrar el área de un trapezoide. Lo mejor será que primero intente resolver los problemas usted mismo y solo luego compare la respuesta recibida con la solución ya preparada.

Tarea #1: Dado un trapezoide. Su base más grande mide 11 cm, la más pequeña mide 4 cm. El trapezoide tiene diagonales, una de 12 cm de largo y la segunda de 9 cm.

Solución: Construya un AMRS trapezoide. Dibuja una línea recta РХ a través del vértice P de modo que sea paralela a la diagonal MC y corte a la línea recta AC en el punto X. Obtendrás un triángulo APХ.

Consideraremos dos figuras obtenidas como resultado de estas manipulaciones: el triángulo APX y el paralelogramo CMRX.

Gracias al paralelogramo aprendemos que PX = MC = 12 cm y CX = MR = 4 cm. De donde podemos calcular el lado AX del triángulo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

También podemos demostrar que el triángulo APX es rectángulo (para hacer esto, aplique el teorema de Pitágoras - AX 2 = AP 2 + PX 2). Y calcula su área: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

A continuación tendrás que demostrar que los triángulos AMP y PCX tienen el mismo área. La base será la igualdad de las partes MR y CX (ya probada anteriormente). Y también las alturas que bajas en estos lados son iguales a la altura del trapezoide AMRS.

Todo esto te permitirá decir que S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Tarea #2: Se da el trapezoide KRMS. En sus lados laterales se encuentran los puntos O y E, mientras que OE y KS son paralelos. También se sabe que las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en una proporción de 1:5. RM = a y KS = b. Necesitas encontrar OE.

Solución: Trazar una línea paralela a RK que pasa por el punto M y designar el punto de su intersección con OE como T. A es el punto de intersección de la línea trazada por el punto E paralela a RK con la base KS.

Introduzcamos una notación más: OE = x. Y también la altura h 1 para el triángulo TME y la altura h 2 para el triángulo AEC (puedes probar de forma independiente la similitud de estos triángulos).

Supondremos que b > a. Las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en la proporción 1:5, lo que nos da derecho a crear la siguiente ecuación: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformemos y obtengamos: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Como los triángulos TME y AEC son semejantes, tenemos h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combinemos ambas entradas y obtengamos: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Por tanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusión

La geometría no es la ciencia más fácil, pero ciertamente podrás afrontar las preguntas del examen. Basta con mostrar un poco de perseverancia en la preparación. Y, por supuesto, recuerda todas las fórmulas necesarias.

Intentamos recopilar todas las fórmulas para calcular el área de un trapecio en un solo lugar para que puedas usarlas cuando te prepares para los exámenes y revises el material.

Asegúrate de contarles a tus compañeros y amigos en las redes sociales sobre este artículo. ¡Que haya más buenas notas en el Examen Estatal Unificado y en los Exámenes Estatales!

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Antes de encontrar el área de un trapecio, es necesario determinar los elementos conocidos del trapezoide. Un trapezoide es un objeto geométrico, es decir, un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos (dos bases). Los otros dos lados son laterales. Si estos dos lados del cuadrilátero también son paralelos, entonces ya no será un trapezoide, sino un paralelogramo. Si al menos un ángulo de un trapezoide mide 90 grados, entonces dicho trapezoide se llama rectangular. Más adelante veremos cómo encontrar el área de un trapezoide rectangular. También hay un trapezoide isósceles, cuyo nombre habla por sí solo: los lados de dicho trapezoide son iguales. La distancia entre las bases de un trapezoide se llama altura y la altura se utiliza muy a menudo para encontrar el área. La línea media de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados.

Fórmulas básicas para encontrar el área de un trapezoide.

• S=h*(a+b)/2
  Donde h es la altura del trapezoide, a, b son las bases. La fórmula más utilizada para encontrar el área de un trapezoide es la mitad de la suma de las bases multiplicada por la altura.
• S = m*h
  Donde m es la línea media del trapezoide, h es la altura. El área de un trapezoide también es igual al producto de la línea media del trapezoide por su altura.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Donde d1, d2 son las diagonales del trapezoide, sin(d1^d2) es el seno del ángulo entre las diagonales del trapezoide.

También existen diversas fórmulas derivadas de las básicas, así como una fórmula para calcular el área de un trapezoide cuando se conocen todos sus lados. Sin embargo, esta fórmula es bastante engorrosa y rara vez se usa, porque, conociendo todos los lados del trapezoide, simplemente se puede determinar la altura o su línea media. También puedes inscribir un círculo en un trapecio isósceles. En este caso, el área del trapezoide se calculará mediante la fórmula: 8*radio del círculo al cuadrado.

Cómo encontrar el área de un trapezoide rectangular

Como se mencionó anteriormente, un trapezoide se llama rectangular si tiene al menos un ángulo recto. Encontrar el área de dicho trapezoide es muy sencillo. Básicamente, para encontrar el área de un trapezoide rectangular se utilizan las mismas fórmulas que para un trapezoide regular. Sin embargo, vale la pena recordar que uno de los lados de dicho trapezoide será la altura. Además, a menudo la solución de los problemas de encontrar el área de un trapezoide rectangular se reduce a encontrar el área del rectángulo y el triángulo formados por la altura omitida. Estas tareas son bastante sencillas.