Matriz inversa de 3er orden. Matriz inversa y sus propiedades.

Métodos para encontrar la matriz inversa. Considere una matriz cuadrada

Denotemos Δ =det A.

La matriz cuadrada A se llama no degenerado, o no especial, si su determinante es distinto de cero, y degenerar, o especial, SiΔ = 0.

Una matriz cuadrada B es para una matriz cuadrada A del mismo orden si su producto es A B = B A = E, donde E es la matriz identidad del mismo orden que las matrices A y B.

Teorema . Para que la matriz A tenga matriz inversa es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero.

La matriz inversa de la matriz A, denotada por A- 1, entonces B = A - 1 y se calcula mediante la fórmula

, (1)

donde A i j son complementos algebraicos de los elementos a i j de la matriz A.

Calcular A -1 usando la fórmula (1) para matrices de alto orden requiere mucha mano de obra, por lo que en la práctica es conveniente encontrar A -1 usando el método de transformaciones elementales (ET). Cualquier matriz A no singular se puede reducir a la matriz identidad E mediante ED de solo columnas (o solo filas). Si las ED perfeccionadas sobre la matriz A se aplican en el mismo orden a la matriz identidad E, entonces el resultado es. una matriz inversa. Es conveniente realizar EP sobre las matrices A y E simultáneamente, escribiendo ambas matrices una al lado de la otra a través de una línea. Notemos una vez más que al buscar la forma canónica de una matriz, para encontrarla se pueden utilizar transformaciones de filas y columnas. Si necesitas encontrar la inversa de una matriz, debes usar solo filas o solo columnas durante el proceso de transformación.

Ejemplo 2.10. Para matriz encontrar A -1 .

Solución.Primero encontramos el determinante de la matriz A.
Esto significa que la matriz inversa existe y podemos encontrarla usando la fórmula: , donde A i j (i,j=1,2,3) son sumas algebraicas de elementos a i j de la matriz original.

Dónde .

Ejemplo 2.11. Utilizando el método de transformaciones elementales, encuentre A -1 para la matriz: A = .

Solución.Asignamos a la matriz original de la derecha una matriz identidad del mismo orden: . Usando transformaciones elementales de las columnas, reduciremos la “mitad” izquierda a la identidad, realizando simultáneamente exactamente las mismas transformaciones en la matriz derecha.
Para hacer esto, intercambie la primera y la segunda columna: ~ . A la tercera columna sumamos la primera, y a la segunda, la primera, multiplicada por -2: . De la primera columna restamos el segundo duplicado, y de la tercera, el segundo multiplicado por 6; . Agreguemos la tercera columna a la primera y segunda: . Multiplica la última columna por -1: . La matriz cuadrada obtenida a la derecha de la barra vertical es la matriz inversa de la matriz A dada. Entonces,
.

Encontrar la matriz inversa.

En este artículo entenderemos el concepto de matriz inversa, sus propiedades y métodos de búsqueda. Detengámonos en detalle en la resolución de ejemplos en los que es necesario construir una matriz inversa para una determinada.

Navegación de páginas.

Matriz inversa - definición.

Encontrar la matriz inversa usando una matriz de complementos algebraicos.

Propiedades de una matriz inversa.

Encontrar la matriz inversa mediante el método de Gauss-Jordan.

Encontrar los elementos de la matriz inversa resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Matriz inversa - definición.

El concepto de matriz inversa se introduce solo para matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero, es decir, para matrices cuadradas no singulares.

Definición.

Matrizllamada inversa de una matriz, cuyo determinante es distinto de cero si las igualdades son verdaderas , Dónde mi– matriz de orden unitario norte en norte.

Encontrar la matriz inversa usando una matriz de complementos algebraicos.

¿Cómo encontrar la matriz inversa de una determinada?

Primero, necesitamos los conceptos. matriz transpuesta, matriz menor y complemento algebraico de un elemento matricial.

Definición.

Menorkth orden matrices A orden metro en norte es el determinante de la matriz de orden k en k, que se obtiene de los elementos de la matriz. A ubicado en el seleccionado k líneas y k columnas. ( k no excede el número más pequeño metro o norte).

Menor (n-1)ésimo orden, que se compone de elementos de todas las filas excepto i-ésimo y todas las columnas excepto jth, matriz cuadrada A orden norte en norte denotémoslo como .

En otras palabras, el menor se obtiene de una matriz cuadrada. A orden norte en norte tachando elementos i-ésimo líneas y jth columna.

Por ejemplo, escribamos, menor. 2do orden, que se obtiene de la matriz seleccionando elementos de su segunda, tercera fila y primera, tercera columna . También mostraremos el menor, que se obtiene de la matriz. tachando la segunda línea y la tercera columna . Ilustremos la construcción de estos menores: y .

Definición.

Complemento algebraico elemento de una matriz cuadrada se llama menor (n-1)ésimo orden, que se obtiene de la matriz A, tachando elementos del mismo i-ésimo líneas y jth columna multiplicada por .

El complemento algebraico de un elemento se denota como. De este modo, .

Por ejemplo, para la matriz el complemento algebraico de un elemento es.

En segundo lugar, necesitaremos dos propiedades del determinante, que analizamos en la sección calcular el determinante de una matriz:

Con base en estas propiedades del determinante, la definición operaciones de multiplicar una matriz por un número y el concepto de matriz inversa es cierto: , donde es una matriz transpuesta cuyos elementos son complementos algebraicos.

Matriz es de hecho la inversa de la matriz A, ya que las igualdades se satisfacen . vamos a mostrarlo

vamos a componer algoritmo para encontrar la matriz inversa usando la igualdad .

Veamos el algoritmo para encontrar la matriz inversa usando un ejemplo.

Ejemplo.

Dada una matriz . Encuentra la matriz inversa.

Solución.

Calculemos el determinante de la matriz. A, descomponiéndolo en los elementos de la tercera columna:

El determinante es distinto de cero, por lo que la matriz A reversible.

Encontremos una matriz a partir de sumas algebraicas:

Es por eso

Transpongamos la matriz a partir de sumas algebraicas:

Ahora encontramos la matriz inversa como :

Comprobemos el resultado:

Igualdades se satisfacen, por lo tanto, la matriz inversa se encuentra correctamente.

Propiedades de una matriz inversa.

El concepto de matriz inversa, igualdad. , las definiciones de operaciones sobre matrices y propiedades del determinante de una matriz permiten justificar lo siguiente propiedades de la matriz inversa:

Encontrar los elementos de la matriz inversa resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Consideremos otra forma de encontrar la matriz inversa de una matriz cuadrada. A orden norte en norte.

Este método se basa en la solución. norte sistemas de ecuaciones algebraicas lineales no homogéneas con norte desconocido. Las variables desconocidas en estos sistemas de ecuaciones son los elementos de la matriz inversa.

La idea es muy simple. Denotemos la matriz inversa como incógnita, eso es, . Dado que por definición de la matriz inversa, entonces

Igualando los elementos correspondientes por columnas, obtenemos norte sistemas de ecuaciones lineales

Los resolvemos de cualquier forma y formamos una matriz inversa a partir de los valores encontrados.

Veamos este método con un ejemplo.

Ejemplo.

Dada una matriz . Encuentra la matriz inversa.

Solución.

aceptemos . La igualdad nos da tres sistemas de ecuaciones algebraicas lineales no homogéneas:

No describiremos la solución a estos sistemas si es necesario, consulte la sección; resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Del primer sistema de ecuaciones tenemos, del segundo - , del tercero - . Por lo tanto, la matriz inversa requerida tiene la forma . Recomendamos comprobarlo para asegurarnos de que el resultado es correcto.

Resumamos.

Analizamos el concepto de matriz inversa, sus propiedades y tres métodos para encontrarla.

Ejemplo de soluciones utilizando el método de la matriz inversa.

Tarea 1. Resuelva SLAE utilizando el método de matriz inversa. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

comienzo de la forma

Fin del formulario

Solución. Escribamos la matriz en la forma: Vector B: B T = (1,2,3,4) Determinante principal Menor para (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Menor para (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Menor para (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Menor para (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Determinante de ∆ menor = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Matriz transpuesta Sumas algebraicas ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4 -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Matriz inversa Vector de resultados X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

ver también soluciones de SLAE utilizando el método de matriz inversa en línea. Para ello, ingresa tus datos y recibe una solución con comentarios detallados.

Tarea 2. Escribe el sistema de ecuaciones en forma matricial y resuélvelo usando la matriz inversa. Verifique la solución resultante. Solución:XML:xls

Ejemplo 2. Escribe el sistema de ecuaciones en forma matricial y resuélvelo usando la matriz inversa. Solución:XML:xls

Ejemplo. Se da un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Requerido: 1) encontrar su solución usando Fórmulas de Cramer; 2) escribir el sistema en forma matricial y resolverlo usando cálculo matricial. Recomendaciones metódicas. Después de resolver mediante el método de Cramer, busque el botón "Resolver mediante el método de matriz inversa para datos de origen". Recibirá la solución adecuada. Así, no tendrás que volver a rellenar los datos. Solución. Denotemos por A la matriz de coeficientes para incógnitas; X - matriz-columna de incógnitas; B - columna-matriz de miembros libres:

Vector B: B T =(4,-3,-3) Teniendo en cuenta estas notaciones, este sistema de ecuaciones toma la siguiente forma matricial: A*X = B. Si la matriz A es no singular (su determinante es distinto de cero , entonces tiene una matriz inversa A -1. Multiplicando ambos lados de la ecuación por A -1, obtenemos: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. Notación matricial de la solución de un sistema de ecuaciones lineales.. Para encontrar una solución al sistema de ecuaciones, es necesario calcular la matriz inversa A -1. El sistema tendrá solución si el determinante de la matriz A es distinto de cero. Encontremos el principal determinante. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Entonces, determinante 14 ≠ 0, entonces tenemos continuar con la solución. Para ello, encontramos la matriz inversa mediante sumas algebraicas. Tengamos una matriz A no singular:

Calculamos complementos algebraicos.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

XT =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Examen. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:XML:xls Respuesta: -1,1,2.

La matriz $A^(-1)$ se llama inversa de la matriz cuadrada $A$ si se cumple la condición $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, donde $E $ es la matriz identidad, cuyo orden es igual al orden de la matriz $A$.

Una matriz no singular es una matriz cuyo determinante no es igual a cero. En consecuencia, una matriz singular es aquella cuyo determinante es igual a cero.

La matriz inversa $A^(-1)$ existe si y solo si la matriz $A$ no es singular. Si la matriz inversa $A^(-1)$ existe, entonces es única.

Hay varias formas de encontrar la inversa de una matriz y veremos dos de ellas. Esta página analizará el método de matriz adjunta, que se considera estándar en la mayoría de los cursos superiores de matemáticas. En la segunda parte se analiza el segundo método para encontrar la matriz inversa (el método de transformaciones elementales), que implica el uso del método de Gauss o el método de Gauss-Jordan.

Método de matriz adjunta

Sea la matriz $A_(n\times n)$. Para encontrar la matriz inversa $A^(-1)$, se requieren tres pasos:

1. Encuentre el determinante de la matriz $A$ y asegúrese de que $\Delta A\neq 0$, es decir esa matriz A es no singular.
2. Componga complementos algebraicos $A_(ij)$ de cada elemento de la matriz $A$ y escriba la matriz $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ a partir del algebraico encontrado. complementos.
3. Escribe la matriz inversa teniendo en cuenta la fórmula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

La matriz $(A^(*))^T$ a menudo se denomina adjunta (recíproca, aliada) a la matriz $A$.

Si la solución se realiza manualmente, entonces el primer método es bueno solo para matrices de órdenes relativamente pequeños: segundo (), tercero (), cuarto (). Para encontrar la inversa de una matriz de orden superior, se utilizan otros métodos. Por ejemplo, el método gaussiano, que se analiza en la segunda parte.

Ejemplo No. 1

Encuentre la inversa de la matriz $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dado que todos los elementos de la cuarta columna son iguales a cero, entonces $\Delta A=0$ (es decir, la matriz $A$ es singular). Dado que $\Delta A=0$, no existe una matriz inversa a la matriz $A$.

Ejemplo No. 2

Encuentre la inversa de la matriz $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Usamos el método de matriz adjunta. Primero, encontremos el determinante de la matriz $A$ dada:

$$ \Delta A=\izquierda| \begin(array) (cc) -5 y 7\\ 9 y 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Dado que $\Delta A \neq 0$, entonces existe la matriz inversa, por lo tanto continuaremos con la solución. Encontrar complementos algebraicos

\begin(alineado) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(alineado)

Componemos una matriz de sumas algebraicas: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponemos la matriz resultante: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (la La matriz resultante a menudo se denomina matriz adjunta o aliada de la matriz $A$). Usando la fórmula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, tenemos:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 y 7/103\\ 9/103 y 5/103 \end(array)\right) $$

Entonces, se encuentra la matriz inversa: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\derecha) $. Para comprobar la verdad del resultado, basta comprobar la verdad de una de las igualdades: $A^(-1)\cdot A=E$ o $A\cdot A^(-1)=E$. Comprobemos la igualdad $A^(-1)\cdot A=E$. Para trabajar menos con fracciones, sustituiremos la matriz $A^(-1)$ que no esté en la forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, y en la forma $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(matriz )\right)$:

Respuesta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 y 7/103\\ 9/103 y 5/103 \end(array)\right)$.

Ejemplo No. 3

Encuentre la matriz inversa para la matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

Comencemos calculando el determinante de la matriz $A$. Entonces, el determinante de la matriz $A$ es:

$$ \Delta A=\izquierda| \begin(array) (ccc) 1 y 7 y 3 \\ -4 y 9 y 4 \\ 0 y 3 y 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Como $\Delta A\neq 0$, entonces la matriz inversa existe, por lo tanto continuaremos con la solución. Encontramos los complementos algebraicos de cada elemento de una matriz dada:

Elaboramos una matriz de sumas algebraicas y la transponemos:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 y 8 y -12 \\ -5 y 2 y -3 \\ 1 y -16 y 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Usando la fórmula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obtenemos:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 y 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 y -5/26 y 1/26 \\ 4/13 y 1/13 y -8/13 \ \ -6/13 y -3/26 y 37/26 \end(array) \right) $$

Entonces $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 y -5/26 y 1/26 \\ 4/13 y 1/13 y -8/13 \\ - 6 /13 y -3/26 y 37/26 \end(array) \right)$. Para comprobar la verdad del resultado, basta comprobar la verdad de una de las igualdades: $A^(-1)\cdot A=E$ o $A\cdot A^(-1)=E$. Comprobemos la igualdad $A\cdot A^(-1)=E$. Para trabajar menos con fracciones, sustituiremos la matriz $A^(-1)$ que no esté en la forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, y en la forma $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

La verificación fue exitosa, la matriz inversa $A^(-1)$ se encontró correctamente.

Respuesta: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 y -5/26 y 1/26 \\ 4/13 y 1/13 y -8/13 \\ -6 /13 y -3/26 y 37/26 \end(array) \right)$.

Ejemplo No. 4

Encuentre la matriz inversa de la matriz $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Para una matriz de cuarto orden, encontrar la matriz inversa mediante sumas algebraicas es algo difícil. Sin embargo, estos ejemplos ocurren en los exámenes.

Para encontrar la inversa de una matriz, primero debes calcular el determinante de la matriz $A$. La mejor manera de hacerlo en esta situación es expandir el determinante a lo largo de una fila (columna). Seleccionamos cualquier fila o columna y encontramos los complementos algebraicos de cada elemento de la fila o columna seleccionada.

Normalmente, las operaciones inversas se utilizan para simplificar expresiones algebraicas complejas. Por ejemplo, si el problema involucra la operación de dividir por una fracción, puedes reemplazarla con la operación de multiplicar por el recíproco de una fracción, que es la operación inversa. Además, las matrices no se pueden dividir, por lo que es necesario multiplicarlas por la matriz inversa. Calcular la inversa de una matriz de 3x3 es bastante tedioso, pero debes poder hacerlo manualmente. También puedes encontrar el recíproco usando una buena calculadora gráfica.

Pasos

Usando la matriz adjunta

Transponer la matriz original. La transposición es la sustitución de filas por columnas con respecto a la diagonal principal de la matriz, es decir, es necesario intercambiar los elementos (i,j) y (j,i). En este caso, los elementos de la diagonal principal (comienza en la esquina superior izquierda y termina en la esquina inferior derecha) no cambian.

• Para cambiar filas a columnas, escriba los elementos de la primera fila en la primera columna, los elementos de la segunda fila en la segunda columna y los elementos de la tercera fila en la tercera columna. El orden de cambio de posición de los elementos se muestra en la figura, en la que los elementos correspondientes están rodeados con círculos de colores.

Encuentra la definición de cada matriz de 2x2. Cada elemento de cualquier matriz, incluida una transpuesta, está asociado con una matriz de 2x2 correspondiente. Para encontrar una matriz de 2x2 que corresponda a un elemento específico, tache la fila y la columna en las que se encuentra el elemento dado, es decir, debe tachar cinco elementos de la matriz de 3x3 original. Quedarán sin cruzar cuatro elementos, que son elementos de la matriz 2x2 correspondiente.

• Por ejemplo, para encontrar una matriz de 2x2 para el elemento que se encuentra en la intersección de la segunda fila y la primera columna, tacha los cinco elementos que están en la segunda fila y la primera columna. Los cuatro elementos restantes son elementos de la matriz 2x2 correspondiente.
• Encuentra el determinante de cada matriz de 2x2. Para ello, reste el producto de los elementos de la diagonal secundaria del producto de los elementos de la diagonal principal (ver figura).
• En Internet se puede encontrar información detallada sobre matrices de 2x2 correspondientes a elementos específicos de una matriz de 3x3.

Crea una matriz de cofactores. Escriba los resultados obtenidos anteriormente en forma de una nueva matriz de cofactores. Para hacer esto, escribe el determinante encontrado de cada matriz de 2x2 donde se ubicó el elemento correspondiente de la matriz de 3x3. Por ejemplo, si estás considerando una matriz de 2x2 para el elemento (1,1), escribe su determinante en la posición (1,1). Luego cambie los signos de los elementos correspondientes de acuerdo con un esquema determinado, que se muestra en la figura.

• Esquema de cambio de signo: el signo del primer elemento de la primera línea no cambia; se invierte el signo del segundo elemento de la primera línea; el signo del tercer elemento de la primera línea no cambia, y así línea por línea. Tenga en cuenta que los signos “+” y “-” que se muestran en el diagrama (ver figura) no indican que el elemento correspondiente será positivo o negativo. En este caso, el signo “+” indica que el signo del elemento no cambia y el signo “-” indica un cambio en el signo del elemento.
• Puede encontrar información detallada sobre las matrices de cofactores en Internet.
• De esta manera encontrará la matriz adjunta de la matriz original. A veces se le llama matriz conjugada compleja. Dicha matriz se denota como adj(M).

Divida cada elemento de la matriz adjunta por su determinante. El determinante de la matriz M se calculó desde el principio para comprobar que existe la matriz inversa. Ahora divide cada elemento de la matriz adjunta por este determinante. Escribe el resultado de cada operación de división donde se ubica el elemento correspondiente. De esta forma encontrarás la matriz inversa a la original.

• El determinante de la matriz que se muestra en la figura es 1. Así, aquí la matriz adjunta es la matriz inversa (porque cuando cualquier número se divide por 1, no cambia).
• En algunas fuentes, la operación de división se reemplaza por la operación de multiplicación por 1/det(M). Sin embargo, el resultado final no cambia.

Escribe la matriz inversa. Escribe los elementos ubicados en la mitad derecha de la matriz grande como una matriz separada, que es la matriz inversa.

Ingrese la matriz original en la memoria de la calculadora. Para hacer esto, haga clic en el botón Matriz, si está disponible. Para una calculadora de Texas Instruments, es posible que deba presionar los botones 2nd y Matrix.

Seleccione el menú Editar. Haga esto usando los botones de flecha o el botón de función apropiado ubicado en la parte superior del teclado de la calculadora (la ubicación del botón varía según el modelo de calculadora).

Introduzca la notación matricial. La mayoría de las calculadoras gráficas pueden trabajar con entre 3 y 10 matrices, que pueden designarse con las letras A-J. Normalmente, simplemente seleccione [A] para designar la matriz original. Luego presione el botón Entrar.

Introduzca el tamaño de la matriz. Este artículo habla de matrices 3x3. Pero las calculadoras gráficas pueden funcionar con matrices grandes. Ingrese el número de filas, presione el botón Enter, luego ingrese el número de columnas y presione el botón Enter nuevamente.

Introduzca cada elemento de la matriz. Se mostrará una matriz en la pantalla de la calculadora. Si previamente ingresó una matriz en la calculadora, aparecerá en la pantalla. El cursor resaltará el primer elemento de la matriz. Ingrese el valor para el primer elemento y presione Enter. El cursor se moverá automáticamente al siguiente elemento de la matriz.

Para cualquier matriz A no singular existe una matriz única A -1 tal que

A*A -1 =A -1 *A = E,

donde E es la matriz identidad del mismo orden que A. La matriz A -1 se llama inversa de la matriz A.

Por si alguien lo olvidó, en la matriz identidad, excepto la diagonal llena de unos, todas las demás posiciones se llenan con ceros, un ejemplo de matriz identidad:

Encontrar la matriz inversa usando el método de matriz adjunta

La matriz inversa está definida por la fórmula:

donde A ij - elementos a ij.

Aquellos. Para calcular la matriz inversa, es necesario calcular el determinante de esta matriz. Luego encuentra los complementos algebraicos para todos sus elementos y compone una nueva matriz a partir de ellos. A continuación necesitas transportar esta matriz. Y divide cada elemento de la nueva matriz por el determinante de la matriz original.

Veamos algunos ejemplos.

Encuentre A -1 para una matriz

Solución Encontremos A -1 usando el método de matriz adjunta. Tenemos det A = 2. Encontremos los complementos algebraicos de los elementos de la matriz A. En este caso, los complementos algebraicos de los elementos de la matriz serán los elementos correspondientes de la propia matriz, tomados con signo de acuerdo con la fórmula

Tenemos A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formamos la matriz adjunta

Transportamos la matriz A*:

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:

Obtenemos:

Utilizando el método de matriz adjunta, encuentre A -1 si

Solución. En primer lugar, calculamos la definición de esta matriz para verificar la existencia de la matriz inversa. Tenemos

Aquí sumamos a los elementos de la segunda fila los elementos de la tercera fila, previamente multiplicados por (-1), y luego ampliamos el determinante de la segunda fila. Dado que la definición de esta matriz es diferente de cero, entonces existe su matriz inversa. Para construir la matriz adjunta, encontramos los complementos algebraicos de los elementos de esta matriz. Tenemos

Según la fórmula

matriz de transporte A*:

Luego según la fórmula

Encontrar la matriz inversa usando el método de transformaciones elementales.

Además del método para encontrar la matriz inversa, que se desprende de la fórmula (el método de la matriz adjunta), existe un método para encontrar la matriz inversa, llamado método de transformaciones elementales.

Transformaciones matriciales elementales

Las siguientes transformaciones se denominan transformaciones matriciales elementales:

1) reordenamiento de filas (columnas);

2) multiplicar una fila (columna) por un número distinto de cero;

3) sumar a los elementos de una fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna), previamente multiplicados por un número determinado.

Para encontrar la matriz A -1, construimos una matriz rectangular B = (A|E) de órdenes (n; 2n), asignando a la matriz A de la derecha la matriz identidad E mediante una línea divisoria:

Veamos un ejemplo.

Usando el método de transformaciones elementales, encuentre A -1 si

Solución. Formamos la matriz B:

Denotamos las filas de la matriz B por α 1, α 2, α 3. Realicemos las siguientes transformaciones en las filas de la matriz B.