Expectativa matemática de una variable aleatoria continua. Solución de ejemplo. Variables aleatorias discretas
9. Variable aleatoria continua, sus características numéricas.
Una variable aleatoria continua se puede especificar mediante dos funciones. Función de distribución de probabilidad integral de la variable aleatoria X se llama función definida por la igualdad 
.
La función integral proporciona una forma general de especificar variables aleatorias tanto discretas como continuas. En el caso de una variable aleatoria continua. Todos los eventos: tienen la misma probabilidad, igual al incremento de la función integral en este intervalo, es decir. Por ejemplo, para la variable aleatoria discreta especificada en el ejemplo 26, tenemos:
Así, la gráfica de la función integral de la función considerada es la unión de dos rayos y tres segmentos paralelos al eje Ox.
Ejemplo 27. La variable aleatoria continua X está especificada por la función de distribución de probabilidad integral
.
Construya una gráfica de la función integral y encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, la variable aleatoria X tome un valor en el intervalo (0,5;1,5).
Solución. en el intervalo 
la gráfica es la recta y = 0. En el intervalo de 0 a 2 hay una parábola dada por la ecuación 
. en el intervalo 
La gráfica es la recta y = 1.
La probabilidad de que la variable aleatoria X como resultado de la prueba tome un valor en el intervalo (0,5;1,5) se calcula mediante la fórmula.
De este modo, .
Propiedades de la función de distribución de probabilidad integral:
Es conveniente definir la ley de distribución de una variable aleatoria continua usando otra función, a saber, función de densidad de probabilidad
.
La probabilidad de que el valor asumido por la variable aleatoria X caiga dentro del intervalo 
, está determinada por la igualdad 
.
La gráfica de una función se llama curva de distribución. Geométricamente, la probabilidad de que una variable aleatoria X caiga en el intervalo es igual al área del trapecio curvilíneo correspondiente delimitado por la curva de distribución, el eje Ox y las líneas rectas. 
.
Propiedades de la función de densidad de probabilidad:
9.1. Características numéricas de variables aleatorias continuas.
Expectativa(valor medio) de una variable aleatoria continua X está determinado por la igualdad 
.
M(X) se denota por A. La expectativa matemática de una variable aleatoria continua tiene propiedades similares a las de una variable discreta:
Diferencia La variable aleatoria discreta X es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática, es decir . Para una variable aleatoria continua, la varianza viene dada por la fórmula 
.
La dispersión tiene las siguientes propiedades:
La última propiedad es muy conveniente de utilizar para encontrar la varianza de una variable aleatoria continua.
El concepto de desviación estándar se introduce de manera similar. La desviación estándar de la continua La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza, es decir 
.
Ejemplo 28. Una variable aleatoria continua X está especificada por una función de densidad de probabilidad 
en el intervalo (10;12), fuera de este intervalo el valor de la función es 0. Encuentre 1) el valor del parámetro A, 2) expectativa matemática M(X), varianza 
, desviación estándar, 3) función integral 
y construir gráficas de funciones integrales y diferenciales.
1). Para encontrar el parámetro A usa la fórmula 
. Lo conseguiremos. De este modo, 
.
2). Para encontrar la expectativa matemática, usamos la fórmula: , de donde se deduce que 
.
Encontraremos la varianza usando la fórmula: 
, es decir. .
Encontremos la desviación estándar usando la fórmula: , de donde obtenemos que 
.
3). La función integral se expresa mediante la función de densidad de probabilidad de la siguiente manera: 
. Por eso, 
en 
, = 0 en 
tu = 1 en 
.
Las gráficas de estas funciones se presentan en la Fig. 4. y fig. 5.
Fig.4 Fig.5.
9.2. Distribución de probabilidad uniforme de una variable aleatoria continua
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X igualmente en el intervalo si su densidad de probabilidad es constante en este intervalo e igual a cero fuera de este intervalo, es decir . Es fácil demostrar que en este caso 
.
Si el intervalo 
está contenido en el intervalo, entonces 
.
Ejemplo 29. Un evento de señal instantáneo debe ocurrir entre la una y las cinco de la mañana. El tiempo de espera de la señal es una variable aleatoria X. Encuentre la probabilidad de que la señal sea detectada entre las dos y las tres de la tarde.
Solución. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme, y usando la fórmula encontramos que la probabilidad de que la señal sea entre las 2 y las 3 de la tarde es igual a 
.
En la literatura educativa y de otro tipo, a menudo se los denota mediante 
.
9.3. Distribución de probabilidad normal de una variable aleatoria continua
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua se llama normal si su ley de distribución de probabilidad está determinada por la densidad de probabilidad. 
. Para tales cantidades A– expectativa matemática, 
- desviación estándar.
Teorema. Probabilidad de que una variable aleatoria continua distribuida normalmente caiga en un intervalo dado 
determinado por la fórmula 
, Dónde 
- Función de Laplace.
Una consecuencia de este teorema es la regla de tres sigma, es decir Es casi seguro que una variable aleatoria continua X, normalmente distribuida, toma sus valores en el intervalo 
. Esta regla se puede derivar de la fórmula 
, que es un caso especial del teorema formulado.
Ejemplo 30. La vida útil del televisor es una variable aleatoria X, sujeta a la ley de distribución normal, con un período de garantía de 15 años y una desviación estándar de 3 años. Encuentre la probabilidad de que el televisor dure de 10 a 20 años.
Solución. Según las condiciones del problema, la expectativa matemática A= 15, desviación estándar.
encontremos . Por tanto, la probabilidad de que el televisor funcione entre 10 y 20 años es superior a 0,9.
9.4. La desigualdad de Chebyshev
tiene lugar El lema de Chebyshev. Si una variable aleatoria X toma solo valores no negativos y tiene una expectativa matemática, entonces para cualquier positivo V
.
Considerando que , como suma de las probabilidades de eventos opuestos, obtenemos que 
.
El teorema de Chebyshev. Si la variable aleatoria X tiene varianza finita 
y expectativa matemática M(X), entonces para cualquier positivo 
la desigualdad es cierta
.
De donde se sigue que 
.
Ejemplo 31. Se ha producido un lote de piezas. La longitud promedio de las piezas es de 100 cm y la desviación estándar es de 0,4 cm. Calcule a continuación la probabilidad de que la longitud de una pieza tomada al azar sea de al menos 99 cm. y no más de 101 cm.
Solución. Diferencia. La expectativa matemática es 100. Por lo tanto, para estimar desde abajo la probabilidad del evento en cuestión 
apliquemos la desigualdad de Chebyshev, en la que 
, Entonces 
.
10. Elementos de la estadística matemática.
Agregado estadístico nombrar un conjunto de objetos o fenómenos homogéneos. Número norte elementos de este conjunto se denomina volumen de la colección. Valores observados 
El rasgo X se llama opciones. Si las opciones se ordenan en secuencia creciente, entonces obtenemos serie de variación discreta. En el caso de agrupar, la opción por intervalos resulta ser serie de variación de intervalo. Bajo frecuencia t Los valores característicos comprenden el número de miembros de la población con una variante determinada.
La relación entre la frecuencia y el volumen de una población estadística se llama frecuencia relativa firmar: 
.
La relación entre las variantes de una serie de variaciones y sus frecuencias se llama distribución estadística de la muestra. Se puede obtener una representación gráfica de la distribución estadística. polígono frecuencia
Ejemplo 32. Al encuestar a 25 estudiantes de primer año se obtuvieron los siguientes datos sobre su edad: 
. Compile una distribución estadística de los estudiantes por edad, encuentre el rango de variación, construya un polígono de frecuencias y compile una serie de distribuciones de frecuencias relativas.
Solución. Utilizando los datos obtenidos de la encuesta, crearemos una distribución estadística de la muestra.
|
El rango de la muestra de variación es 23 – 17 = 6. Para construir un polígono de frecuencia, construya puntos con coordenadas 
y conectarlos en serie.
La serie de distribución de frecuencia relativa tiene la forma:
|
10.1.Características numéricas de la serie de variación.
Sea la muestra dada por una serie de distribuciones de frecuencia de la característica X:
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||
|
|
|
La suma de todas las frecuencias es igual. pag.
Media aritmética de la muestra. nombra la cantidad 
.
Diferencia o la medida de dispersión de los valores de una característica X con relación a su media aritmética se llama valor 
. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es decir .
La relación entre la desviación estándar y la media aritmética de la muestra, expresada como porcentaje, se llama coeficiente de variación:
.
Función empírica de distribución de frecuencia relativa. llamar a una función que determina para cada valor la frecuencia relativa del evento 
, es decir. 
, Dónde 
- número de opciones, más pequeño incógnita, A norte– tamaño de la muestra.
Ejemplo 33. En las condiciones del ejemplo 32, encuentre las características numéricas. 
.
Solución. Encontremos la media aritmética de la muestra usando la fórmula, entonces .
La varianza del rasgo X se encuentra mediante la fórmula: , es decir . La desviación estándar de la muestra es 
. El coeficiente de variación es 
.
10.2. Estimación de probabilidad por frecuencia relativa. Intervalo de confianza
Que se lleve a cabo norte ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de ocurrencia del evento A es constante e igual a r. En este caso, la probabilidad de que la frecuencia relativa difiera de la probabilidad de que ocurra el evento A en cada prueba en valor absoluto no es más que aproximadamente igual al doble del valor de la función integral de Laplace: 
.
Estimación de intervalo Llame a una estimación de este tipo, que está determinada por dos números que son los extremos del intervalo que cubre el parámetro estimado de la población estadística.
Intervalo de confianza
es un intervalo que, con una probabilidad de confianza dada 
cubre el parámetro estimado de la población estadística. Considerando la fórmula en la que reemplazamos la cantidad desconocida. r a su valor aproximado 
obtenidos de los datos de la muestra, obtenemos: 
. Esta fórmula se utiliza para estimar la probabilidad por frecuencia relativa. Números 
Y 
llamado inferior y, respectivamente, superior límites de confianza, - el error máximo para una probabilidad de confianza dada 
.
Ejemplo 34. El taller de la fábrica produce bombillas. Al revisar 625 lámparas, se encontró que 40 estaban defectuosas. Encuentre, con una probabilidad de confianza de 0,95, los límites dentro de los cuales se encuentra el porcentaje de bombillas defectuosas producidas por el taller de la fábrica.
Solución. Según las condiciones de la tarea. Usamos la fórmula 
. Utilizando la Tabla 2 del apéndice, encontramos el valor del argumento, en el que el valor de la función integral de Laplace es igual a 0,475. lo entendemos 
. De este modo, . Por tanto, podemos decir con una probabilidad de 0,95 que la proporción de defectos producidos por el taller es alta, es decir, varía del 6,2% al 6,6%.
10.3. Estimación de parámetros en estadística
Sea la característica cuantitativa X de toda la población objeto de estudio (población general) una distribución normal.
Si se conoce la desviación estándar, entonces el intervalo de confianza que cubre la expectativa matemática A 
, Dónde norte– tamaño de la muestra, 
- media aritmética de muestra, t es el argumento de la función integral de Laplace, en la que 
. En este caso el número 
llamado exactitud de la estimación.
Si se desconoce la desviación estándar, entonces a partir de los datos de la muestra es posible construir una variable aleatoria que tenga una distribución de Student con norte– 1 grado de libertad, que está determinado por un solo parámetro norte y no depende de incógnitas A Y . Distribución t de Student incluso para muestras pequeñas 
da valoraciones bastante satisfactorias. Entonces el intervalo de confianza que cubre la expectativa matemática A de esta característica con una probabilidad de confianza dada se encuentra a partir de la condición 
, donde S es el cuadrado medio corregido, 
- Coeficiente de Student, encontrado a partir de los datos. 
del cuadro 3 del apéndice.
El intervalo de confianza que cubre la desviación estándar de esta característica con una probabilidad de confianza se encuentra mediante las fórmulas: y , donde 
encontrado en la tabla de valores q
según datos.
10.4. Métodos estadísticos para estudiar dependencias entre variables aleatorias.
La dependencia de correlación de Y con X es la dependencia funcional del promedio condicional 
de INCÓGNITA. Ecuación 
representa la ecuación de regresión de Y sobre X, y 
- ecuación de regresión de X sobre Y.
La dependencia de la correlación puede ser lineal o curvilínea. En el caso de una dependencia de correlación lineal, la ecuación de la recta de regresión tiene la forma: 
, donde la pendiente A La línea recta de regresión Y sobre X se denomina coeficiente de regresión muestral Y sobre X y se denota 
.
Para muestras pequeñas, los datos no están agrupados, los parámetros 
se encuentran usando el método de mínimos cuadrados del sistema de ecuaciones normales:
, Dónde norte– número de observaciones de valores de pares de cantidades interrelacionadas.
Coeficiente de correlación lineal de muestra 
muestra la estrecha relación entre Y y X. El coeficiente de correlación se encuentra usando la fórmula 
, y 
, a saber:
La ecuación de muestra de la recta de regresión Y sobre X tiene la forma:
.
Con una gran cantidad de observaciones de las características X e Y, se compila una tabla de correlación con dos entradas, con el mismo valor. incógnita observado 
veces, mismo significado en observado 
veces, mismo par 
observado 
una vez.
Ejemplo 35. Se proporciona una tabla de observaciones de los signos X e Y.
|
Encuentre la ecuación de muestra de la recta de regresión Y sobre X.
Solución. La relación entre las características estudiadas se puede expresar mediante la ecuación de una regresión en línea recta de Y sobre X: . Para calcular los coeficientes de la ecuación, creemos una tabla de cálculo:
Observación no. |
|
|
||
Capítulo 1. Variable aleatoria discreta
§ 1. Conceptos de variable aleatoria.
Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.
Definición : Aleatorio es una cantidad que, como resultado de una prueba, toma solo un valor de un conjunto posible de sus valores, desconocido de antemano y que depende de razones aleatorias.
Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas.
Definición : La variable aleatoria X se llama discreto (discontinuo) si el conjunto de sus valores es finito o infinito pero contable.
En otras palabras, se pueden renumerar los posibles valores de una variable aleatoria discreta.
Una variable aleatoria se puede describir utilizando su ley de distribución.
Definición : Ley de distribución de una variable aleatoria discreta. llame a la correspondencia entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades.
La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X se puede especificar en forma de tabla, en la primera fila de la cual se indican todos los valores posibles de la variable aleatoria en orden ascendente, y en la segunda fila las probabilidades correspondientes de estos. valores, es decir
donde р1+ р2+…+ рn=1
Esta tabla se denomina serie de distribución de una variable aleatoria discreta.
Si el conjunto de valores posibles de una variable aleatoria es infinito, entonces la serie p1+ p2+…+ pn+… converge y su suma es igual a 1.
La ley de distribución de una variable aleatoria discreta X se puede representar gráficamente, para lo cual se construye una línea discontinua en un sistema de coordenadas rectangular, conectando secuencialmente puntos con coordenadas (xi; pi), i=1,2,…n. La línea resultante se llama polígono de distribución (Figura 1).
Química orgánica" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">química orgánica son 0,7 y 0,8, respectivamente. Elabora una ley de distribución para la variable aleatoria X: el número de exámenes que aprobará el estudiante.
Solución. La variable aleatoria X considerada como resultado del examen puede tomar uno de los siguientes valores: x1=0, x2=1, x3=2.
Encontremos la probabilidad de estos valores. Denotemos los eventos:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Entonces, la ley de distribución de la variable aleatoria X viene dada por la tabla:
Control: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Función de distribución
La función de distribución también proporciona una descripción completa de una variable aleatoria.
Definición: Función de distribución de una variable aleatoria discreta X se llama función F(x), que determina para cada valor x la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor que x:
F(x)=P(X)<х)
Geométricamente, la función de distribución se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor representado en la recta numérica por un punto que se encuentra a la izquierda del punto x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) es una función no decreciente en (-∞;+∞);
3) F(x) - continua a la izquierda en los puntos x= xi (i=1,2,...n) y continua en todos los demás puntos;
4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Si la ley de distribución de una variable aleatoria discreta X se da en forma de tabla:
entonces la función de distribución F(x) está determinada por la fórmula:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 para x≤ x1,
ð1 en x1< х≤ x2,
F(x)= ð1 + ð2 en x2< х≤ х3
1 para x>xn.
Su gráfico se muestra en la Fig. 2:
§ 3. Características numéricas de una variable aleatoria discreta.
Una de las características numéricas importantes es la expectativa matemática.
Definición: Expectativa matemática M(X) La variable aleatoria discreta X es la suma de los productos de todos sus valores y sus correspondientes probabilidades:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
La expectativa matemática sirve como característica del valor promedio de una variable aleatoria.
Propiedades de la expectativa matemática:
1)M(C)=C, donde C es un valor constante;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), donde X, Y son variables aleatorias independientes;
5)M(X±C)=M(X)±C, donde C es un valor constante;
Para caracterizar el grado de dispersión de los posibles valores de una variable aleatoria discreta alrededor de su valor medio, se utiliza la dispersión.
Definición: Diferencia D ( incógnita ) La variable aleatoria X es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática:
Propiedades de dispersión:
1)D(C)=0, donde C es un valor constante;
2)D(X)>0, donde X es una variable aleatoria;
3)D(C X)=C2 D(X), donde C es un valor constante;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), donde X, Y son variables aleatorias independientes;
Para calcular la varianza suele ser conveniente utilizar la fórmula:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
donde M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
La varianza D(X) tiene la dimensión de una variable aleatoria al cuadrado, lo que no siempre es conveniente. Por tanto, el valor √D(X) también se utiliza como indicador de la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria.
Definición: Desviación estándar σ(X) La variable aleatoria X se llama raíz cuadrada de la varianza:
Tarea número 2. La variable aleatoria discreta X está especificada por la ley de distribución:
Encuentre P2, la función de distribución F(x) y trace su gráfica, así como M(X), D(X), σ(X).
Solución: Dado que la suma de las probabilidades de los posibles valores de la variable aleatoria X es igual a 1, entonces
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Encontremos la función de distribución F(x)=P(X Geométricamente, esta igualdad se puede interpretar de la siguiente manera: F(x) es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor representado en el eje numérico por un punto que se encuentra a la izquierda del punto x. Si x≤-1, entonces F(x)=0, ya que no hay un solo valor de esta variable aleatoria en (-∞;x); Si -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Si 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) hay dos valores x1=-1 y x2=0; si 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; si 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Si x>3, entonces F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, porque cuatro valores x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 caen en el intervalo (-∞;x) y x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 en x≤-1, 0,1 a -1<х≤0, 0,2 en 0<х≤1, F(x)= 0,5 en 1<х≤2, 0,7 a 2<х≤3, 1 en x>3 Representemos gráficamente la función F(x) (Fig.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Ley de distribución binomial Variable aleatoria discreta, ley de Poisson. Definición: Binomio
se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta X: el número de ocurrencias del evento A en n ensayos repetidos independientes, en cada uno de los cuales el evento A puede ocurrir con probabilidad p o no ocurrir con probabilidad q = 1-p. Entonces P(X=m) - la probabilidad de que ocurra el evento A exactamente m veces en n ensayos se calcula usando la fórmula de Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m La esperanza matemática, la dispersión y la desviación estándar de una variable aleatoria X distribuida según una ley binaria se encuentran, respectivamente, mediante las fórmulas: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> La probabilidad del evento A - "sacar un cinco" en cada prueba es la misma e igual a 1/6 , es decir, P(A)=p=1/6, entonces P(A)=1-p=q=5/6, donde - “no obtener una A”. La variable aleatoria X puede tomar los siguientes valores: 0;1;2;3. Encontramos la probabilidad de cada uno de los valores posibles de X usando la fórmula de Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Eso. la ley de distribución de la variable aleatoria X tiene la forma: Controlar: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Encontremos las características numéricas de la variable aleatoria X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Tarea número 4. Una máquina automática estampa piezas. La probabilidad de que una pieza fabricada sea defectuosa es 0,002. Encuentre la probabilidad de que entre 1000 piezas seleccionadas haya: a) 5 defectuosos; b) al menos uno está defectuoso. Solución:
El número n=1000 es grande, la probabilidad de producir una pieza defectuosa p=0,002 es pequeña y los eventos considerados (la pieza resulta defectuosa) son independientes, por lo tanto, la fórmula de Poisson se cumple: Рn(m)= mi-
λ
m Encontremos λ=np=1000 0.002=2. a) Encuentre la probabilidad de que haya 5 piezas defectuosas (m=5): Р1000(5)= mi-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Encuentre la probabilidad de que haya al menos una pieza defectuosa. El evento A - "al menos una de las piezas seleccionadas está defectuosa" es lo opuesto al evento - "todas las piezas seleccionadas no están defectuosas". Por lo tanto, P(A) = 1-P(). Por tanto, la probabilidad deseada es igual a: P(A)=1-P1000(0)=1- mi-2
20
= 1-e-2=1-0.13534≈0.865. Tareas para el trabajo independiente.
1.1
1.2.
La variable aleatoria dispersa X está especificada por la ley de distribución: Encuentre p4, la función de distribución F(X) y trace su gráfica, así como M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Hay 9 marcadores en la caja, 2 de los cuales ya no escriben. Toma 3 marcadores al azar. La variable aleatoria X es el número de marcadores de escritura entre los tomados. Elaborar una ley de distribución de una variable aleatoria. 1.4.
Hay 6 libros de texto dispuestos al azar en un estante de la biblioteca, 4 de los cuales están encuadernados. El bibliotecario toma 4 libros de texto al azar. La variable aleatoria X es el número de libros de texto encuadernados entre los tomados. Elaborar una ley de distribución de una variable aleatoria. 1.5.
Hay dos tareas en el ticket. La probabilidad de resolver correctamente el primer problema es 0,9 y el segundo es 0,7. La variable aleatoria X es el número de problemas resueltos correctamente en el ticket. Elabore una ley de distribución, calcule la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria, y también encuentre la función de distribución F(x) y construya su gráfica. 1.6.
Tres tiradores disparan a un objetivo. La probabilidad de dar en el blanco con un solo disparo es de 0,5 para el primer tirador, de 0,8 para el segundo y de 0,7 para el tercero. La variable aleatoria X es el número de impactos en el objetivo si los tiradores disparan un tiro a la vez. Encuentre la ley de distribución, M(X),D(X). 1.7.
Un jugador de baloncesto lanza la pelota a la canasta con una probabilidad de acertar en cada tiro de 0,8. Por cada acierto, recibe 10 puntos y, si falla, no se le otorgan puntos. Elabora una ley de distribución para la variable aleatoria X: el número de puntos recibidos por un jugador de baloncesto en 3 tiros. Encuentre M(X),D(X), así como la probabilidad de que obtenga más de 10 puntos. 1.8.
En las tarjetas están escritas letras, un total de 5 vocales y 3 consonantes. Se eligen 3 cartas al azar y cada vez se devuelve la carta tomada. La variable aleatoria X es el número de vocales entre las tomadas. Trace una ley de distribución y encuentre M(X),D(X),σ(X). 1.9.
En promedio, en el 60% de los contratos, la compañía de seguros paga los montos del seguro en relación con la ocurrencia de un evento asegurado. Elabore una ley de distribución para la variable aleatoria X: el número de contratos por los cuales se pagó el monto del seguro entre cuatro contratos seleccionados al azar. Encuentra las características numéricas de esta cantidad. 1.10.
La estación de radio envía distintivos de llamada (no más de cuatro) a ciertos intervalos hasta que se establece una comunicación bidireccional. La probabilidad de recibir una respuesta a un distintivo de llamada es 0,3. La variable aleatoria X es el número de distintivos de llamada enviados. Trace una ley de distribución y encuentre F(x). 1.11.
Hay 3 llaves, de las cuales solo una encaja en la cerradura. Elaborar una ley para la distribución de la variable aleatoria X-número de intentos de abrir la cerradura, si la llave probada no participa en intentos posteriores. Encuentre M(X),D(X). 1.12.
Se llevan a cabo pruebas independientes consecutivas de tres dispositivos para determinar su confiabilidad. Cada dispositivo posterior se prueba solo si el anterior resultó ser confiable. La probabilidad de pasar la prueba para cada dispositivo es 0,9. Elabore una ley de distribución para la variable aleatoria número X de dispositivos probados. 1.13
.La variable aleatoria discreta X tiene tres valores posibles: x1=1, x2, x3 y x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
El bloque de dispositivos electrónicos contiene 100 elementos idénticos. La probabilidad de falla de cada elemento durante el tiempo T es 0.002. Los elementos funcionan de forma independiente. Encuentre la probabilidad de que no fallen más de dos elementos durante el tiempo T. 1.15.
El libro de texto se publicó con una tirada de 50.000 ejemplares. La probabilidad de que el libro de texto esté encuadernado incorrectamente es 0,0002. Encuentre la probabilidad de que la circulación contenga: a) cuatro libros defectuosos, b) menos de dos libros defectuosos. 1
.16.
El número de llamadas que llegan a la centralita cada minuto se distribuye según la ley de Poisson con el parámetro λ=1,5. Calcula la probabilidad de que en un minuto llegue lo siguiente: a) dos llamadas; b) al menos una llamada. 1.17.
Encuentre M(Z),D(Z) si Z=3X+Y. 1.18.
Se dan las leyes de distribución de dos variables aleatorias independientes: Encuentre M(Z),D(Z) si Z=X+2Y. Respuestas:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 en x≤-2, 0,3 a -2<х≤0, F(x)= 0,5 en 0<х≤2, 0,9 a 2<х≤5, 1 en x>5 0,3 a -1<х≤0, 0,4 en 0<х≤1, F(x)= 0,6 en 1<х≤2, 0,7 a 2<х≤3, 1 en x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 en x≤0, 0,03 en 0<х≤1, F(x)= 0,37 en 1<х≤2, 1 para x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; s(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" ancho="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; segundo) 0,00049 1.16.
a) 0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Capítulo 2. Variable aleatoria continua
Definición: Continuo
Llaman cantidad a todos los valores posibles de los cuales llenan completamente un lapso finito o infinito de la recta numérica. Evidentemente, el número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinito. Una variable aleatoria continua se puede especificar mediante una función de distribución. Definición: F función de distribución
una variable aleatoria continua X se llama función F(x), que determina para cada valor xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R La función de distribución a veces se denomina función de distribución acumulativa. Propiedades de la función de distribución:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Para una variable aleatoria continua, la función de distribución es continua en cualquier punto y diferenciable en todas partes, excepto, quizás, en puntos individuales. 3) La probabilidad de que una variable aleatoria X caiga en uno de los intervalos (a;b), [a;b], [a;b], es igual a la diferencia entre los valores de la función F(x) en los puntos a y b, es decir Real academia de bellas artes)<Х 4) La probabilidad de que una variable aleatoria continua X tome un valor separado es 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Especificar una variable aleatoria continua mediante una función de distribución no es la única forma. Introduzcamos el concepto de densidad de distribución de probabilidad (densidad de distribución). Definición
:
Densidad de distribución de probabilidad
F
(
incógnita
)
de una variable aleatoria continua X es la derivada de su función de distribución, es decir: La función de densidad de probabilidad a veces se denomina función de distribución diferencial o ley de distribución diferencial. La gráfica de la distribución de densidad de probabilidad f(x) se llama curva de distribución de probabilidad
.
Propiedades de la distribución de densidad de probabilidad:
1) f(x) ≥0, en xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 origen="> 0 en x≤2, f(x)= c(x-2) en 2<х≤6, 0 para x>6. Encuentre: a) el valor de c; b) función de distribución F(x) y trazarla; c) P(3≤x<5) Solución:
+
∞ a) Hallamos el valor de c a partir de la condición de normalización: ∫ f(x)dx=1. Por lo tanto, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x si 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" ancho="14" alto="62"> 0 en x≤2, F(x)= (x-2)2/16 en 2<х≤6, 1 para x>6. La gráfica de la función F(x) se muestra en la Fig. 3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 en x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π en 0<х≤√3, 1 para x>√3. Encuentre la función de distribución diferencial f(x) Solución:
Como f(x)= F’(x), entonces https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" ancho="118" alto="24"> Todas las propiedades de expectativa matemática y dispersión, analizadas anteriormente para variables aleatorias dispersas, también son válidas para variables continuas. Tarea número 3. La variable aleatoria X está especificada por la función diferencial f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> PAG(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemas para solución independiente.
2.1.
Una variable aleatoria continua X está especificada por la función de distribución: 0 en x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para x≤ π/6, F(x)= - cos 3x en π/6<х≤ π/3, 1 para x> π/3. Encuentre la función de distribución diferencial f(x), y también Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 en x≤2, f(x)= c x en 2<х≤4, 0 para x>4. 2.4.
Una variable aleatoria continua X está especificada por la densidad de distribución: 0 en x≤0, f(x)= c √x en 0<х≤1, 0 para x>1. Encuentre: a) número c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> en x, 0 en x. Encuentre: a) F(x) y construya su gráfica; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilidad de que en cuatro ensayos independientes el valor de X tome exactamente 2 veces el valor perteneciente al intervalo (1;4). 2.6.
La densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está dada: f(x)= 2(x-2) en x, 0 en x. Encuentre: a) F(x) y construya su gráfica; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilidad de que en tres ensayos independientes el valor de X tome exactamente 2 veces el valor perteneciente al segmento. 2.7.
La función f(x) viene dada por: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" ancho="43" alto="38 src=">.jpg" ancho="16" alto="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
La función f(x) viene dada por: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" ancho="45" alto="36 src="> .jpg" ancho="16" alto="15">[- π /4 ; π/4]. Encuentre: a) el valor de la constante c en el cual la función será la densidad de probabilidad de alguna variable aleatoria X; b) función de distribución F(x). 2.9.
La variable aleatoria X, concentrada en el intervalo (3;7), está especificada por la función de distribución F(x)= . Encuentre la probabilidad de que La variable aleatoria X tomará el valor: a) menos de 5, b) no menos de 7. 2.10.
Variable aleatoria X, concentrada en el intervalo (-1;4), viene dada por la función de distribución F(x)= . Encuentre la probabilidad de que La variable aleatoria X tomará el valor: a) menos de 2, b) no menos de 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Encuentre: a) el número c; b) M(X); c) probabilidad P(X> M(X)). 2.12.
La variable aleatoria está especificada por la función de distribución diferencial: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" ancho="60" alto="38 src=">.jpg" ancho="16 alto=15" alto="15"> . Encuentre: a) M(X); b) probabilidad P(X≤M(X)) 2.13.
La distribución Rem viene dada por la densidad de probabilidad: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> para x ≥0. Demuestre que f(x) es de hecho una función de densidad de probabilidad. 2.14.
La densidad de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está dada: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig.4) 2.16.
La variable aleatoria X se distribuye según la ley del “triángulo rectángulo” en el intervalo (0;4) (Fig. 5). Encuentre una expresión analítica para la densidad de probabilidad f(x) en toda la recta numérica. Respuestas
0 en x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x en π/6<х≤ π/3, 0 para x> π/3. Una variable aleatoria continua X tiene una ley de distribución uniforme en un cierto intervalo (a;b), que contiene todos los valores posibles de X, si la densidad de distribución de probabilidad f(x) es constante en este intervalo e igual a 0 fuera de él. , es decir. 0 para x≤a, f(x)= para un<х 0 para x≥b. La gráfica de la función f(x) se muestra en la Fig. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Tarea número 1. La variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el segmento. Encontrar: a) densidad de distribución de probabilidad f(x) y trazarla; b) la función de distribución F(x) y trazarla; c) M(X),D(X), σ(X). Solución:
Usando las fórmulas discutidas anteriormente, con a=3, b=7, encontramos: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> en 3≤х≤7, 0 para x>7 Construyamos su gráfica (Fig.3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 en x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 en x<0, f(x)= λе-λх para x≥0. La función de distribución de una variable aleatoria X, distribuida según la ley exponencial, viene dada por la fórmula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Por tanto, la expectativa matemática y la desviación estándar de la distribución exponencial son iguales entre sí. La probabilidad de que X caiga en el intervalo (a;b) se calcula mediante la fórmula: Pensilvania<Х Tarea número 2. El tiempo promedio de operación sin fallas del dispositivo es de 100 horas. Suponiendo que el tiempo de operación sin fallas del dispositivo tiene una ley de distribución exponencial, encuentre: a) densidad de distribución de probabilidad; b) función de distribución; c) la probabilidad de que el tiempo de funcionamiento sin fallos del dispositivo supere las 120 horas. Solución:
Según la condición, la distribución matemática M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 en x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x para x≥0. b) F(x)= 0 en x<0, 1-e -0,01x en x≥0. c) Encontramos la probabilidad deseada usando la función de distribución: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Ley de distribución normal Definición:
Una variable aleatoria continua X tiene ley de distribución normal (ley de Gauss),
si su densidad de distribución tiene la forma: donde m=M(X), σ2=D(X), σ>0. La curva de distribución normal se llama curva normal o gaussiana
(Figura 7) La función de distribución de una variable aleatoria X, distribuida según la ley normal, se expresa mediante la función de Laplace Ф (x) según la fórmula: ¿Dónde está la función de Laplace? Comentario:
La función Ф(x) es impar (Ф(-х)=-Ф(х)), además, para x>5 podemos suponer Ф(х) ≈1/2. La gráfica de la función de distribución F(x) se muestra en la Fig. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" ancho="218" alto="33"> La probabilidad de que el valor absoluto de la desviación sea menor que un número positivo δ se calcula mediante la fórmula: En particular, para m=0 se cumple la siguiente igualdad: "Regla Tres Sigma"
Si una variable aleatoria X tiene una ley de distribución normal con parámetros m y σ, entonces es casi seguro que su valor se encuentra en el intervalo (a-3σ; a+3σ), porque https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Usemos la fórmula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> De la tabla de valores de funciones Ф(х) encontramos Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Entonces, la probabilidad deseada: P(28 Tareas para el trabajo independiente.
3.1.
La variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el intervalo (-3;5). Encontrar: b) función de distribución F(x); c) características numéricas; d) probabilidad P(4<х<6). 3.2.
La variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el segmento. Encontrar: a) densidad de distribución f(x); b) función de distribución F(x); c) características numéricas; d) probabilidad P(3≤х≤6). 3.3.
En la carretera se instala un semáforo automático, en el que la luz verde está encendida durante 2 minutos para los vehículos, la amarilla durante 3 segundos y la roja durante 30 segundos, etc. Un automóvil circula por la carretera en un momento aleatorio. Encuentre la probabilidad de que un automóvil pase un semáforo sin detenerse. 3.4.
Los trenes de metro circulan regularmente a intervalos de 2 minutos. Un pasajero ingresa al andén en un momento aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar más de 50 segundos por un tren? Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria X: el tiempo de espera del tren. 3.5.
Encuentre la varianza y la desviación estándar de la distribución exponencial dada por la función de distribución: F(x)= 0 en x<0, 1º-8x para x≥0. 3.6.
Una variable aleatoria continua X está especificada por la densidad de distribución de probabilidad: f(x)= 0 en x<0, 0,7 e-0,7x en x≥0. a) Nombra la ley de distribución de la variable aleatoria considerada. b) Encuentre la función de distribución F(X) y las características numéricas de la variable aleatoria X. 3.7.
La variable aleatoria X se distribuye según la ley exponencial especificada por la densidad de distribución de probabilidad: f(x)= 0 en x<0, 0,4 e-0,4 x en x≥0. Encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, X tome un valor del intervalo (2,5;5). 3.8.
Una variable aleatoria continua X se distribuye según la ley exponencial especificada por la función de distribución: F(x)= 0 en x<0, 1º-0,6x en x≥0 Encuentre la probabilidad de que, como resultado de la prueba, X tome un valor del segmento. 3.9.
El valor esperado y la desviación estándar de una variable aleatoria distribuida normalmente son 8 y 2, respectivamente. a) densidad de distribución f(x); b) la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor del intervalo (10;14). 3.10.
La variable aleatoria X tiene una distribución normal con una expectativa matemática de 3,5 y una varianza de 0,04. Encontrar: a) densidad de distribución f(x); b) la probabilidad de que como resultado de la prueba X tome un valor del segmento. 3.11.
La variable aleatoria X se distribuye normalmente con M(X)=0 y D(X)=1. ¿Cuál de los eventos: |X|≤0.6 o |X|≥0.6 es más probable? 3.12.
La variable aleatoria X se distribuye normalmente con M(X)=0 y D(X)=1. ¿De qué intervalo (-0,5;-0,1) o (1;2) es más probable que tome un valor durante una prueba? 3.13.
El precio actual por acción se puede modelar utilizando la ley de distribución normal con M(X)=10 den. unidades y σ(X)=0,3 den. unidades Encontrar: a) la probabilidad de que el precio actual de la acción sea de 9,8 den. unidades hasta 10,4 días unidades; b) utilizando la "regla de tres sigma", encuentre los límites dentro de los cuales se ubicará el precio actual de las acciones. 3.14.
La sustancia se pesa sin errores sistemáticos. Los errores de pesaje aleatorios están sujetos a la ley normal con una relación cuadrática media σ=5g. Encuentre la probabilidad de que en cuatro experimentos independientes no se produzca un error en tres pesajes en el valor absoluto 3r. 3.15.
La variable aleatoria X tiene una distribución normal con M(X)=12,6. La probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo (11,4;13,8) es 0,6826. Encuentre la desviación estándar σ. 3.16.
La variable aleatoria X se distribuye normalmente con M(X)=12 y D(X)=36 Encuentre el intervalo en el que caerá la variable aleatoria X como resultado de la prueba con una probabilidad de 0,9973. 3.17.
Una pieza fabricada por una máquina automática se considera defectuosa si la desviación X de su parámetro controlado respecto del valor nominal supera el módulo 2 unidades de medida. Se supone que la variable aleatoria X tiene una distribución normal con M(X)=0 y σ(X)=0,7. ¿Qué porcentaje de piezas defectuosas produce la máquina? 3.18.
El parámetro X de la pieza se distribuye normalmente con una expectativa matemática de 2 igual al valor nominal y una desviación estándar de 0,014. Encuentre la probabilidad de que la desviación de X del valor nominal no supere el 1% del valor nominal. Respuestas
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 para x≤-3, F(x)= izquierda"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. variable aleatoria
es una variable que puede tomar ciertos valores dependiendo de diversas circunstancias, y La variable aleatoria se llama continua.
, si puede tomar cualquier valor de cualquier intervalo limitado o ilimitado. Para una variable aleatoria continua, es imposible indicar todos los valores posibles, por lo que designamos intervalos de estos valores que están asociados con ciertas probabilidades. Ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen: el diámetro de una pieza que se está rectificando a un tamaño determinado, la altura de una persona, el alcance de vuelo de un proyectil, etc. Dado que para variables aleatorias continuas la función F(incógnita), a diferencia de variables aleatorias discretas, no tiene saltos en ninguna parte, entonces la probabilidad de cualquier valor individual de una variable aleatoria continua es cero. Esto significa que para una variable aleatoria continua no tiene sentido hablar de la distribución de probabilidad entre sus valores: cada uno de ellos tiene probabilidad cero. Sin embargo, en cierto sentido, entre los valores de una variable aleatoria continua los hay “más y menos probables”. Por ejemplo, casi nadie dudaría de que el valor de una variable aleatoria (la altura de una persona encontrada al azar - 170 cm) es más probable que 220 cm, aunque ambos valores pueden ocurrir en la práctica. Como ley de distribución que tiene sentido sólo para variables aleatorias continuas, se introduce el concepto de densidad de distribución o densidad de probabilidad. Abordémoslo comparando el significado de la función de distribución para una variable aleatoria continua y para una variable aleatoria discreta. Entonces, la función de distribución de una variable aleatoria (tanto discreta como continua) o función integral Se llama función que determina la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria. incógnita menor o igual al valor límite incógnita. Para una variable aleatoria discreta en los puntos de sus valores incógnita1
, incógnita 2
, ..., incógnita i,... masas de probabilidades están concentradas pag1
, pag 2
, ..., pag i,..., y la suma de todas las masas es igual a 1. Transferimos esta interpretación al caso de una variable aleatoria continua. Imaginemos que una masa igual a 1 no se concentra en puntos individuales, sino que se “mancha” continuamente a lo largo del eje de abscisas. Oh con cierta densidad desigual. Probabilidad de que una variable aleatoria caiga en cualquier área Δ incógnita se interpretará como la masa por sección y la densidad promedio en esa sección como la relación entre masa y longitud. Acabamos de introducir un concepto importante en la teoría de la probabilidad: la densidad de distribución. Densidad de probabilidad F(incógnita) de una variable aleatoria continua es la derivada de su función de distribución: Conociendo la función de densidad, se puede encontrar la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria continua pertenezca al intervalo cerrado [ a; b]: la probabilidad de que una variable aleatoria continua incógnita tomará cualquier valor del intervalo [ a; b], es igual a una cierta integral de su densidad de probabilidad que va desde a a b: En este caso, la fórmula general de la función. F(incógnita) distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua, que se puede utilizar si se conoce la función de densidad F(incógnita)
: El gráfico de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua se llama curva de distribución (figura siguiente). Área de una figura (sombreada en la figura) delimitada por una curva, líneas rectas dibujadas desde puntos a Y b perpendicular al eje x, y el eje Oh, muestra gráficamente la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria continua incógnita está dentro del rango de a a b. 1. La probabilidad de que una variable aleatoria tome cualquier valor del intervalo (y el área de la figura que está limitada por la gráfica de la función F(incógnita) y eje Oh) es igual a uno: 2. La función de densidad de probabilidad no puede tomar valores negativos: y fuera de la existencia de la distribución su valor es cero Densidad de distribución F(incógnita), así como la función de distribución. F(incógnita), es una de las formas de la ley de distribución, pero a diferencia de la función de distribución, no es universal: la densidad de distribución existe sólo para variables aleatorias continuas. Mencionemos los dos tipos de distribución de una variable aleatoria continua más importantes en la práctica. Si la función de densidad de distribución F(incógnita) variable aleatoria continua en algún intervalo finito [ a; b] toma un valor constante do, y fuera del intervalo toma un valor igual a cero, entonces esto la distribución se llama uniforme . Si la gráfica de la función de densidad de distribución es simétrica con respecto al centro, los valores promedio se concentran cerca del centro, y al alejarse del centro se recogen los más diferentes a la media (la gráfica de la función se asemeja a una sección de una campana), entonces esto la distribución se llama normal . Ejemplo 1. Se conoce la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua: Encontrar función F(incógnita) densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. Construya gráficas de ambas funciones. Encuentre la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome cualquier valor en el intervalo de 4 a 8: . Solución. Obtenemos la función de densidad de probabilidad encontrando la derivada de la función de distribución de probabilidad: Gráfica de una función F(incógnita) - parábola: Gráfica de una función F(incógnita) - derecho: Encontremos la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome cualquier valor en el rango de 4 a 8: Ejemplo 2. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua viene dada por: Calcular coeficiente do. Encontrar función F(incógnita) distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. Construya gráficas de ambas funciones. Encuentre la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome cualquier valor en el rango de 0 a 5: . Solución. Coeficiente do encontramos, usando la propiedad 1 de la función de densidad de probabilidad: Por tanto, la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua es: Integrando encontramos la función F(incógnita) distribuciones de probabilidad. Si incógnita < 0
, то
F(incógnita) = 0 . Si 0< incógnita < 10
, то incógnita> 10, entonces F(incógnita) = 1
. Así, el registro completo de la función de distribución de probabilidad es: Gráfica de una función F(incógnita)
: Gráfica de una función F(incógnita)
: Encontremos la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome cualquier valor en el rango de 0 a 5: Ejemplo 3. Densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua incógnita está dada por la igualdad , y . encontrar coeficiente A, la probabilidad de que una variable aleatoria continua incógnita tomará cualquier valor del intervalo ]0, 5[, la función de distribución de una variable aleatoria continua incógnita. Solución. Por condición llegamos a la igualdad. Por tanto, de dónde. Entonces, Ahora encontramos la probabilidad de que una variable aleatoria continua incógnita tomará cualquier valor del intervalo ]0, 5[: Ahora obtenemos la función de distribución de esta variable aleatoria: Ejemplo 4. Encuentre la densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua incógnita, que toma sólo valores no negativos, y su función de distribución
Capítulo 6. Variables aleatorias continuas. § 1. Función de densidad y distribución de una variable aleatoria continua. El conjunto de valores de una variable aleatoria continua es incontable y suele representar algún intervalo finito o infinito. Una variable aleatoria x(w) definida en un espacio de probabilidad (W, S, P) se llama continuo(absolutamente continua) W, si existe una función no negativa tal que para cualquier x la función de distribución Fx(x) se pueda representar como una integral La función se llama función. densidades de distribución de probabilidad. La definición implica las propiedades de la función de densidad de distribución: 1..gif" ancho="97" alto="51"> 3. En puntos de continuidad, la densidad de distribución es igual a la derivada de la función de distribución: . 4. La densidad de distribución determina la ley de distribución de una variable aleatoria, ya que determina la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo: 5. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor específico es cero: . Por tanto, son válidas las siguientes igualdades: La gráfica de la función de densidad de distribución se llama curva de distribución, y el área delimitada por la curva de distribución y el eje x es igual a la unidad. Entonces, geométricamente, el valor de la función de distribución Fx(x) en el punto x0 es el área limitada por la curva de distribución y el eje de abscisas y que se encuentra a la izquierda del punto x0. Tarea 1. La función de densidad de una variable aleatoria continua tiene la forma: Determine la constante C, construya la función de distribución Fx(x) y calcule la probabilidad. Solución. La constante C se encuentra a partir de la condición Tenemos: Para construir la función de distribución Fx(x), tenga en cuenta que el intervalo divide el rango de valores del argumento x (eje numérico) en tres partes: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" ancho="264 " alto="49"> ya que la densidad x en el semieje es cero. En el segundo caso Finalmente, en el último caso, cuando x>2, Dado que la densidad desaparece en el semieje. Entonces, se obtiene la función de distribución. Probabilidad Calculemos usando la fórmula. De este modo,
§ 2. Características numéricas de una variable aleatoria continua Expectativa para variables aleatorias distribuidas continuamente está determinada por la fórmula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, si la integral de la derecha converge absolutamente. Dispersión x se puede calcular usando la fórmula Todas las propiedades de expectativa matemática y dispersión dadas en el Capítulo 5 para variables aleatorias discretas también son válidas para variables aleatorias continuas. Problema 2.
Para la variable aleatoria x del problema 1, calcule la expectativa matemática y la varianza .
Solución. Y eso significa https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src="> Para ver un gráfico de densidad de distribución uniforme, consulte la Fig. . Fig.6.2. Función de distribución y densidad de distribución. ley uniforme La función de distribución Fx(x) de una variable aleatoria distribuida uniformemente es igual a Fx(x)= Expectativa y variación; . Distribución exponencial (exponencial). Una variable aleatoria continua x que toma valores no negativos tiene una distribución exponencial con parámetro l>0 si la distribución de densidad de probabilidad de la variable aleatoria es igual a ðx(x)= Arroz. 6.3. Función de distribución y densidad de distribución de la ley exponencial. La función de distribución de la distribución exponencial tiene la forma. Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" ancho="17" alto="41">.gif" ancho="13" alto="15"> y si su densidad de distribución es igual a A través de denota el conjunto de todas las variables aleatorias distribuidas según una ley normal con parámetros parámetros y . La función de distribución de una variable aleatoria normalmente distribuida es igual a Arroz. 6.4. Función de distribución y densidad de distribución normal. Los parámetros de la distribución normal son la expectativa matemática https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24"> En el caso especial cuando https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> se llama distribución normal estándar, y la clase de dichas distribuciones se indica con https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">, y la función de distribución Una integral de este tipo no se puede calcular analíticamente (no se toma en "cuadraturas") y, por lo tanto, se han compilado tablas para la función. La función está relacionada con la función de Laplace introducida en el Capítulo 4. por la siguiente relación Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente caiga en un intervalo se puede calcular mediante la fórmula Una variable aleatoria no negativa x se llama distribución lognormal si su logaritmo h=lnx obedece la ley normal. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria distribuida lognormalmente son Mx= y Dx=. Tarea 3. Dejemos que se proporcione una variable aleatoria https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">. Solución. Aquí https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45"> Distribución de Laplace viene dada por la función fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> y la curtosis es gx=3. Fig.6.5. Función de densidad de distribución de Laplace. La variable aleatoria x se distribuye sobre ley de weibull, si tiene una función de densidad de distribución igual a https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> La distribución Weibull regula los tiempos de funcionamiento sin fallos de muchos dispositivos técnicos. En problemas de este perfil, una característica importante es la tasa de fracaso (tasa de mortalidad) l(t) de los elementos estudiados de edad t, determinada por la relación l(t)=. Si a=1, entonces la distribución de Weibull se convierte en una distribución exponencial, y si a=2 - en la llamada distribución Rayleigh. Expectativa matemática de la distribución de Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, donde Г(а) es Euler función. . En diversos problemas de estadística aplicada, a menudo se encuentran las llamadas distribuciones "truncadas". Por ejemplo, las autoridades tributarias están interesadas en la distribución del ingreso de aquellas personas cuyos ingresos anuales exceden un cierto umbral c0 establecido por las leyes tributarias. Estas distribuciones resultan coincidir aproximadamente con la distribución de Pareto. distribución de Pareto dado por funciones Fx(x)=P(x) Aquí https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">. Tarea 4. La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Encuentra la densidad de una variable aleatoria. Solución. De las condiciones del problema se deduce que A continuación, la función es una función monótona y diferenciable en un intervalo y tiene una función inversa § 5. Par de variables aleatorias continuas Sean dadas dos variables aleatorias continuas x y h. Entonces el par (x, h) define un punto "aleatorio" en el plano. El par (x, h) se llama vector aleatorio o variable aleatoria bidimensional. Función de distribución conjunta variables aleatorias x y h y la función se llama F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. densidad articular La distribución de probabilidad de las variables aleatorias x y h se llama función tal que El significado de esta definición de densidad de distribución conjunta es el siguiente. La probabilidad de que un "punto aleatorio" (x, h) caiga en una región de un plano se calcula como el volumen de una figura tridimensional: un cilindro "curvilíneo" delimitado por la superficie https://pandia.ru/ texto/78/107/images/image098_3. gif" ancho="211" alto="39 src="> El ejemplo más simple de una distribución conjunta de dos variables aleatorias es la distribución bidimensional. distribución uniforme en el setA.
Sea un conjunto acotado M con área. Se define como la distribución del par (x, h), definida por la siguiente densidad conjunta: Tarea 5. Sea un vector aleatorio bidimensional (x, h) distribuido uniformemente dentro del triángulo. Calcula la probabilidad de la desigualdad x>h. Solución. El área del triángulo indicado es igual a (ver Fig. No.?). En virtud de la definición de una distribución uniforme bidimensional, la densidad conjunta de variables aleatorias x, h es igual a Un evento corresponde a un conjunto En el semiplano B, la densidad de la junta es cero fuera del conjunto https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Por lo tanto, el el semiplano B se divide en dos conjuntos y https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> y , y la segunda integral es igual a cero, ya que la densidad conjunta allí es igual a cero. Es por eso Si se da la densidad de distribución conjunta para un par (x, h), entonces las densidades de ambos componentes x y h se llaman densidades privadas y se calculan mediante las fórmulas: https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src="> Para variables aleatorias distribuidas continuamente con densidades рx(х), рh(у), la independencia significa que Tarea 6. En las condiciones del problema anterior, determine si las componentes del vector aleatorio x y h son independientes. Solución. Calculemos las densidades parciales y . Tenemos: https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src="> Obviamente, en nuestro caso https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> es la densidad conjunta de las cantidades x, h, y j( x, y) es una función de dos argumentos, entonces https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src="> Tarea 7. En las condiciones del problema anterior, calcula . Solución. Según la fórmula anterior tenemos: Representando el triángulo como https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" ancho="479" alto="59"> § 5. Densidad de la suma de dos variables aleatorias continuas Sean x y h variables aleatorias independientes con densidades https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. La densidad de la variable aleatoria x + h se calcula mediante la fórmula circunvolución https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Calcula la densidad de la suma. Solución. Dado que x y h se distribuyen según la ley exponencial con el parámetro , sus densidades son iguales Por eso, https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" ancho="339 altura=51" altura="51"> si x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">es negativo y por lo tanto . Por lo tanto, si https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> Así obtuvimos la respuesta: https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> se distribuye normalmente con los parámetros 0 y 1. Las variables aleatorias x1 y x2 son independientes y tienen valores normales. distribuciones con parámetros a1 y a2, respectivamente. Demuestre que x1 + x2 tiene una distribución normal. Las variables aleatorias x1, x2, ... xn están distribuidas y son independientes y tienen la misma función de densidad de distribución. Encuentre la función de distribución y la densidad de distribución de valores: a) h1 = mín (x1, x2, ...xn); b) h(2) = máx (x1,x2, ... xn) Las variables aleatorias x1, x2, ... xn son independientes y están distribuidas uniformemente en el intervalo [a, b]. Encuentre funciones de distribución y funciones de densidad de distribuciones de cantidades. x(1) = mín (x1,x2, ... xn) y x(2)= máx(x1, x2, ...xn). Demuestre que Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">. La variable aleatoria se distribuye según la ley de Cauchy Encuentre: a) coeficiente a; b) función de distribución; c) la probabilidad de caer en el intervalo (-1, 1). Demuestre que la expectativa matemática de x no existe. La variable aleatoria está sujeta a la ley de Laplace con el parámetro l (l>0): Encuentre el coeficiente a; construir gráficos de densidad de distribución y funciones de distribución; encontrar Mx y Dx; encuentre las probabilidades de eventos (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид: Escriba una fórmula para la densidad de distribución, encuentre Mx y Dx. Tareas computacionales. Un punto aleatorio A tiene una distribución uniforme en un círculo de radio R. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de la distancia r del punto al centro del círculo. Demuestre que el valor r2 está distribuido uniformemente en el segmento. Encuentre la constante c, la densidad de distribución h = y la probabilidad p (0,25 El tiempo de funcionamiento sin fallos de una computadora se distribuye según una ley exponencial con el parámetro l = 0,05 (fallos por hora), es decir, tiene una función de densidad. pag(x) = Resolver un determinado problema requiere un funcionamiento sin problemas de la máquina durante 15 minutos. Si se produce una falla al resolver un problema, el error se detecta solo después de que se completa la solución y el problema se resuelve nuevamente. Encuentre: a) la probabilidad de que durante la solución del problema no ocurra ni una sola falla; b) el tiempo promedio en que se resolverá el problema. Una varilla de 24 cm de largo se parte en dos partes; Supondremos que el punto de rotura se distribuye uniformemente a lo largo de toda la varilla. ¿Cuál es la longitud promedio de la mayor parte de la varilla? Un trozo de 12 cm de largo se corta al azar en dos partes. El punto de corte se distribuye uniformemente a lo largo de todo el segmento. ¿Cuál es la longitud promedio de la pequeña parte del segmento? La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Encuentre la densidad de distribución de la variable aleatoria a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . Demuestre que si x tiene una función de distribución continua F(x) = P(x Encuentre la función de densidad y la función de distribución de la suma de dos cantidades independientes x y h con leyes de distribución uniforme en los segmentos y, respectivamente. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias son independientes y tienen una distribución exponencial con densidad.
1.2.
p4=0,1; 0 en x≤-1,
(Figura 5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 para x≤a,
,
La curva normal es simétrica con respecto a la recta x=m, tiene un máximo en x=a, igual a .
,
Función de distribución de una variable aleatoria continua y densidad de probabilidad.
.
.
.
Propiedades de la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua
.
.
.
de donde C=3/8.
, y también, como en el caso discreto, según la fórmula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
.
.
,
. En el caso de valores de parámetros arbitrarios https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> la función de distribución de una variable aleatoria se relaciona con la función de Laplace mediante la relación:
.
.
, cuya derivada es igual a Por lo tanto,
.
en un plano, es decir, en un semiplano. Entonces la probabilidad
.
.
La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma: 
Calcule la constante C, la función de distribución F(x) y la probabilidad. 
La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma: 
Calcule la constante C, la función de distribución F(x) y la probabilidad. 
La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma: 
Calcule la constante C, la función de distribución F(x), la varianza y la probabilidad. Una variable aleatoria tiene una función de distribución. 
Calcular la densidad de una variable aleatoria, expectativa matemática, varianza y probabilidad. Comprobar que la función = 
puede ser una función de distribución de una variable aleatoria. Encuentra las características numéricas de esta cantidad: Mx y Dx. La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Anota la densidad de distribución. Encuentra la función de distribución. Encuentre la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el segmento y en el segmento. La densidad de distribución x es igual a
.
.
. Encuentre la densidad de distribución de su suma. Encuentre la distribución de la suma de las variables aleatorias independientes x y h, donde x tiene una distribución uniforme en el intervalo y h tiene una distribución exponencial con parámetro l. Encuentra P 
, si x tiene: a) distribución normal con parámetros a y s2; b) distribución exponencial con parámetro l; c) distribución uniforme en el segmento [-1;1]. La distribución conjunta de x, h es uniforme al cuadrado.
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). encontrar probabilidad 
. ¿Son x y h independientes? Un par de variables aleatorias x y h están distribuidas uniformemente dentro del triángulo K=. Calcule las densidades x y h. ¿Son independientes estas variables aleatorias? Encuentra la probabilidad. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y [-1,1]. Encuentra la probabilidad. Una variable aleatoria bidimensional (x, h) está distribuida uniformemente en un cuadrado con vértices (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Encuentre el valor de la función de distribución conjunta en el punto (1, -1). Un vector aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente dentro de un círculo de radio 3 con centro en el origen. Escribe una expresión para la densidad de distribución conjunta. Determine si estas variables aleatorias son dependientes. Calcular la probabilidad. Un par de variables aleatorias x y h están distribuidas uniformemente dentro de un trapezoide con vértices en los puntos (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Encuentre la densidad de distribución conjunta para este par de variables aleatorias y la densidad de los componentes. ¿Son x y h dependientes? Un par aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente dentro de un semicírculo. Encuentre las densidades x y h, investigue la cuestión de su dependencia. La densidad conjunta de dos variables aleatorias x y h es igual a 
.
Encuentre las densidades x, h. Investigue la cuestión de la dependencia de x y h. Un par aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente en el conjunto. Encuentre las densidades x y h, investigue la cuestión de su dependencia. Encuentre M(xh). Las variables aleatorias x y h son independientes y se distribuyen según una ley exponencial con el parámetro Encontrar