Solución matemática de matrices mediante el método gaussiano. método gaussiano en línea

En este artículo, el método se considera un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales (SLAE). El método es analítico, es decir, le permite escribir un algoritmo de solución en forma general y luego sustituir allí valores de ejemplos específicos. A diferencia del método matricial o las fórmulas de Cramer, al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, también se puede trabajar con aquellos que tienen un número infinito de soluciones. O no lo tienen en absoluto.

¿Qué significa resolver mediante el método gaussiano?

Primero, necesitamos escribir nuestro sistema de ecuaciones. Se ve así. Toma el sistema:

Los coeficientes se escriben en forma de tabla y los términos libres se escriben en una columna separada a la derecha. La columna con términos libres está separada por conveniencia. La matriz que incluye esta columna se llama extendida.

A continuación, la matriz principal con coeficientes debe reducirse a una forma triangular superior. Este es el punto principal de resolver el sistema utilizando el método gaussiano. En pocas palabras, después de ciertas manipulaciones la matriz debería verse de manera que su parte inferior izquierda contenga solo ceros:

Luego, si escribes la nueva matriz nuevamente como un sistema de ecuaciones, notarás que la última fila ya contiene el valor de una de las raíces, que luego se sustituye en la ecuación anterior, se encuentra otra raíz, y así sucesivamente.

Esta es una descripción de la solución por el método gaussiano en los términos más generales. ¿Qué pasa si de repente el sistema no tiene solución? ¿O hay infinitos de ellos? Para responder a estas y muchas otras preguntas, es necesario considerar por separado todos los elementos utilizados para resolver el método gaussiano.

Matrices, sus propiedades.

No hay ningún significado oculto en la matriz. Esta es simplemente una forma conveniente de registrar datos para operaciones posteriores con él. Incluso los escolares no deben tenerles miedo.

La matriz siempre es rectangular, porque es más conveniente. Incluso en el método de Gauss, donde todo se reduce a construir una matriz de forma triangular, aparece un rectángulo en la entrada, solo con ceros en el lugar donde no hay números. Es posible que los ceros no estén escritos, pero están implícitos.

La matriz tiene un tamaño. Su “ancho” es el número de filas (m), “largo” es el número de columnas (n). Entonces, el tamaño de la matriz A (generalmente se usan letras latinas mayúsculas para indicarlas) se indicará como A m×n. Si m = n, entonces esta matriz es cuadrada y m = n es su orden. En consecuencia, cualquier elemento de la matriz A puede denotarse por sus números de fila y columna: a xy ; x - número de fila, cambios, y - número de columna, cambios.

B no es el punto principal de la decisión. En principio, todas las operaciones se pueden realizar directamente con las propias ecuaciones, pero la notación será mucho más engorrosa y será mucho más fácil confundirse.

Determinante

La matriz también tiene un determinante. Esta es una característica muy importante. No es necesario descubrir su significado ahora; basta con mostrar cómo se calcula y luego decir qué propiedades de la matriz determina. La forma más sencilla de encontrar el determinante es mediante diagonales. En la matriz se dibujan diagonales imaginarias; se multiplican los elementos ubicados en cada uno de ellos, y luego se suman los productos resultantes: diagonales con pendiente hacia la derecha - con signo más, con pendiente hacia la izquierda - con signo menos.

Es extremadamente importante tener en cuenta que el determinante sólo se puede calcular para una matriz cuadrada. Para una matriz rectangular, puede hacer lo siguiente: elija la más pequeña entre el número de filas y el número de columnas (sea k), y luego marque aleatoriamente k columnas y k filas en la matriz. Los elementos en la intersección de las columnas y filas seleccionadas formarán una nueva matriz cuadrada. Si el determinante de dicha matriz es un número distinto de cero, se denomina base menor de la matriz rectangular original.

Antes de empezar a resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método gaussiano, no está de más calcular el determinante. Si resulta ser cero, entonces podemos decir inmediatamente que la matriz tiene un número infinito de soluciones o ninguna. En un caso tan triste, es necesario ir más allá y conocer el rango de la matriz.

Clasificación del sistema

Existe algo llamado el rango de una matriz. Este es el orden máximo de su determinante distinto de cero (si recordamos la base menor, podemos decir que el rango de una matriz es el orden de la base menor).

Según la situación con el rango, SLAE se puede dividir en:

Articulación. Ud. En los sistemas conjuntos, el rango de la matriz principal (que consta únicamente de coeficientes) coincide con el rango de la matriz extendida (con una columna de términos libres). Dichos sistemas tienen una solución, pero no necesariamente una, por lo que además los sistemas conjuntos se dividen en:
- cierto- tener una única solución. En determinados sistemas, el rango de la matriz y el número de incógnitas (o el número de columnas, que es lo mismo) son iguales;
- indefinido - con un número infinito de soluciones. El rango de las matrices en tales sistemas es menor que el número de incógnitas.
Incompatible. Ud. En tales sistemas, los rangos de las matrices principal y extendida no coinciden. Los sistemas incompatibles no tienen solución.

El método de Gauss es bueno porque durante la solución permite obtener una prueba inequívoca de la inconsistencia del sistema (sin calcular los determinantes de matrices grandes) o una solución en forma general para un sistema con un número infinito de soluciones.

Transformaciones elementales

Antes de proceder directamente a resolver el sistema, puede hacerlo menos engorroso y más conveniente para los cálculos. Esto se logra mediante transformaciones elementales, de modo que su implementación no cambie la respuesta final de ninguna manera. Cabe señalar que algunas de las transformaciones elementales dadas son válidas sólo para matrices cuya fuente fue la SLAE. Aquí hay una lista de estas transformaciones:

Reorganizar líneas. Obviamente, si cambia el orden de las ecuaciones en el registro del sistema, esto no afectará la solución de ninguna manera. En consecuencia, las filas de la matriz de este sistema también se pueden intercambiar, sin olvidar, por supuesto, la columna de términos libres.
Multiplicar todos los elementos de una cadena por un determinado coeficiente. ¡Muy útil! Se puede utilizar para reducir números grandes en una matriz o eliminar ceros. Muchas decisiones, como de costumbre, no cambiarán, pero futuras operaciones serán más convenientes. Lo principal es que el coeficiente no es igual a cero.
Eliminando filas con factores proporcionales. Esto se desprende en parte del párrafo anterior. Si dos o más filas de una matriz tienen coeficientes proporcionales, entonces cuando una de las filas se multiplica/divide por el coeficiente de proporcionalidad, se obtienen dos (o, de nuevo, más) filas absolutamente idénticas, y las sobrantes se pueden eliminar, dejando sólo uno.
Eliminando una línea nula. Si, durante la transformación, se obtiene una fila en algún lugar en la que todos los elementos, incluido el término libre, son cero, entonces dicha fila se puede llamar cero y eliminarse de la matriz.
Sumando a los elementos de una fila los elementos de otra (en las columnas correspondientes), multiplicados por un determinado coeficiente. La transformación más no obvia y más importante de todas. Vale la pena detenerse en ello con más detalle.

Sumar una cadena multiplicada por un factor

Para facilitar la comprensión, vale la pena desglosar este proceso paso a paso. Se toman dos filas de la matriz:

un 11 un 12... un 1n | b1

un 21 un 22... un 2n | segundo 2

Digamos que necesitas sumar el primero al segundo, multiplicado por el coeficiente "-2".

un" 21 = un 21 + -2×un 11

un" 22 = un 22 + -2×un 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Luego, la segunda fila de la matriz se reemplaza por una nueva y la primera permanece sin cambios.

un 11 un 12... un 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Cabe señalar que el coeficiente de multiplicación se puede seleccionar de tal manera que, como resultado de sumar dos filas, uno de los elementos de la nueva fila sea igual a cero. Por tanto, es posible obtener una ecuación en un sistema donde habrá una incógnita menos. Y si obtienes dos de esas ecuaciones, entonces la operación se puede realizar nuevamente y obtener una ecuación que contendrá dos incógnitas menos. Y si cada vez conviertes un coeficiente de todas las filas que están debajo del original a cero, entonces puedes, como escaleras, bajar hasta el final de la matriz y obtener una ecuación con una incógnita. A esto se le llama resolver el sistema mediante el método gaussiano.

En general

Que haya un sistema. Tiene m ecuaciones yn raíces desconocidas. Puedes escribirlo de la siguiente manera:

La matriz principal se compila a partir de los coeficientes del sistema. Se agrega una columna de términos libres a la matriz extendida y, por conveniencia, se separa por una línea.

la primera fila de la matriz se multiplica por el coeficiente k = (-a 21 /a 11);
se suman la primera fila modificada y la segunda fila de la matriz;
en lugar de la segunda fila, se inserta en la matriz el resultado de la suma del párrafo anterior;
ahora el primer coeficiente en la nueva segunda fila es a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Ahora se realiza la misma serie de transformaciones, solo están involucradas la primera y tercera filas. En consecuencia, en cada paso del algoritmo, el elemento a 21 se reemplaza por un 31. Luego se repite todo para un 41,... un m1. El resultado es una matriz donde el primer elemento de las filas es cero. Ahora debes olvidarte de la línea número uno y realizar el mismo algoritmo, comenzando desde la línea dos:

coeficiente k = (-a 32 /a 22);
la segunda línea modificada se agrega a la línea "actual";
el resultado de la suma se sustituye en la tercera, cuarta y así sucesivamente, mientras que la primera y la segunda permanecen sin cambios;
en las filas de la matriz los dos primeros elementos ya son iguales a cero.

El algoritmo debe repetirse hasta que aparezca el coeficiente k = (-a m,m-1 /a mm). Esto significa que la última vez que se ejecutó el algoritmo fue solo para la ecuación inferior. Ahora la matriz parece un triángulo o tiene forma escalonada. En la línea inferior está la igualdad a mn × x n = b m. Se conocen el coeficiente y el término libre, y a través de ellos se expresa la raíz: x n = b m /a mn. La raíz resultante se sustituye en la línea superior para encontrar x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Y así sucesivamente por analogía: en cada línea posterior hay una nueva raíz y, al llegar a la "cima" del sistema, se pueden encontrar muchas soluciones. Será el único.

Cuando no hay soluciones

Si en una de las filas de la matriz todos los elementos, excepto el término libre, son iguales a cero, entonces la ecuación correspondiente a esta fila parece 0 = b. No tiene solución. Y dado que tal ecuación está incluida en el sistema, entonces el conjunto de soluciones de todo el sistema está vacío, es decir, degenerado.

Cuando hay un número infinito de soluciones.

Puede suceder que en la matriz triangular dada no haya filas con un elemento coeficiente de la ecuación y un término libre. Sólo hay líneas que, al reescribirse, parecerían una ecuación con dos o más variables. Esto significa que el sistema tiene un número infinito de soluciones. En este caso, la respuesta se puede dar en forma de solución general. ¿Cómo hacerlo?

Todas las variables de la matriz se dividen en básicas y libres. Los básicos son aquellos que se encuentran "en el borde" de las filas de la matriz de pasos. El resto son gratis. En la solución general, las variables básicas se escriben mediante variables libres.

Por conveniencia, la matriz primero se reescribe en un sistema de ecuaciones. Luego, en el último de ellos, donde exactamente solo queda una variable básica, ésta permanece en un lado y todo lo demás se transfiere al otro. Esto se hace para cada ecuación con una variable básica. Luego, en las ecuaciones restantes, cuando sea posible, se sustituye la expresión obtenida para ello en lugar de la variable básica. Si el resultado es nuevamente una expresión que contiene solo una variable básica, se expresa nuevamente a partir de ahí, y así sucesivamente, hasta que cada variable básica se escriba como una expresión con variables libres. Esta es la solución general de SLAE.

También puede encontrar la solución básica del sistema: asigne cualquier valor a las variables libres y luego, para este caso específico, calcule los valores de las variables básicas. Hay una infinidad de soluciones particulares que se pueden dar.

Solución con ejemplos específicos.

Aquí hay un sistema de ecuaciones.

Por conveniencia, es mejor crear inmediatamente su matriz.

Se sabe que cuando se resuelve por el método gaussiano, la ecuación correspondiente a la primera fila permanecerá sin cambios al final de las transformaciones. Por lo tanto, será más rentable si el elemento superior izquierdo de la matriz es el más pequeño; entonces los primeros elementos de las filas restantes después de las operaciones se volverán cero. Esto significa que en la matriz compilada será ventajoso colocar la segunda fila en lugar de la primera.

segunda línea: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

tercera línea: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Ahora, para no confundirse, es necesario anotar una matriz con los resultados intermedios de las transformaciones.

Obviamente, dicha matriz puede hacerse más conveniente para la percepción mediante determinadas operaciones. Por ejemplo, puedes eliminar todos los "menos" de la segunda línea multiplicando cada elemento por "-1".

También vale la pena señalar que en la tercera línea todos los elementos son múltiplos de tres. Luego puedes acortar la cadena por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - al mismo tiempo, para eliminar los valores negativos).

Se ve mucho mejor. Ahora debemos dejar la primera línea sola y trabajar con la segunda y la tercera. La tarea es sumar la segunda línea a la tercera línea, multiplicada por un coeficiente tal que el elemento a 32 se vuelva igual a cero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (si durante algunas transformaciones la respuesta no resulta ser un número entero, se recomienda mantener la precisión de los cálculos para dejar "tal cual", en forma de fracciones ordinarias, y solo entonces, cuando se reciban las respuestas, decidir si redondear y convertir a otra forma de grabación)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

La matriz se vuelve a escribir con nuevos valores.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Como puede ver, la matriz resultante ya tiene forma escalonada. Por lo tanto, no se requieren más transformaciones del sistema utilizando el método gaussiano. Lo que puedes hacer aquí es eliminar el coeficiente general "-1/7" de la tercera línea.

Ahora todo es hermoso. Ya sólo queda escribir la matriz nuevamente en forma de sistema de ecuaciones y calcular las raíces.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

El algoritmo mediante el cual se encontrarán ahora las raíces se denomina movimiento inverso en el método gaussiano. La ecuación (3) contiene el valor z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Y la primera ecuación nos permite encontrar x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Tenemos derecho a llamar a este sistema conjunto, e incluso definitivo, es decir, que tiene una solución única. La respuesta está escrita de la siguiente forma:

x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un ejemplo de un sistema incierto

Se ha analizado la variante de resolver un determinado sistema mediante el método de Gauss; ahora es necesario considerar el caso si el sistema es incierto, es decir, se pueden encontrar infinitas soluciones para él.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

La apariencia misma del sistema ya es alarmante, porque el número de incógnitas es n = 5, y el rango de la matriz del sistema ya es exactamente menor que este número, porque el número de filas es m = 4, es decir, el orden más alto del determinante cuadrado es 4. Esto significa que hay un número infinito de soluciones y hay que buscar su apariencia general. El método de Gauss para ecuaciones lineales le permite hacer esto.

Primero, como de costumbre, se compila una matriz extendida.

Segunda línea: coeficiente k = (-a 21 /a 11) = -3. En la tercera línea, el primer elemento está antes de las transformaciones, por lo que no necesitas tocar nada, debes dejarlo como está. Cuarta línea: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Multiplicando los elementos de la primera fila por cada uno de sus coeficientes y sumándolos a las filas requeridas, obtenemos una matriz de la siguiente forma:

Como puede ver, la segunda, tercera y cuarta filas constan de elementos proporcionales entre sí. El segundo y el cuarto son generalmente idénticos, por lo que uno de ellos se puede eliminar inmediatamente y el restante se puede multiplicar por el coeficiente "-1" y obtener la línea número 3. Y nuevamente, de dos líneas idénticas, dejar una.

El resultado es una matriz como esta. Si bien el sistema aún no se ha escrito, es necesario determinar aquí las variables básicas: las que se encuentran en los coeficientes a 11 = 1 y a 22 = 1, y las libres, todo lo demás.

En la segunda ecuación solo hay una variable básica: x 2. Esto quiere decir que se puede expresar a partir de ahí escribiéndolo a través de las variables x 3 , x 4 , x 5 , que son libres.

Sustituimos la expresión resultante en la primera ecuación.

El resultado es una ecuación en la que la única variable básica es x 1. Hagamos con él lo mismo que con x 2.

Todas las variables básicas, de las cuales hay dos, se expresan en términos de tres libres; ahora podemos escribir la respuesta en forma general.

También puede especificar una de las soluciones particulares del sistema. Para tales casos, generalmente se eligen ceros como valores para las variables libres. Entonces la respuesta será:

16, 23, 0, 0, 0.

Un ejemplo de un sistema no cooperativo

Resolver sistemas de ecuaciones incompatibles utilizando el método de Gauss es el más rápido. Termina inmediatamente tan pronto como en una de las etapas se obtiene una ecuación que no tiene solución. Es decir, se elimina la etapa de cálculo de las raíces, que es bastante larga y tediosa. Se considera el siguiente sistema:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Como es habitual, se elabora la matriz:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Y se reduce a una forma gradual:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Después de la primera transformación, la tercera línea contiene una ecuación de la forma

sin solución. En consecuencia, el sistema es inconsistente y la respuesta será el conjunto vacío.

Ventajas y desventajas del método.

Si elige qué método resolver los SLAE en papel con un bolígrafo, entonces el método que se analizó en este artículo parece el más atractivo. Es mucho más difícil confundirse en transformaciones elementales que si tienes que buscar manualmente un determinante o alguna matriz inversa complicada. Sin embargo, si utiliza programas para trabajar con datos de este tipo, por ejemplo, hojas de cálculo, resulta que dichos programas ya contienen algoritmos para calcular los principales parámetros de las matrices: determinante, menor, inversa, etc. Y si estás seguro de que la máquina calculará por sí misma estos valores y no se equivocará, es más recomendable utilizar el método matricial o las fórmulas de Cramer, porque su uso comienza y termina con el cálculo de determinantes y matrices inversas.

Solicitud

Dado que la solución gaussiana es un algoritmo y la matriz es en realidad una matriz bidimensional, se puede utilizar en programación. Pero dado que el artículo se presenta como una guía "para principiantes", hay que decir que el lugar más fácil para implementar el método son las hojas de cálculo, por ejemplo Excel. Nuevamente, Excel considerará cualquier SLAE ingresado en una tabla en forma de matriz como una matriz bidimensional. Y para operar con ellos hay muchos comandos interesantes: suma (¡solo puedes sumar matrices del mismo tamaño!), multiplicación por un número, multiplicación de matrices (también con ciertas restricciones), encontrar matrices inversas y transpuestas y, lo más importante , calculando el determinante. Si esta laboriosa tarea se sustituye por un único comando, es posible determinar el rango de la matriz mucho más rápidamente y, por tanto, establecer su compatibilidad o incompatibilidad.

¿Qué significa resolver mediante el método gaussiano?

Primero, necesitamos escribir nuestro sistema de ecuaciones. Se ve así. Toma el sistema:

Matrices, sus propiedades.

No hay ningún significado oculto en la matriz. Esta es simplemente una forma conveniente de registrar datos para operaciones posteriores con él. Incluso los escolares no deben tenerles miedo.

Determinante

Clasificación del sistema

Según la situación con el rango, SLAE se puede dividir en:

Articulación. Ud. En los sistemas conjuntos, el rango de la matriz principal (que consta únicamente de coeficientes) coincide con el rango de la matriz extendida (con una columna de términos libres). Dichos sistemas tienen una solución, pero no necesariamente una, por lo que además los sistemas conjuntos se dividen en:
- cierto- tener una única solución. En determinados sistemas, el rango de la matriz y el número de incógnitas (o el número de columnas, que es lo mismo) son iguales;
- indefinido - con un número infinito de soluciones. El rango de las matrices en tales sistemas es menor que el número de incógnitas.
Incompatible. Ud. En tales sistemas, los rangos de las matrices principal y extendida no coinciden. Los sistemas incompatibles no tienen solución.

Transformaciones elementales

Reorganizar líneas. Obviamente, si cambia el orden de las ecuaciones en el registro del sistema, esto no afectará la solución de ninguna manera. En consecuencia, las filas de la matriz de este sistema también se pueden intercambiar, sin olvidar, por supuesto, la columna de términos libres.
Multiplicar todos los elementos de una cadena por un determinado coeficiente. ¡Muy útil! Se puede utilizar para reducir números grandes en una matriz o eliminar ceros. Muchas decisiones, como de costumbre, no cambiarán, pero futuras operaciones serán más convenientes. Lo principal es que el coeficiente no es igual a cero.
Eliminando filas con factores proporcionales. Esto se desprende en parte del párrafo anterior. Si dos o más filas de una matriz tienen coeficientes proporcionales, entonces cuando una de las filas se multiplica/divide por el coeficiente de proporcionalidad, se obtienen dos (o, de nuevo, más) filas absolutamente idénticas, y las sobrantes se pueden eliminar, dejando sólo uno.
Eliminando una línea nula. Si, durante la transformación, se obtiene una fila en algún lugar en la que todos los elementos, incluido el término libre, son cero, entonces dicha fila se puede llamar cero y eliminarse de la matriz.
Sumando a los elementos de una fila los elementos de otra (en las columnas correspondientes), multiplicados por un determinado coeficiente. La transformación más no obvia y más importante de todas. Vale la pena detenerse en ello con más detalle.

Sumar una cadena multiplicada por un factor

Para facilitar la comprensión, vale la pena desglosar este proceso paso a paso. Se toman dos filas de la matriz:

un 11 un 12... un 1n | b1

un 21 un 22... un 2n | segundo 2

Digamos que necesitas sumar el primero al segundo, multiplicado por el coeficiente "-2".

un" 21 = un 21 + -2×un 11

un" 22 = un 22 + -2×un 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Luego, la segunda fila de la matriz se reemplaza por una nueva y la primera permanece sin cambios.

un 11 un 12... un 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

En general

Que haya un sistema. Tiene m ecuaciones yn raíces desconocidas. Puedes escribirlo de la siguiente manera:

La matriz principal se compila a partir de los coeficientes del sistema. Se agrega una columna de términos libres a la matriz extendida y, por conveniencia, se separa por una línea.

la primera fila de la matriz se multiplica por el coeficiente k = (-a 21 /a 11);
se suman la primera fila modificada y la segunda fila de la matriz;
en lugar de la segunda fila, se inserta en la matriz el resultado de la suma del párrafo anterior;
ahora el primer coeficiente en la nueva segunda fila es a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

coeficiente k = (-a 32 /a 22);
la segunda línea modificada se agrega a la línea "actual";
el resultado de la suma se sustituye en la tercera, cuarta y así sucesivamente, mientras que la primera y la segunda permanecen sin cambios;
en las filas de la matriz los dos primeros elementos ya son iguales a cero.

Cuando no hay soluciones

Cuando hay un número infinito de soluciones.

Solución con ejemplos específicos.

Aquí hay un sistema de ecuaciones.

Por conveniencia, es mejor crear inmediatamente su matriz.

segunda línea: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

tercera línea: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Ahora, para no confundirse, es necesario anotar una matriz con los resultados intermedios de las transformaciones.

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

La matriz se vuelve a escribir con nuevos valores.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ahora todo es hermoso. Ya sólo queda escribir la matriz nuevamente en forma de sistema de ecuaciones y calcular las raíces.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

El algoritmo mediante el cual se encontrarán ahora las raíces se denomina movimiento inverso en el método gaussiano. La ecuación (3) contiene el valor z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Y la primera ecuación nos permite encontrar x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Tenemos derecho a llamar a este sistema conjunto, e incluso definitivo, es decir, que tiene una solución única. La respuesta está escrita de la siguiente forma:

x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un ejemplo de un sistema incierto

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Primero, como de costumbre, se compila una matriz extendida.

Multiplicando los elementos de la primera fila por cada uno de sus coeficientes y sumándolos a las filas requeridas, obtenemos una matriz de la siguiente forma:

En la segunda ecuación solo hay una variable básica: x 2. Esto quiere decir que se puede expresar a partir de ahí escribiéndolo a través de las variables x 3 , x 4 , x 5 , que son libres.

Sustituimos la expresión resultante en la primera ecuación.

El resultado es una ecuación en la que la única variable básica es x 1. Hagamos con él lo mismo que con x 2.

Todas las variables básicas, de las cuales hay dos, se expresan en términos de tres libres; ahora podemos escribir la respuesta en forma general.

También puede especificar una de las soluciones particulares del sistema. Para tales casos, generalmente se eligen ceros como valores para las variables libres. Entonces la respuesta será:

16, 23, 0, 0, 0.

Un ejemplo de un sistema no cooperativo

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Como es habitual, se elabora la matriz:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Y se reduce a una forma gradual:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Después de la primera transformación, la tercera línea contiene una ecuación de la forma

sin solución. En consecuencia, el sistema es inconsistente y la respuesta será el conjunto vacío.

Ventajas y desventajas del método.

Solicitud

Hoy veremos el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Puede leer sobre qué son estos sistemas en el artículo anterior dedicado a resolver los mismos SLAE utilizando el método Cramer. El método Gauss no requiere ningún conocimiento específico, sólo se necesita atención y constancia. A pesar de que, desde el punto de vista matemático, la formación escolar es suficiente para aplicarlo, los estudiantes suelen tener dificultades para dominar este método. ¡En este artículo intentaremos reducirlos a nada!

método de gauss

METRO método gaussiano– el método más universal para resolver SLAE (con la excepción de sistemas muy grandes). A diferencia de lo comentado anteriormente, es adecuado no sólo para sistemas que tienen una única solución, sino también para sistemas que tienen un número infinito de soluciones. Hay tres opciones posibles aquí.

El sistema tiene una solución única (el determinante de la matriz principal del sistema no es igual a cero);
El sistema tiene un número infinito de soluciones;
No hay soluciones, el sistema es incompatible.

Entonces tenemos un sistema (que tenga una solución) y lo vamos a resolver usando el método gaussiano. ¿Cómo funciona?

El método de Gauss consta de dos etapas: directa e inversa.

Trazo directo del método gaussiano.

Primero, escribamos la matriz extendida del sistema. Para hacer esto, agregue una columna de miembros libres a la matriz principal.

La esencia del método de Gauss es llevar esta matriz a una forma escalonada (o, como también se dice, triangular) mediante transformaciones elementales. De esta forma, sólo debería haber ceros debajo (o encima) de la diagonal principal de la matriz.

Lo que puedes hacer:

Puedes reorganizar las filas de la matriz;
Si hay filas iguales (o proporcionales) en una matriz, puede eliminar todas menos una;
Puedes multiplicar o dividir una cadena por cualquier número (excepto cero);
Se eliminan las filas nulas;
Puede agregar una cadena multiplicada por un número distinto de cero a una cadena.

Método gaussiano inverso

Después de transformar el sistema de esta manera, una incógnita xn se conoce, y puedes encontrar todas las incógnitas restantes en orden inverso, sustituyendo las x ya conocidas en las ecuaciones del sistema, hasta la primera.

Cuando Internet está siempre a mano, puedes resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método gaussiano. en línea. Sólo necesitas ingresar los coeficientes en la calculadora en línea. Pero debes admitir que es mucho más agradable saber que el ejemplo no lo resolvió un programa de computadora, sino tu propio cerebro.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones usando el método de Gauss.

Y ahora, un ejemplo para que todo quede claro y comprensible. Sea un sistema de ecuaciones lineales y debe resolverlo usando el método de Gauss:

Primero, escribamos la matriz extendida:

Ahora hagamos las transformaciones. Recordamos que necesitamos lograr una apariencia triangular de la matriz. Multipliquemos la primera línea por (3). Multiplica la segunda línea por (-1). Agregue la segunda línea a la primera y obtenga:

Luego multiplica la tercera línea por (-1). Agreguemos la tercera línea a la segunda:

Multipliquemos la primera línea por (6). Multipliquemos la segunda línea por (13). Agreguemos la segunda línea a la primera:

Listo: el sistema adopta la forma adecuada. Queda por encontrar las incógnitas:

El sistema en este ejemplo tiene una solución única. Consideraremos la resolución de sistemas con un número infinito de soluciones en un artículo aparte. Quizás al principio no sepa por dónde empezar a transformar la matriz, pero después de la práctica adecuada lo dominará y descifrará los SLAE utilizando el método gaussiano como nueces. Y si de repente te encuentras con un SLA que resulta demasiado difícil de descifrar, ¡contacta a nuestros autores! Puede hacerlo dejando una solicitud en la Oficina de Correspondencia. ¡Juntos solucionaremos cualquier problema!

1. Sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

1.1 El concepto de sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Un sistema de ecuaciones es una condición que consiste en la ejecución simultánea de varias ecuaciones respecto de varias variables. Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (en adelante SLAE) que contiene m ecuaciones yn incógnitas se denomina sistema de la forma:

donde los números a ij se llaman coeficientes del sistema, los números b i se llaman términos libres, un ij Y b yo(i=1,…, m; b=1,…, n) representan algunos números conocidos, y x 1 ,…, x norte- desconocido. En la designación de coeficientes. un ij el primer índice i denota el número de la ecuación, y el segundo j es el número de la incógnita en la que se encuentra este coeficiente. Se deben encontrar los números x n. Es conveniente escribir dicho sistema en forma matricial compacta: HACHA=B. Aquí A es la matriz de coeficientes del sistema, llamada matriz principal;

– vector columna de incógnitas xj.
es un vector de columna de términos libres bi.

El producto de las matrices A*X está definido, ya que hay tantas columnas en la matriz A como filas en la matriz X (n piezas).

La matriz extendida de un sistema es la matriz A del sistema, complementada por una columna de términos libres

1.2 Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto ordenado de números (valores de variables), al sustituirlos en lugar de variables, cada una de las ecuaciones del sistema se convierte en una verdadera igualdad.

Una solución a un sistema son n valores de las incógnitas x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, tras la sustitución de los cuales todas las ecuaciones del sistema se convierten en verdaderas igualdades. Cualquier solución del sistema se puede escribir como una matriz de columnas.

Un sistema de ecuaciones se dice consistente si tiene al menos una solución e inconsistente si no tiene ninguna solución.

Un sistema consistente se dice determinado si tiene una única solución e indefinido si tiene más de una solución. En este último caso, cada una de sus soluciones se denomina solución particular del sistema. Al conjunto de todas las soluciones particulares se le llama solución general.

Resolver un sistema significa descubrir si es compatible o inconsistente. Si el sistema es consistente, encuentre su solución general.

Dos sistemas se llaman equivalentes (equivalentes) si tienen la misma solución general. En otras palabras, los sistemas son equivalentes si cada solución de uno de ellos es solución del otro, y viceversa.

Una transformación, cuya aplicación convierte un sistema en un nuevo sistema equivalente al original, se denomina transformación equivalente o equivalente. Ejemplos de transformaciones equivalentes incluyen las siguientes transformaciones: intercambiar dos ecuaciones de un sistema, intercambiar dos incógnitas junto con los coeficientes de todas las ecuaciones, multiplicar ambos lados de cualquier ecuación de un sistema por un número distinto de cero.

Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todos los términos libres son iguales a cero:

Un sistema homogéneo siempre es consistente, ya que x1=x2=x3=…=xn=0 es una solución del sistema. Esta solución se llama cero o trivial.

2. Método de eliminación gaussiano

2.1 La esencia del método de eliminación gaussiano

El método clásico para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales es el método de eliminación secuencial de incógnitas. método gaussiano(También se le llama método de eliminación gaussiano). Este es un método de eliminación secuencial de variables, cuando, mediante transformaciones elementales, un sistema de ecuaciones se reduce a un sistema equivalente de forma escalonada (o triangular), a partir del cual todas las demás variables se encuentran secuencialmente, comenzando por la última (por número) variables.

El proceso de solución mediante el método gaussiano consta de dos etapas: movimientos hacia adelante y hacia atrás.

1. Trazo directo.

En la primera etapa se lleva a cabo el llamado movimiento directo, cuando, mediante transformaciones elementales a lo largo de las filas, se lleva el sistema a una forma escalonada o triangular, o se establece que el sistema es incompatible. Es decir, entre los elementos de la primera columna de la matriz, se selecciona uno distinto de cero, se mueve a la posición superior reorganizando las filas y la primera fila obtenida después de la reordenación se resta de las filas restantes, multiplicándola. en una cantidad igual a la relación entre el primer elemento de cada una de estas filas y el primer elemento de la primera fila, poniendo así a cero la columna debajo de ella.

Una vez completadas las transformaciones indicadas, se tachan mentalmente la primera fila y la primera columna y se continúa hasta que quede una matriz de tamaño cero. Si en cualquier iteración no hay ningún elemento distinto de cero entre los elementos de la primera columna, vaya a la siguiente columna y realice una operación similar.

En la primera etapa (carrera directa), el sistema se reduce a una forma escalonada (en particular, triangular).

El siguiente sistema tiene una forma gradual:

Los coeficientes aii se denominan elementos principales (principales) del sistema.

(si a11=0, reorganice las filas de la matriz de modo que a 11 no era igual a 0. Esto siempre es posible, porque de lo contrario la matriz contiene una columna cero, su determinante es igual a cero y el sistema es inconsistente).

Transformemos el sistema eliminando la incógnita x1 en todas las ecuaciones excepto en la primera (usando transformaciones elementales del sistema). Para hacer esto, multiplica ambos lados de la primera ecuación por

y sumar término por término con la segunda ecuación del sistema (o de la segunda ecuación restar término por término por la primera, multiplicado por ). Luego multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por y los sumamos a la tercera ecuación del sistema (o de la tercera restamos la primera multiplicada por ). Por lo tanto, multiplicamos secuencialmente la primera línea por un número y sumamos a iª línea, para yo = 2, 3, …,norte.

Siguiendo este proceso obtenemos un sistema equivalente:

– nuevos valores de coeficientes para incógnitas y términos libres en las últimas m-1 ecuaciones del sistema, que están determinados por las fórmulas:

Por lo tanto, en el primer paso, se destruyen todos los coeficientes que se encuentran debajo del primer elemento principal a 11.

0, en el segundo paso se destruyen los elementos que se encuentran debajo del segundo elemento principal a 22 (1) (si a 22 (1) 0), etc. Continuando con este proceso, finalmente, en el paso (m-1), reducimos el sistema original a un sistema triangular.

Si, en el proceso de reducir el sistema a una forma escalonada, aparecen ecuaciones cero, es decir igualdades de la forma 0=0, se descartan. Si aparece una ecuación de la forma

entonces esto indica la incompatibilidad del sistema.

Aquí termina la progresión directa del método de Gauss.

2. Carrera inversa.

En la segunda etapa se lleva a cabo el llamado movimiento inverso, cuya esencia es expresar todas las variables básicas resultantes en términos de no básicas y construir un sistema fundamental de soluciones o, si todas las variables son básicas. , luego expresa numéricamente la única solución del sistema de ecuaciones lineales.

Este procedimiento comienza con la última ecuación, a partir de la cual se expresa la variable básica correspondiente (en ella sólo hay una) y se sustituye en las ecuaciones anteriores, y así sucesivamente, subiendo los “escalones”.

Cada línea corresponde exactamente a una variable base, por lo que en cada paso excepto el último (el superior), la situación repite exactamente el caso de la última línea.

Nota: en la práctica, es más conveniente trabajar no con el sistema, sino con su matriz extendida, realizando todas las transformaciones elementales en sus filas. Es conveniente que el coeficiente a11 sea igual a 1 (reordenar las ecuaciones o dividir ambos lados de la ecuación entre a11).

2.2 Ejemplos de resolución de SLAE utilizando el método gaussiano

En esta sección, utilizando tres ejemplos diferentes, mostraremos cómo el método gaussiano puede resolver SLAE.

Ejemplo 1. Resolver un SLAE de tercer orden.

Restablezcamos los coeficientes en

en la segunda y tercera línea. Para ello, multiplícalos por 2/3 y 1, respectivamente, y súmalos en la primera línea:

Desde principios de los siglos XVI-XVIII, los matemáticos comenzaron a estudiar intensamente las funciones, gracias a las cuales muchas cosas han cambiado en nuestras vidas. La tecnología informática simplemente no existiría sin este conocimiento. Se han creado varios conceptos, teoremas y técnicas de solución para resolver problemas complejos, ecuaciones lineales y funciones. Uno de esos métodos y técnicas universales y racionales para resolver ecuaciones lineales y sus sistemas fue el método de Gauss. Matrices, su rango, determinante: todo se puede calcular sin utilizar operaciones complejas.

¿Qué es SLAU?

En matemáticas, existe el concepto de SLAE, un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. ¿Cómo es ella? Este es un conjunto de m ecuaciones con las n cantidades desconocidas requeridas, generalmente indicadas como x, y, z o x 1, x 2 ... x n, u otros símbolos. Resolver un sistema dado utilizando el método gaussiano significa encontrar todas las incógnitas. Si un sistema tiene el mismo número de incógnitas y ecuaciones, entonces se llama sistema de enésimo orden.

Los métodos más populares para resolver SLAE

En las instituciones educativas de educación secundaria se estudian diversos métodos para resolver dichos sistemas. La mayoría de las veces se trata de ecuaciones simples que constan de dos incógnitas, por lo que cualquier método existente para encontrar la respuesta no llevará mucho tiempo. Esto puede ser como un método de sustitución, cuando se deriva otra de una ecuación y se sustituye en la original. O el método de resta y suma término por término. Pero el método de Gauss se considera el más sencillo y universal. Permite resolver ecuaciones con cualquier número de incógnitas. ¿Por qué esta técnica particular se considera racional? Es sencillo. Lo bueno del método matricial es que no requiere reescribir símbolos innecesarios varias veces como incógnitas; basta con realizar operaciones aritméticas con los coeficientes y obtendrá un resultado confiable.

¿Dónde se utilizan los SLAE en la práctica?

La solución a los SLAE son los puntos de intersección de líneas en las gráficas de funciones. En nuestra era de la informática de alta tecnología, las personas que están estrechamente relacionadas con el desarrollo de juegos y otros programas necesitan saber cómo resolver dichos sistemas, qué representan y cómo comprobar la exactitud del resultado resultante. Muy a menudo, los programadores desarrollan programas especiales de calculadora de álgebra lineal, esto incluye un sistema de ecuaciones lineales. El método de Gauss le permite calcular todas las soluciones existentes. También se utilizan otras fórmulas y técnicas simplificadas.

Criterio de compatibilidad SLAU

Un sistema así sólo puede solucionarse si es compatible. Para mayor claridad, representemos el SLAE en la forma Ax=b. Tiene solución si rang(A) es igual a rang(A,b). En este caso, (A,b) es una matriz en forma extendida que se puede obtener de la matriz A reescribiéndola con términos libres. Resulta que resolver ecuaciones lineales utilizando el método gaussiano es bastante fácil.

Quizás algunos de los símbolos no sean del todo claros, por lo que es necesario considerar todo con un ejemplo. Digamos que hay un sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Consta de sólo dos ecuaciones, en las que hay 2 incógnitas. El sistema tendrá solución sólo si el rango de su matriz es igual al rango de la matriz extendida. ¿Qué es el rango? Este es el número de líneas independientes del sistema. En nuestro caso, el rango de la matriz es 2. La matriz A estará formada por coeficientes ubicados cerca de las incógnitas, y los coeficientes ubicados detrás del signo "=" también encajarán en la matriz extendida.

¿Por qué se pueden representar los SLAE en forma matricial?

Según el criterio de compatibilidad según el probado teorema de Kronecker-Capelli, es posible representar un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial. Utilizando el método de la cascada gaussiana, puede resolver la matriz y obtener una única respuesta confiable para todo el sistema. Si el rango de una matriz ordinaria es igual al rango de su matriz extendida, pero es menor que el número de incógnitas, entonces el sistema tiene un número infinito de respuestas.

Transformaciones matriciales

Antes de pasar a resolver matrices, es necesario saber qué acciones se pueden realizar sobre sus elementos. Hay varias transformaciones elementales:

Al reescribir el sistema en forma matricial y resolverlo, puedes multiplicar todos los elementos de la serie por el mismo coeficiente.
Para transformar la matriz en forma canónica, puedes intercambiar dos filas paralelas. La forma canónica implica que todos los elementos de la matriz que se encuentran a lo largo de la diagonal principal se convierten en unos y los restantes en ceros.
Los elementos correspondientes de filas paralelas de la matriz se pueden sumar entre sí.

Método Jordan-Gauss

La esencia de resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas utilizando el método gaussiano es eliminar gradualmente las incógnitas. Digamos que tenemos un sistema de dos ecuaciones en el que hay dos incógnitas. Para encontrarlos, debe verificar la compatibilidad del sistema. La ecuación se resuelve de forma muy sencilla mediante el método de Gauss. Es necesario anotar en forma matricial los coeficientes ubicados cerca de cada incógnita. Para resolver el sistema, necesitarás escribir la matriz extendida. Si una de las ecuaciones contiene un número menor de incógnitas, entonces se debe colocar "0" en lugar del elemento que falta. A la matriz se aplican todos los métodos de transformación conocidos: multiplicación, división por un número, suma de los elementos correspondientes de la serie entre sí, etc. Resulta que en cada fila es necesario dejar una variable con el valor “1”, el resto se debe reducir a cero. Para una comprensión más precisa, es necesario considerar el método de Gauss con ejemplos.

Un ejemplo sencillo de resolución de un sistema 2x2.

Para empezar, tomemos un sistema simple de ecuaciones algebraicas, en el que habrá 2 incógnitas.

Reescribámoslo en una matriz extendida.

Para resolver este sistema de ecuaciones lineales sólo se requieren dos operaciones. Necesitamos llevar la matriz a su forma canónica para que haya unidades a lo largo de la diagonal principal. Entonces, transfiriendo de la forma matricial al sistema, obtenemos las ecuaciones: 1x+0y=b1 y 0x+1y=b2, donde b1 y b2 son las respuestas resultantes en el proceso de solución.

La primera acción al resolver una matriz extendida será la siguiente: la primera fila debe multiplicarse por -7 y agregar los elementos correspondientes a la segunda fila para eliminar una incógnita en la segunda ecuación.
Dado que resolver ecuaciones utilizando el método de Gauss implica reducir la matriz a una forma canónica, entonces es necesario realizar las mismas operaciones con la primera ecuación y eliminar la segunda variable. Para hacer esto, restamos la segunda línea de la primera y obtenemos la respuesta requerida: la solución del SLAE. O, como se muestra en la figura, multiplicamos la segunda fila por un factor de -1 y sumamos los elementos de la segunda fila a la primera fila. Es lo mismo.

Como podemos ver, nuestro sistema fue resuelto mediante el método de Jordan-Gauss. Lo reescribimos en la forma requerida: x=-5, y=7.

Un ejemplo de una solución SLAE 3x3

Supongamos que tenemos un sistema más complejo de ecuaciones lineales. El método de Gauss permite calcular la respuesta incluso para el sistema aparentemente más confuso. Por tanto, para profundizar en la metodología de cálculo, se puede pasar a un ejemplo más complejo con tres incógnitas.

Como en el ejemplo anterior, reescribimos el sistema en forma de matriz extendida y comenzamos a llevarlo a su forma canónica.

Para resolver este sistema, necesitarás realizar muchas más acciones que en el ejemplo anterior.

Primero necesitas hacer que la primera columna sea un elemento unitario y el resto ceros. Para hacer esto, multiplica la primera ecuación por -1 y súmale la segunda ecuación. Es importante recordar que reescribimos la primera línea en su forma original y la segunda en su forma modificada.
A continuación, eliminamos esta misma primera incógnita de la tercera ecuación. Para hacer esto, multiplica los elementos de la primera fila por -2 y súmalos a la tercera fila. Ahora la primera y segunda línea se reescriben en su forma original, y la tercera, con cambios. Como puede ver en el resultado, obtuvimos el primero al comienzo de la diagonal principal de la matriz y los ceros restantes. Unos pocos pasos más y el sistema de ecuaciones mediante el método gaussiano se resolverá de forma fiable.
Ahora necesitas realizar operaciones en otros elementos de las filas. La tercera y cuarta acción se pueden combinar en una sola. Necesitamos dividir la segunda y tercera línea entre -1 para eliminar las líneas negativas en la diagonal. Ya hemos llevado la tercera línea al formulario requerido.
A continuación llevamos la segunda línea a la forma canónica. Para ello multiplicamos los elementos de la tercera fila por -3 y los sumamos a la segunda fila de la matriz. Del resultado se desprende claramente que la segunda línea también se reduce a la forma que necesitamos. Queda por realizar algunas operaciones más y eliminar los coeficientes de las incógnitas de la primera línea.
Para obtener 0 a partir del segundo elemento de una fila, debes multiplicar la tercera fila por -3 y sumarla a la primera fila.
El siguiente paso decisivo será agregar los elementos necesarios de la segunda fila a la primera fila. De esta forma obtenemos la forma canónica de la matriz y, en consecuencia, la respuesta.

Como puedes ver, resolver ecuaciones utilizando el método de Gauss es bastante sencillo.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones 4x4.

Algunos sistemas de ecuaciones más complejos se pueden resolver utilizando el método gaussiano utilizando programas de computadora. Es necesario ingresar los coeficientes de las incógnitas en las celdas vacías existentes, y el programa calculará paso a paso el resultado requerido, describiendo en detalle cada acción.

A continuación se describen instrucciones paso a paso para resolver un ejemplo de este tipo.

En el primer paso, se ingresan coeficientes libres y números para incógnitas en celdas vacías. Así, obtenemos la misma matriz extendida que escribimos manualmente.

Y se realizan todas las operaciones aritméticas necesarias para llevar la matriz extendida a su forma canónica. Es necesario entender que la respuesta a un sistema de ecuaciones no siempre son números enteros. A veces la solución puede provenir de números fraccionarios.

Comprobando la corrección de la solución.

El método Jordan-Gauss permite comprobar la exactitud del resultado. Para saber si los coeficientes se calcularon correctamente, basta con sustituir el resultado en el sistema de ecuaciones original. El lado izquierdo de la ecuación debe coincidir con el lado derecho detrás del signo igual. Si las respuestas no coinciden, entonces debe recalcular el sistema o intentar aplicarle otro método para resolver SLAE que conozca, como la sustitución o la resta y suma término por término. Después de todo, las matemáticas son una ciencia que tiene una gran cantidad de métodos de solución diferentes. Pero recuerda: el resultado siempre debe ser el mismo, sin importar el método de solución que utilices.

Método de Gauss: los errores más comunes a la hora de resolver SLAE

Al resolver sistemas lineales de ecuaciones, los errores más frecuentes se producen, como la transferencia incorrecta de coeficientes a forma matricial. Hay sistemas en los que faltan algunas incógnitas en una de las ecuaciones y luego, al transferir datos a una matriz extendida, se pueden perder. Como resultado, al resolver este sistema, es posible que el resultado no se corresponda con el real.

Otro error importante puede ser escribir incorrectamente el resultado final. Es necesario entender claramente que el primer coeficiente corresponderá a la primera incógnita del sistema, el segundo a la segunda, y así sucesivamente.

El método de Gauss describe en detalle la solución de ecuaciones lineales. Gracias a él, es fácil realizar las operaciones necesarias y encontrar el resultado correcto. Además, esta es una herramienta universal para encontrar una respuesta confiable a ecuaciones de cualquier complejidad. Quizás por eso se usa con tanta frecuencia al resolver SLAE.

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