Objetivos de la lección:

• repetir el material estudiado sobre el tema del sistema numérico;
• aprender a convertir un número del sistema decimal a cualquier otro sistema numérico posicional y viceversa;
• dominar los principios de conversión de números de un sistema a otro;
• Desarrollar el pensamiento lógico.

Progreso de la lección

Al comienzo de la lección, una breve revisión y verificación de la tarea.

¿De qué forma se presenta la información numérica en la memoria de la computadora?

¿Para qué se utilizan los sistemas numéricos?

¿Qué tipos de sistemas numéricos conoces? Da tus propios ejemplos.

¿En qué se diferencian los sistemas posicionales de los no posicionales?

El objetivo de nuestra lección es aprender cómo convertir un número del sistema decimal a cualquier otro sistema numérico posicional y viceversa. Pero primero veremos cómo puedes

representar cualquier número entero no negativo:

En sistemas posicionales, el valor de escribir un número entero está determinado por la siguiente regla: sea a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 la escritura del número A, e i son dígitos, entonces

donde p es un número entero mayor que 1, que se llama base del sistema numérico

Para que, para una p dada, cualquier número entero no negativo pueda escribirse según la fórmula (1) y, además, de forma única, los valores numéricos de los distintos dígitos deben ser enteros diferentes pertenecientes al segmento de 0 a p-1.

1) sistema decimal

números: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

número 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0

2) sistema ternario

números: 0,1,2

número 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0

Nota: el subíndice de un número indica la base del sistema numérico en el que está escrito el número. Para el sistema numérico decimal, no es necesario escribir el índice.

Representación de números negativos y fraccionarios:

En todos los sistemas posicionales, el signo "-" se utiliza para escribir números negativos, al igual que en el sistema decimal. Se utiliza una coma para separar la parte entera de un número de la parte fraccionaria. El valor de la entrada a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m del número A está determinado por la fórmula, que es una generalización de fórmula (1):

75,6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1

–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)

Convertir números de un sistema numérico arbitrario a decimal:

Debe entenderse que al traducir un número de un sistema numérico a otro, el valor cuantitativo del número no cambia, solo cambia la forma de escribir el número, así como al traducir el nombre de un número, por ejemplo, de Ruso al inglés.

La conversión de números de un sistema numérico arbitrario a decimal se realiza mediante cálculo directo utilizando la fórmula (1) para números enteros y la fórmula (2) para fracciones.

Conversión de números del sistema numérico decimal a un sistema numérico arbitrario.

Convertir un número del sistema decimal a un sistema con base p significa encontrar los coeficientes en la fórmula (2). A veces esto es fácil de hacer con una simple selección. Por ejemplo, digamos que necesitas convertir el número 23,5 al sistema octal. Es fácil ver que 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27,48. Está claro que la respuesta no siempre es tan obvia. En general, se utiliza el método de convertir las partes enteras y fraccionarias de un número por separado.

Para convertir números enteros se utiliza el siguiente algoritmo (obtenido según la fórmula (1)):

1. Encuentra el cociente y el resto al dividir un número por p. El resto será el siguiente dígito ai (j=0,1,2...) del número en el nuevo sistema numérico.

2. Si el cociente es igual a cero, entonces se completa la traducción del número, en caso contrario aplicamos el punto 1 al cociente.

Nota 1. Los dígitos ai en la notación numérica están numerados de derecha a izquierda.

Nota 2. Si p>10, entonces es necesario introducir notación para números con valores numéricos mayores o iguales a 10.

Convierte el número 165 al sistema numérico septal.

165:7 = 23 (resto 4) => a 0 = 4

23:7 = 3 (resto 2) => a 1 = 2

3:7 = 0 (resto 3) => a 2 = 3

Anotemos el resultado: a 2 a 1 a 0 , es decir 3247.

Habiendo verificado usando la fórmula (1), nos aseguraremos de que la traducción sea correcta:

3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

Para convertir partes fraccionarias de números, se utiliza un algoritmo obtenido según la fórmula (2):

1. Multiplica la parte fraccionaria del número por p.

2. La parte entera del resultado será el siguiente dígito am (m = –1, –2, –3...) del número escrito en el nuevo sistema numérico. Si la parte fraccionaria del resultado es cero, entonces se completa la traducción del número; de lo contrario, le aplicamos el paso 1.

Nota 1. Los dígitos a m en la notación numérica están ordenados de izquierda a derecha en orden creciente del valor absoluto de m.

Nota 2. Por lo general, el número de dígitos fraccionarios en una nueva entrada numérica está limitado de antemano. Esto le permite realizar una traducción aproximada con una precisión determinada. En el caso de fracciones infinitas, dicha restricción asegura la finitud del algoritmo.

Convierte el número 0,625 al sistema numérico binario.

0,625 2 = 1,25 (parte entera 1) => a -1 =1

0,25 2 = 0,5 (parte entera 0) => a- 2 = 0

0,5 2 = 1,00 (parte entera 1) => a- 3 = 1

Entonces 0,62510 = 0,1012

Habiendo verificado usando la fórmula (2), nos aseguraremos de que la traducción sea correcta:

0,1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Convierte el número 0,165 al sistema numérico cuaternario, limitándolo a cuatro dígitos cuaternarios.

0,165 4 = 0,66 (parte entera 0) => a -1 =0

0,66 4 = 2,64 (parte entera 2) => a -2 = 2

0,64 4 = 2,56 (parte entera 2) => a -3 = 2

0,56 4 = 2,24 (parte entera 2) => a -4 = 2

Entonces 0,16510" 0,02224

Hagamos una traducción inversa para asegurarnos de que el error absoluto no exceda 4–4:

0,02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Convertir números de un sistema arbitrario a otro

En este caso, primero debe convertir el número al sistema decimal y luego del sistema decimal al requerido.

Se utiliza un método especial para convertir números para sistemas con múltiples bases.

Sean p y q las bases de dos sistemas numéricos. A estos sistemas los llamaremos sistemas numéricos con bases múltiples si p = qn o q = pn, donde n es un número natural. Entonces, por ejemplo, los sistemas numéricos con bases 2 y 8 son sistemas numéricos de bases múltiples.

Sea p = qn y necesita convertir un número de un sistema numérico con base q a un sistema numérico con base p. Dividamos las partes enteras y fraccionarias del número en grupos de n dígitos escritos secuencialmente a la izquierda y a la derecha del punto decimal. Si el número de dígitos en la parte entera de un número no es múltiplo de n, entonces debes sumar el número correspondiente de ceros a la izquierda. Si el número de dígitos en la parte fraccionaria de un número no es múltiplo de n, entonces se agregan ceros a la derecha. Cada uno de estos grupos de dígitos de un número en el antiguo sistema numérico corresponderá a un dígito de un número en el nuevo sistema numérico.

Convirtamos 1100001.111 2 al sistema numérico cuaternario.

Sumando ceros y seleccionando pares de números, obtenemos 01100001.11102.

Ahora traduzcamos cada par de dígitos por separado, usando la sección Traducir números de un sistema arbitrario a otro.

Entonces, 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.

Supongamos ahora que necesitamos pasar de un sistema con una base q mayor a un sistema con una base p menor, es decir q = pn. En este caso, un dígito de un número en el antiguo sistema numérico corresponde a n dígitos de un número en el nuevo sistema numérico.

Ejemplo: verifiquemos la traducción anterior de un número.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

En el sistema hexadecimal existen dígitos con valores numéricos 10,11,12, 13,14,15. Para designarlos, utilice las primeras seis letras del alfabeto latino A, B, C, D, E, F.

Aquí tienes una tabla de números del 0 al 16, escrita en sistemas numéricos con bases 10, 2, 8 y 16.

Número en sistema decimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
En octal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
En binario	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
En hexadecimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	do	D	mi	F	10

Para escribir dígitos hexadecimales, también puedes utilizar letras latinas minúsculas a-f.

Ejemplo: Convirtamos el número 110101001010101010100.11 2 al sistema numérico hexadecimal.

Usemos la multiplicidad de las bases de los sistemas numéricos (16=2 4). Agrupemos los números por cuatro, sumando la cantidad requerida de ceros a la izquierda y a la derecha.

000110101001010101010100,1100 2

y revisando la tabla obtenemos: 1A9554,C 16

Conclusión:

Cuál sistema numérico es mejor para escribir números es una cuestión de conveniencia y tradición. Desde un punto de vista técnico, es conveniente utilizar el sistema binario en una computadora, ya que utiliza sólo dos dígitos 0 y 1 para registrar un número, el cual puede representarse mediante dos estados fácilmente distinguibles “sin señal” y “no hay señal”. una señal”.

Por el contrario, es inconveniente para una persona lidiar con números binarios debido a que son más largos que los números decimales y contienen muchos dígitos repetidos. Por lo tanto, si es necesario, trabaje con representaciones mecánicas de números, utilice sistemas numéricos octales o hexadecimales. Las bases de estos sistemas son potencias enteras de dos y, por lo tanto, los números se convierten fácilmente de estos sistemas a binarios y viceversa.

Anota la tarea asignada:

a) Anota la fecha de nacimiento de todos los miembros de tu familia en diferentes sistemas numéricos.

b) Convierta números de binario a octal y hexadecimal, y luego verifique los resultados realizando las conversiones inversas:

a) 1001111110111.011 2;

¿Existe alguna dificultad o malentendido al convertir números de binario a hexadecimal? Regístrate conmigo para recibir lecciones individuales de informática y TIC. En nuestras lecciones privadas, mis alumnos y yo analizamos no solo la parte teórica, sino que también resolvemos una gran cantidad de ejercicios temáticos diferentes.

Necesitas saber qué es un sistema numérico binario o binario

Antes de pensar en cómo convertir un número del 2 al 16, es necesario tener una buena comprensión de qué números hay en el sistema numérico binario. Permítanme recordarles que el alfabeto del sistema numérico binario consta de dos elementos válidos: 0 Y 1 . Esto significa que absolutamente cualquier número escrito en binario estará formado por un conjunto de ceros y unos. A continuación se muestran ejemplos de números escritos en representación binaria: 10010, 100, 111101010110, 1000001.

Necesitas saber qué es el sistema numérico hexadecimal

Descubrimos el sistema binario, recordamos los puntos básicos, ahora hablemos del sistema hexadecimal. El alfabeto del sistema numérico hexadecimal consta de dieciséis caracteres diferentes: 10 números arábigos (del 0 al 9) y 6 primeras letras latinas mayúsculas (de la “A” a la “F”). Esto significa que absolutamente cualquier número escrito en hexadecimal estará formado por caracteres del alfabeto anterior. A continuación se muestran ejemplos de números escritos en notación hexadecimal:

810A

FCDF

198303

100FFF0

Hablemos del algoritmo para convertir un número del 2 al sistema numérico hexadecimal.

Definitivamente necesitaremos considerar la tabla de codificación Tetrad. Sin utilizar esta tabla, será bastante difícil convertir rápidamente números del sistema 2 al 16.

El propósito de la tabla de codificación Tetrad es hacer coincidir de forma única los símbolos del sistema numérico binario y el sistema numérico hexadecimal.

La tabla Tetrada tiene la siguiente estructura:

tabla de tétrada
0000 - 0	0001 - 1	0010 - 2	0011 - 3	0100 - 4	0101 - 5	0110 - 6	0111 - 7
1000 - 8	1001 - 9	1010 - A	1011 - B	1100 - do	1101 - D	1110 - mi	1111 - F

Digamos que necesitamos convertir el número 101011111001010 2 a hexadecimal. En primer lugar, es necesario dividir el código binario fuente en grupos de cuatro bits y, lo que es muy importante, la división debe comenzar de derecha a izquierda.

101 . 0111 . 1100 . 1010

Después de la división, obtuvimos cuatro grupos: 101, 0111, 1100 y 1010. El segmento más a la izquierda, es decir, el segmento 101, requiere atención especial, como puede ver, su longitud es de 3 dígitos y es necesario que su longitud sea igual. a cuatro, por lo tanto, complementaremos este segmento con ceros iniciales:

101 -> 0 101.

Dime, ¿sobre qué base sumamos un 0 a la izquierda del número? El caso es que sumar ceros insignificantes no tiene ningún efecto sobre el valor del número original. En consecuencia, tenemos todo el derecho a añadir no sólo un cero a la izquierda de un número binario, sino, en principio, cualquier número de ceros y obtener un número de la longitud requerida.

En la etapa final de la conversión, es necesario convertir cada uno de los grupos binarios resultantes al valor correspondiente de acuerdo con la tabla de codificación Tetrad.

0101 -> 5

0111 -> 7

1100 -> do

1010 -> A

101011111001010 2 = 57CA 16

Y ahora le sugiero que se familiarice con la solución multimedia, que muestra cómo se convierte de un estado binario a hexadecimal:

Breves conclusiones

En este breve artículo discutimos el tema “ Sistemas numéricos: cómo convertir del 2 al 16" Si tiene alguna pregunta o malentendido, llame e inscríbase en mis lecciones individuales de informática y programación. Te ofreceré resolver decenas de ejercicios similares y no te quedará ni una sola pregunta. En general, los sistemas numéricos son un tema extremadamente importante que forma la base que se utiliza a lo largo del curso.

Métodos para convertir números de un sistema numérico a otro.

Convertir números de un sistema numérico posicional a otro: convertir números enteros.

Para convertir un número entero de un sistema numérico con base d1 a otro con base d2, debes dividir secuencialmente este número y los cocientes resultantes por la base d2 del nuevo sistema hasta obtener un cociente menor que la base d2. El último cociente es el dígito más significativo de un número en el nuevo sistema numérico con base d2, y los dígitos que le siguen son restos de la división, escritos en el orden inverso a su aparición. Realizar operaciones aritméticas en el sistema numérico en el que está escrito el número que se traduce.

Ejemplo 1. Convierta el número 11(10) al sistema numérico binario.

Respuesta: 11(10)=1011(2).

Ejemplo 2. Convierta el número 122(10) al sistema numérico octal.

Respuesta: 122(10)=172(8).

Ejemplo 3. Convierta el número 500(10) al sistema numérico hexadecimal.

Respuesta: 500(10)=1F4(16).

Convertir números de un sistema numérico posicional a otro: convertir fracciones propias.

Para convertir una fracción propia de un sistema numérico con base d1 a un sistema con base d2, es necesario multiplicar secuencialmente la fracción original y las partes fraccionarias de los productos resultantes por la base del nuevo sistema numérico d2. La fracción correcta de un número en el nuevo sistema numérico con base d2 se forma como partes enteras de los productos resultantes, comenzando desde el primero.
Si la traducción da como resultado una fracción en forma de serie infinita o divergente, el proceso se puede completar cuando se logra la precisión requerida.

Al traducir números mixtos, es necesario traducir por separado las partes enteras y fraccionarias a un nuevo sistema de acuerdo con las reglas para traducir números enteros y fracciones propias, y luego combinar ambos resultados en un número mixto en el nuevo sistema numérico.

Ejemplo 1. Convierta el número 0,625(10) al sistema numérico binario.

Respuesta: 0,625(10)=0,101(2).

Ejemplo 2. Convierta el número 0,6(10) al sistema numérico octal.

Respuesta: 0,6(10)=0,463(8).

Ejemplo 2. Convierta el número 0,7 (10) al sistema numérico hexadecimal.

Respuesta: 0,7(10)=0,B333(16).

Convierta números binarios, octales y hexadecimales al sistema numérico decimal.

Para convertir un número del sistema P-ario a uno decimal, debes usar la siguiente fórmula de expansión:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Ejemplo 1. Convierta el número 101.11(2) al sistema numérico decimal.

Respuesta: 101,11(2)= 5,75(10).

Ejemplo 2. Convierta el número 57,24(8) al sistema numérico decimal.

Respuesta: 57,24(8) = 47,3125(10).

Ejemplo 3. Convierta el número 7A,84(16) al sistema numérico decimal.

Respuesta: 7A.84(16)= 122.515625(10).

Conversión de números octales y hexadecimales al sistema numérico binario y viceversa.

Para convertir un número del sistema numérico octal a binario, cada dígito de este número debe escribirse como un número binario de tres dígitos (tríada).

Ejemplo: escriba el número 16.24(8) en el sistema numérico binario.

Respuesta: 16,24(8)= 1110,0101(2).

Para convertir un número binario nuevamente al sistema numérico octal, debe dividir el número original en tríadas a la izquierda y a la derecha del punto decimal y representar cada grupo con un dígito en el sistema numérico octal. Las tríadas extremas incompletas se complementan con ceros.

Ejemplo: escriba el número 1110.0101(2) en el sistema numérico octal.

Respuesta: 1110,0101(2)= 16,24(8).

Para convertir un número del sistema numérico hexadecimal al sistema binario, debe escribir cada dígito de este número como un número binario de cuatro dígitos (tétrada).

Ejemplo: escriba el número 7A,7E(16) en el sistema numérico binario.


Respuesta: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Nota: los ceros iniciales a la izquierda para números enteros y a la derecha para fracciones no se escriben.

Para convertir un número binario nuevamente al sistema numérico hexadecimal, debe dividir el número original en tétradas a la izquierda y a la derecha del punto decimal y representar cada grupo con un dígito en el sistema numérico hexadecimal. Las tríadas extremas incompletas se complementan con ceros.

Ejemplo: escriba el número 1111010.0111111(2) en sistema numérico hexadecimal.

Cuando configura redes de varios tamaños y realiza cálculos todos los días, no necesita crear este tipo de hoja de trucos, todo se hace por reflejo incondicional. Pero cuando rara vez husmeas en las redes, no siempre recuerdas cuál es la máscara en forma decimal para el prefijo 21 o cuál es la dirección de red para el mismo prefijo. En este sentido, decidí escribir algunos artículos pequeños: hojas de trucos sobre cómo convertir números a varios sistemas numéricos, direcciones de red, máscaras, etc. En esta parte hablaremos sobre convertir números a diferentes sistemas numéricos.

1. Sistemas numéricos

Cuando hagas algo relacionado con redes informáticas y TI, te encontrarás con este concepto de todos modos. Y como profesional de TI inteligente, debe comprender esto al menos un poco, incluso si en la práctica lo usará muy raramente.
Veamos la traducción de cada dígito de una dirección IP. 98.251.16.138 en los siguientes sistemas numéricos:

• Binario
• octal
• Decimal
• hexadecimal

1.1 decimales

Como los números están escritos en decimal, nos saltaremos la conversión de decimal a decimal :)

1.1.1 Decimal → Binario

Como sabemos, el sistema numérico binario se utiliza en casi todas las computadoras modernas y en muchos otros dispositivos informáticos. El sistema es muy simple: sólo tenemos 0 y 1.
Para convertir un número con diezmo a forma binaria, es necesario utilizar la división módulo 2 (es decir, división entera entre 2), como resultado de lo cual siempre tendremos un resto de 1 o 0. En este caso, el resultado es escrito de derecha a izquierda. Un ejemplo pondrá todo en su lugar:

Figura 1.1 – Conversión de números del sistema decimal al binario

Figura 1.2 – Conversión de números del sistema decimal al binario

Describiré la división del número 98. Dividimos 98 entre 2, como resultado tenemos 49 y el resto 0. Luego continuamos con la división y dividimos 49 entre 2, como resultado tenemos 24 con un resto 1. Y en de la misma manera llegamos a 1 o 0 en divisible. Luego escribimos el resultado de derecha a izquierda.

1.1.2 Decimal → Octal

El sistema octal es un sistema de números enteros con base 8. Es decir Todos los números que contiene están representados en el rango del 0 al 7 y para convertir del sistema decimal es necesario utilizar la división módulo 8.

Figura 1.3 – Conversión de números del sistema decimal al octal

La división es similar al sistema de 2 puntos.

1.1.3 Decimal → Hexadecimal

El sistema hexadecimal ha sustituido casi por completo al sistema octal. Tiene una base de 16, pero utiliza dígitos decimales del 0 al 9 + letras latinas de la A (número 10) a la F (número 15). Lo encuentras cada vez que verificas la configuración de tu adaptador de red: esta es la dirección MAC. Lo mismo cuando se utiliza IPv6.

Figura 1.4 – Conversión de números de decimal a hexadecimal

1.2 binario

En el ejemplo anterior, convertimos todos los números decimales a otros sistemas numéricos, uno de los cuales es binario. Ahora convierta cada número de forma binaria.

1.2.1 Binario → Decimal

Para convertir números de binario a decimal, necesitas conocer dos matices. La primera es que cada cero y uno tienen un factor de 2 elevado a la enésima potencia, en el que n aumenta de derecha a izquierda exactamente uno. La segunda es que después de multiplicar, hay que sumar todos los números y obtenemos el número en forma decimal. Como resultado, tendremos una fórmula como esta:

D = (an × p n-1) + (an-1 × p n-2) + (an-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Dónde,
D es el número decimal que buscamos;
norte– el número de caracteres de un número binario;
a – un número en forma binaria en la enésima posición (es decir, el primer carácter, el segundo, etc.);
p – coeficiente igual a 2,8 o 16 elevado a la potencia norte(dependiendo del sistema numérico)

Por ejemplo, tomemos el número 110102. Miramos la fórmula y escribimos:

• El número consta de 5 caracteres ( norte=5)

un 5 = 1, un 4 = 1, un 3 = 0, un 2 = 1, un 1 = 0

• p = 2 (ya que estamos convirtiendo de binario a decimal)

Como resultado tenemos:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Para aquellos que estén acostumbrados a escribir de derecha a izquierda, el formulario quedará así:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Pero, como sabemos, reordenar los términos no cambia la suma. Ahora conviertamos nuestros números a forma decimal.

Figura 1.5 – Conversión de números del sistema binario al decimal

1.2.2 Binario → Octal

Al traducir, necesitamos dividir el número binario en grupos de tres caracteres de derecha a izquierda. Si el último grupo no consta de tres caracteres, simplemente reemplazamos los bits que faltan con ceros. Por ejemplo:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Cada grupo de bits es uno de los números octales. Para saber cuál, debe utilizar la fórmula 1.2.1 escrita anteriormente para cada grupo de bits. Como resultado obtenemos.

Figura 1.6 – Conversión de números del sistema binario al octal

1.2.3 Binario → Hexadecimal

Aquí necesitamos dividir el número binario en grupos de cuatro caracteres de derecha a izquierda, y luego agregar ceros a los bits que faltan del grupo, como se describió anteriormente. Si el último grupo consta de ceros, entonces deben ignorarse.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Cada grupo de bits es uno de los números hexadecimales. Usamos la fórmula 1.2.1 para cada grupo de bits.

Figura 1.7 – Conversión de números de binario a hexadecimal

1.3 octal

En este sistema es posible que tengamos dificultades sólo a la hora de convertir a hexadecimal, ya que el resto de la traducción se realiza sin problemas.

1.3.1 Octal → Binario

Cada número en el sistema octal es un grupo de tres bits en el sistema binario, como se describió anteriormente. Para traducir, necesitamos usar una hoja de referencia:

Figura 1.8 – Estímulo para convertir números del sistema octal

Usando esta tableta convertiremos nuestros números al sistema binario.

Figura 1.9 – Conversión de números de octal a binario

Describiré un poco la conclusión. Nuestro primer número es 142, lo que significa que habrá tres grupos de tres bits cada uno. Usamos el espolón y vemos que el número 1 es 001, el número 4 es 100 y el número 2 es 010. Como resultado, tenemos el número 001100010.

1.3.2 Octal → Decimal

Aquí utilizamos la fórmula 1.2.1 sólo con un coeficiente de 8 (es decir, p=8). Como resultado tenemos

Figura 1.10 – Conversión de números del sistema octal al decimal

• El número consta de 3 caracteres ( norte=3)

un 3 = 1, un 2 = 4, un 1 = 2

• p = 8 (ya que estamos convirtiendo de octal a decimal)

Como resultado tenemos:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Octal → Hexadecimal

Como se escribió anteriormente, para traducir, primero necesitamos convertir los números al sistema binario, luego del binario al hexadecimal, dividiéndolos en grupos de 4 bits. Puedes utilizar el siguiente estímulo.

Figura 1.11 – Estímulo para convertir números del sistema hexadecimal

Esta tabla le ayudará a convertir de binario a hexadecimal. Ahora conviertamos nuestros números.

Figura 1.12 – Conversión de números de octal a hexadecimal

1.4 Hexadecimal

Este sistema tiene el mismo problema al convertir a octal. Pero hablaremos de eso más adelante.

1.4.1 Hexadecimal → Binario

Cada número en hexadecimal es un grupo de cuatro bits en binario, como se describió anteriormente. Para traducir, podemos usar la hoja de trucos que se encuentra arriba. Como resultado:

Figura 1.13 – Conversión de números de hexadecimal a binario

Tomemos el primer número: 62. Usando la tabla (Fig. 1.11) vemos que 6 es 0110, 2 es 0010, como resultado tenemos el número 01100010.

1.4.2 Hexadecimal → Decimal

Aquí utilizamos la fórmula 1.2.1 sólo con un coeficiente de 16 (es decir, p=16). Como resultado tenemos

Figura 1.14 – Conversión de números de hexadecimal a decimal

Tomemos el primer número. Basado en la fórmula 1.2.1:

• El número consta de 2 caracteres ( norte=2)

un 2 = 6, un 1 = 2

• p = 16 (ya que estamos convirtiendo de hexadecimal a decimal)

Como resultado tenemos.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Hexadecimal → Octal

Para convertir al sistema octal, primero debe convertirlo a binario, luego dividirlo en grupos de 3 bits y usar la tabla (Fig. 1.8). Como resultado:

Figura 1.15 – Conversión de números de hexadecimal a octal

Hablaremos de direcciones IP, máscaras y redes.

Nota 1

Si desea convertir un número de un sistema numérico a otro, entonces es más conveniente convertirlo primero al sistema numérico decimal y solo luego convertirlo del sistema numérico decimal a cualquier otro sistema numérico.

Reglas para convertir números de cualquier sistema numérico a decimal

En la tecnología informática que utiliza la aritmética mecánica, la conversión de números de un sistema numérico a otro juega un papel importante. A continuación damos las reglas básicas para tales transformaciones (traducciones).

Al convertir un número binario a decimal, es necesario representar el número binario como un polinomio, cada elemento del cual se representa como el producto de un dígito del número y la potencia correspondiente del número base, en este caso $2$, y luego necesitas calcular el polinomio usando las reglas de la aritmética decimal:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Figura 1. Tabla 1

Ejemplo 1

Convierte el número $11110101_2$ al sistema numérico decimal.

Solución. Usando la tabla dada de $1$ potencias de la base $2$, representamos el número como un polinomio:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Para convertir un número del sistema numérico octal al sistema numérico decimal, debe representarlo como un polinomio, cada elemento del cual se representa como el producto de un dígito del número y la potencia correspondiente del número base, en este caso $8$, y luego necesitas calcular el polinomio de acuerdo con las reglas de la aritmética decimal:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Figura 2. Tabla 2

Ejemplo 2

Convierte el número $75013_8$ al sistema numérico decimal.

Solución. Usando la tabla dada de $2$ potencias de la base $8$, representamos el número como un polinomio:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Para convertir un número de hexadecimal a decimal, debes representarlo como un polinomio, cada elemento del cual se representa como el producto de un dígito del número y la potencia correspondiente del número base, en este caso $16$, y luego necesitas calcular el polinomio de acuerdo con las reglas de la aritmética decimal:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Figura 3. Tabla 3

Ejemplo 3

Convierte el número $FFA2_(16)$ al sistema numérico decimal.

Solución. Usando la tabla dada de $3$ potencias de la base $8$, representamos el número como un polinomio:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Reglas para convertir números del sistema numérico decimal a otro.

• Para convertir un número del sistema numérico decimal al sistema binario, se debe dividir secuencialmente entre $2$ hasta que quede un resto menor o igual a $1$. Un número en el sistema binario se representa como una secuencia del último resultado de la división y los restos de la división en orden inverso.

Ejemplo 4

Convierte el número $22_(10)$ al sistema numérico binario.

Solución:

Figura 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Para convertir un número del sistema numérico decimal a octal, se debe dividir secuencialmente entre $8$ hasta que quede un resto menor o igual a $7$. Un número en el sistema numérico octal se representa como una secuencia de dígitos del resultado de la última división y los restos de la división en orden inverso.

Ejemplo 5

Convierte el número $571_(10)$ al sistema numérico octal.

Solución:

Figura 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Para convertir un número del sistema numérico decimal al sistema hexadecimal se debe dividir sucesivamente entre $16$ hasta que quede un resto menor o igual a $15$. Un número en el sistema hexadecimal se representa como una secuencia de dígitos del resultado de la última división y el resto de la división en orden inverso.

Ejemplo 6

Convierta el número $7467_(10)$ al sistema numérico hexadecimal.

Solución:

Figura 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Para convertir una fracción propia de un sistema numérico decimal a un sistema numérico no decimal, es necesario multiplicar secuencialmente la parte fraccionaria del número que se está convirtiendo por la base del sistema al que se debe convertir. Las fracciones en el nuevo sistema se representarán como partes enteras de productos, comenzando por la primera.

Por ejemplo: $0.3125_((10))$ en el sistema numérico octal se verá como $0.24_((8))$.

En este caso, puede encontrarse con un problema cuando una fracción decimal finita puede corresponder a una fracción infinita (periódica) en el sistema numérico no decimal. En este caso, el número de dígitos de la fracción representada en el nuevo sistema dependerá de la precisión requerida. También cabe señalar que los números enteros siguen siendo números enteros y las fracciones propias siguen siendo fracciones en cualquier sistema numérico.

Reglas para convertir números de un sistema numérico binario a otro.

• Para convertir un número del sistema numérico binario a octal, se debe dividir en tríadas (triples de dígitos), comenzando con el dígito menos significativo, si es necesario, agregando ceros a la tríada principal, luego reemplazar cada tríada con el dígito octal correspondiente. según la Tabla 4.

Figura 7. Tabla 4

Ejemplo 7

Convierte el número $1001011_2$ al sistema numérico octal.

Solución. Usando la Tabla 4, convertimos el número del sistema numérico binario a octal:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Para convertir un número del sistema numérico binario a hexadecimal, se debe dividir en tétradas (cuatro dígitos), comenzando con el dígito menos significativo, si es necesario, sumando ceros a la tétrada más significativa, luego reemplazar cada tétrada con el dígito octal correspondiente. según la Tabla 4.