¿Qué números se llaman números enteros? Máximo común múltiplo y mínimo común divisor. Criterios de divisibilidad y métodos de agrupación (2019)

¡Notas importantes!
1. Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Cómo hacer esto en su navegador está escrito aquí:
2. Antes de comenzar a leer el artículo, preste atención a nuestro navegador para conocer los recursos más útiles para

Para hacerle la vida MUCHO más fácil cuando necesite calcular algo, ganar un tiempo valioso en el Examen Estatal Unificado o el Examen Estatal Unificado, cometer menos errores estúpidos, ¡lea esta sección!

Esto es lo que aprenderá:

  • cómo contar más rápido, más fácil y con mayor precisión usandoagrupación de númerosal sumar y restar,
  • cómo multiplicar y dividir rápidamente sin errores usando reglas de multiplicación y signos de divisibilidad,
  • cómo acelerar significativamente los cálculos utilizando minimo común multiplo(NO OK) y máximo común divisor(ASENTIR).

El dominio de las técnicas de esta sección puede inclinar la balanza en una dirección u otra... ya sea que ingreses o no a la universidad de tus sueños, tú o tus padres tendrán que pagar mucho dinero por la educación o te inscribirás con un presupuesto limitado. .

Vamos a sumergirnos de lleno... (¡Vamos!)

PD ÚLTIMO CONSEJO VALIOSO...

Un montón de números enteros consta de 3 partes:

  1. números enteros(los veremos con más detalle a continuación);
  2. números opuestos a los números naturales(todo encajará en cuanto sepas qué son los números naturales);
  3. cero - " " (¿Dónde estaríamos sin él?)

letra Z.

Enteros

“Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra de manos humanas” (c) el matemático alemán Kronecker.

Los números naturales son números que usamos para contar objetos y en esto se basa su historia de origen: la necesidad de contar flechas, pieles, etc.

1, 2, 3, 4... norte

letra n.

En consecuencia, esta definición no incluye (¿no se puede contar algo que no está ahí?), y especialmente no incluye valores negativos (¿hay una manzana?).

Además, no se incluyen todos los números fraccionarios (tampoco podemos decir “tengo una computadora portátil” o “vendí autos”)

Cualquier número natural se puede escribir usando 10 dígitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Entonces 14 no es un número. Este es el número. ¿De qué números se compone? Así es, a partir de números y...

Suma. Agrupar al sumar para contar más rápido y cometer menos errores

¿Qué cosas interesantes puedes decir sobre este procedimiento? Por supuesto, ahora responderás “el valor de la suma no cambia al reordenar los términos”. Parecería que esta es una regla primitiva, familiar desde el primer grado, sin embargo, al resolver ejemplos grandes, olvidado al instante!

No te olvides de élutilizar agrupación, para facilitarle el proceso de conteo y reducir la probabilidad de errores, porque no tendrá una calculadora para el Examen Estatal Unificado.

¿Comprueba tú mismo qué expresión es más fácil de armar?

  • 4 + 5 + 3 + 6
  • 4 + 6 + 5 + 3

¡Por supuesto el segundo! Aunque el resultado es el mismo. ¡Pero! Teniendo en cuenta el segundo método, tendrás menos posibilidades de cometer errores y ¡harás todo más rápido!

Entonces, en tu cabeza piensas así:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Sustracción. Agrupar al restar para contar más rápido y cometer menos errores

Al restar también podemos agrupar los números que estamos restando, por ejemplo:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

¿Qué pasa si la resta se alterna con la suma en el ejemplo? También puedes agrupar, respondes y es correcto. Por favor, no te olvides de los signos delante de los números, por ejemplo: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Recuerde: las señales colocadas incorrectamente conducirán a un resultado erróneo.

Multiplicación. Cómo multiplicar en tu cabeza

Evidentemente, cambiar los lugares de los factores tampoco cambiará el valor del producto:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

No te diré “usa esto cuando resuelvas ejemplos” (tú mismo entendiste la pista, ¿verdad?), sino que te diré cómo multiplicar rápidamente algunos números en tu cabeza. Entonces, mira atentamente la tabla:

Y un poco más sobre la multiplicación. Por supuesto, recuerdas dos casos especiales... ¿Puedes adivinar a qué me refiero? Esto es al respecto:

Oh sí, veámoslo de nuevo signos de divisibilidad. Hay 7 reglas en total basadas en criterios de divisibilidad, ¡de las cuales ya conoces las 3 primeras!

Pero el resto no es nada difícil de recordar.

¡7 signos de divisibilidad de números que te ayudarán a contar rápidamente mentalmente!

  • Por supuesto, conoces las tres primeras reglas.
  • El cuarto y el quinto son fáciles de recordar: al dividir por y miramos para ver si la suma de los dígitos que componen el número es divisible por este.
  • Al dividir por, nos fijamos en los dos últimos dígitos de un número: ¿el número por el que hacen es divisible?
  • Al dividir por, un número debe ser divisible por y por al mismo tiempo. Esa es toda la sabiduría.

¿Estás pensando ahora: “¿por qué necesito todo esto”?

En primer lugar, se está llevando a cabo el Examen Estatal Unificado. sin calculadora y estas reglas le ayudarán a navegar por los ejemplos.

Y en segundo lugar, has oído los problemas sobre MCD Y CON? ¿Le resulta familiar este acrónimo? Empecemos a recordar y comprender.

Máximo común divisor (MCD): necesario para reducir fracciones y realizar cálculos rápidos

Digamos que tienes dos números: y. ¿Cuál es el número más grande por el que ambos números son divisibles? Responderás sin dudarlo, porque sabes que:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

¿Cuáles son los números comunes en la expansión? Así es, 2 * 2 = 4. Esa fue tu respuesta. Teniendo en cuenta este sencillo ejemplo, no olvidará el algoritmo para encontrar MCD. Intenta “construirlo” en tu cabeza. ¿Sucedió?

Para encontrar un GCD necesitas:

  1. Dividir números en factores primos (aquellos números que no se pueden dividir por nada más que por ellos mismos o por, por ejemplo, 3, 7, 11, 13, etc.).
  2. Multiplícalos.

¿Entiendes por qué necesitábamos signos de divisibilidad? Para que mires el número y puedas empezar a dividir sin resto.

Por ejemplo, encontremos el MCD de los números 290 y 485.

Primer número - .

Mirándolo, inmediatamente puedes decir que es divisible por, escribámoslo:

Es imposible dividirlo en otra cosa, pero se puede, y obtenemos:

290 = 29 * 5 * 2

Tomemos otro número: 485.

Según el criterio de divisibilidad, debe ser divisible por sin resto, ya que termina en. Dividir:

Analicemos el número original.

  • No se puede dividir por (el último dígito es impar),
  • - no es divisible por, lo que significa que el número tampoco es divisible por,
  • por y por tampoco es divisible (la suma de los dígitos incluidos en un número no es divisible por y por)
  • tampoco es divisible por, ya que no es divisible por y,
  • tampoco es divisible por, ya que no es divisible por y.
  • no se puede dividir completamente

Esto significa que el número sólo se puede descomponer en y.

Ahora busquemos MCD estos números. ¿Qué numero es este? Bien, .

¿Practicamos?

Tarea número 1. Encuentra el mcd de los números 6240 y 6800

1) Divido por inmediatamente, ya que ambos números son 100% divisibles por:

Tarea número 2. Encuentra el mcd de los números 345 y 324

No puedo encontrar rápidamente al menos un divisor común aquí, así que simplemente lo divido en factores primos (lo más pequeños posible):

Mínimo común múltiplo (MCM): ahorra tiempo y ayuda a resolver problemas de una forma no estándar

Digamos que tienes dos números y. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede dividir por sin dejar rastro(es decir, completamente)? ¿Difícil de imaginar? Aquí tienes una pista visual:

¿Recuerdas qué significa la letra? Así es, sólo números enteros. Entonces, ¿cuál es el número más pequeño que cabe en lugar de x? :

En este caso.

De este sencillo ejemplo surgen varias reglas.

Reglas para encontrar NOC rápidamente

Regla 1: Si uno de dos números naturales es divisible por otro número, entonces el mayor de los dos números es su mínimo común múltiplo.

Encuentra los siguientes números:

  • NOC (7;21)
  • NOC (6;12)
  • NOC (5;15)
  • NOC (3;33)

Por supuesto, usted hizo frente a esta tarea sin dificultad y obtuvo las respuestas: y.

Tenga en cuenta que en la regla estamos hablando de DOS números; si hay más números, entonces la regla no funciona.

Por ejemplo, MCM (7;14;21) no es igual a 21, ya que no es divisible por.

Regla 2. Si dos (o más de dos) números son coprimos, entonces el mínimo común múltiplo es igual a su producto.

Encontrar CON los siguientes números:

  • NOC (1;3;7)
  • NOC (3;7;11)
  • NOC (2;3;7)
  • NOC (3;5;2)

¿Contaste? Aquí están las respuestas - , ; .

Como comprenderás, no siempre es posible detectar esta misma x tan fácilmente, por lo que para números un poco más complejos existe el siguiente algoritmo:

¿Practicamos?

Encontremos el mínimo común múltiplo: MCM (345; 234)

Encuentre usted mismo el mínimo común múltiplo (MCM)

¿Qué respuestas obtuviste?

Esto es lo que obtuve:

¿Cuánto tiempo dedicaste a buscar CON? Mi tiempo son 2 minutos, realmente lo sé. un truco, que te sugiero que abras ahora mismo!

Si está muy atento, probablemente haya notado que ya hemos buscado los números indicados. MCD y podrías tomar la factorización de estos números de ese ejemplo, simplificando así tu tarea, pero eso no es todo.

Mira la imagen, tal vez se te ocurran otras ideas:

¿Bien? Te daré una pista: intenta multiplicar CON Y MCD entre ellos y anota todos los factores que aparecerán al multiplicar. ¿Lograste? Deberías terminar con una cadena como esta:

Míralo más de cerca: compara los multiplicadores con cómo están dispuestos y.

¿Qué conclusión puedes sacar de esto? ¡Bien! Si multiplicamos los valores CON Y MCD entre ellos, entonces obtenemos el producto de estos números.

En consecuencia, tener números y significado. MCD(o CON), podemos encontrar CON(o MCD) según este esquema:

1. Encuentra el producto de números:

2. Dividir el producto resultante por el nuestro. MCD (6240; 6800) = 80:

Eso es todo.

Escribamos la regla en forma general:

Tratar de encontrar MCD, si se sabe que:

¿Lograste? .

Los números negativos son “números falsos” y su reconocimiento por parte de la humanidad.

Como ya entenderás, se trata de números opuestos a los naturales, es decir:

Los números negativos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, como en los números naturales. Al parecer, ¿qué tienen de especial? Pero el hecho es que los números negativos "ganaron" el lugar que les corresponde en matemáticas hasta el siglo XIX (hasta ese momento hubo una gran controversia sobre si existen o no).

El número negativo en sí surgió debido a una operación con números naturales como "resta". De hecho, resta y obtendrás un número negativo. Por eso al conjunto de los números negativos se le suele llamar “extensión del conjunto números naturales».

Los números negativos no fueron reconocidos por la gente durante mucho tiempo. Así, el Antiguo Egipto, Babilonia y la Antigua Grecia, las luces de su época, no reconocían los números negativos y, en el caso de raíces negativas en una ecuación (por ejemplo, como la nuestra), las raíces eran rechazadas como imposibles.

Los números negativos obtuvieron su derecho a existir por primera vez en China y luego, en el siglo VII, en la India. ¿A qué crees que se debe este reconocimiento? Así es, los números negativos comenzaron a denotar deudas (de lo contrario, escasez). Se creía que los números negativos son un valor temporal que, como resultado, cambiará a positivo (es decir, el dinero aún será devuelto al prestamista). Sin embargo, el matemático indio Brahmagupta ya consideraba los números negativos al mismo nivel que los positivos.

En Europa, la utilidad de los números negativos, así como el hecho de que pueden indicar deudas, se descubrió mucho más tarde, tal vez un milenio. La primera mención se notó en 1202 en el "Libro del ábaco" de Leonardo de Pisa (diré de inmediato que el autor del libro no tiene nada que ver con la Torre Inclinada de Pisa, pero los números de Fibonacci son obra suya). (el apodo de Leonardo de Pisa es Fibonacci)). Además, los europeos llegaron a la conclusión de que las cifras negativas pueden significar no sólo deudas, sino también falta de algo, aunque no todos lo reconocieron.

Entonces, en el siglo XVII, Pascal creía eso. ¿Cómo crees que justificó esto? Es cierto, "nada puede ser menos que NADA". Un eco de aquellos tiempos sigue siendo el hecho de que un número negativo y la operación de resta se indican con el mismo símbolo: el menos "-". Y la verdad: . ¿El número “ ” es positivo, al que se le resta, o negativo, al que se suma?... Algo de la serie “¿qué es primero: el huevo o la gallina?” Ésta es una filosofía matemática tan peculiar.

Los números negativos obtuvieron su derecho a existir con la llegada de la geometría analítica, es decir, cuando los matemáticos introdujeron el concepto de eje numérico.

Fue a partir de este momento que llegó la igualdad. Sin embargo, todavía hubo más preguntas que respuestas, por ejemplo:

proporción

Esta proporción se llama “paradoja de Arnaud”. Piénselo, ¿qué tiene de dudoso?

Discutamos juntos "" es más que "" ¿verdad? Así, según la lógica, el lado izquierdo de la proporción debería ser mayor que el derecho, pero son iguales... Ésta es la paradoja.

Como resultado, los matemáticos estuvieron de acuerdo en que Karl Gauss (sí, sí, este es el mismo que calculó la suma (o) de los números) le puso fin en 1831: dijo que los números negativos tienen los mismos derechos que los positivos. unos, y el hecho de que no se apliquen a todas las cosas no significa nada, ya que las fracciones tampoco se aplican a muchas cosas (no sucede que un excavador cave un hoyo, no puedas comprar una entrada para el cine, etc. .).

Los matemáticos se calmaron sólo en el siglo XIX, cuando William Hamilton y Hermann Grassmann crearon la teoría de los números negativos.

Son muy controvertidas estas cifras negativas.

El surgimiento del “vacío”, o la biografía del cero.

En matemáticas es un número especial. A primera vista, esto no es nada: sumar o restar: nada cambiará, pero solo hay que sumarlo a la derecha de " ", y el número resultante será varias veces mayor que el original. Al multiplicar por cero convertimos todo en nada, pero al dividir por “nada”, es decir, no podemos. En una palabra, el número mágico)

La historia del cero es larga y complicada. Se encontró un rastro de cero en los escritos de los chinos en el segundo milenio d.C. e incluso antes entre los mayas. El primer uso del símbolo cero, tal como se utiliza hoy en día, se vio entre los astrónomos griegos.

Hay muchas versiones de por qué se eligió esta designación de “nada”. Algunos historiadores se inclinan a creer que se trata de un ómicrón, es decir. La primera letra de la palabra griega que significa nada es ouden. Según otra versión, la palabra “obol” (una moneda casi sin valor) dio vida al símbolo del cero.

El cero (o cero) como símbolo matemático aparece por primera vez entre los indios (tenga en cuenta que los números negativos comenzaron a "desarrollarse" allí). La primera evidencia confiable del registro del cero se remonta al año 876, y en ellos " " es un componente del número.

El cero también llegó tarde a Europa: recién en 1600, y al igual que los números negativos, encontró resistencia (qué se puede hacer, así son los europeos).

"El cero ha sido a menudo odiado, temido durante mucho tiempo o incluso prohibido", escribe el matemático estadounidense Charles Safe. Así lo hizo el sultán turco Abdul Hamid II a finales del siglo XIX. ordenó a sus censores borrar la fórmula del agua H2O de todos los libros de texto de química, tomando la letra “O” por cero y no queriendo que sus iniciales quedaran desacreditadas por la proximidad al despreciado cero”.

En Internet puedes encontrar la frase: “¡Cero es la fuerza más poderosa del Universo, puede hacer cualquier cosa! El cero crea orden en las matemáticas y también introduce el caos en ellas”. Punto absolutamente correcto :)

Resumen de la sección y fórmulas básicas

El conjunto de los números enteros consta de 3 partes:

  • números naturales (los veremos con más detalle a continuación);
  • números opuestos a los números naturales;
  • cero - " "

El conjunto de los números enteros se denota letra Z.

1. Números naturales

Los números naturales son números que usamos para contar objetos.

El conjunto de los números naturales se denota. letra n.

En operaciones con números enteros, necesitará la capacidad de encontrar MCD y LCM.

Máximo divisor común (MCD)

Para encontrar un GCD necesitas:

  1. Descomponer números en factores primos (aquellos números que no se pueden dividir por nada más que por ellos mismos o por, por ejemplo, etc.).
  2. Escribe los factores que forman parte de ambos números.
  3. Multiplícalos.

Mínimo común múltiplo (MCM)

Para encontrar el NOC necesitas:

  1. Divide números en factores primos (ya sabes muy bien cómo hacerlo).
  2. Anota los factores incluidos en la expansión de uno de los números (es mejor coger la cadena más larga).
  3. Súmales los factores que faltan de las expansiones de los números restantes.
  4. Encuentra el producto de los factores resultantes.

2. Números negativos

Son números opuestos a los naturales, es decir:

Ahora quiero escucharte...

Espero que hayas apreciado los “trucos” súper útiles de esta sección y hayas entendido cómo te ayudarán en el examen.

Y lo que es más importante, en la vida. No hablo de eso, pero créanme, esto es cierto. La capacidad de contar rápidamente y sin errores te salva en muchas situaciones de la vida.

¡Ahora es tu turno!

Escribe, ¿utilizarás métodos de agrupación, pruebas de divisibilidad, MCD y MCM en los cálculos?

¿Quizás los has usado antes? ¿Dónde y cómo?

Quizás tengas preguntas. O sugerencias.

Escribe en los comentarios si te gusta el artículo.

¡Y mucha suerte en tus exámenes!

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.

Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!

Ahora lo más importante.

Has entendido la teoría sobre este tema. Y, repito, esto... ¡esto es simplemente genial! Ya eres mejor que la gran mayoría de tus compañeros.

El problema es que esto puede no ser suficiente...

¿Para qué?

Por aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado, por ingresar a la universidad con un presupuesto limitado y, LO MÁS IMPORTANTE, de por vida.

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A números enteros Incluye números naturales, cero y números opuestos a números naturales.

Enteros son números enteros positivos.

Por ejemplo: 1, 3, 7, 19, 23, etc. Usamos esos números para contar (hay 5 manzanas en la mesa, un automóvil tiene 4 ruedas, etc.)

Letra latina \mathbb(N) - denotada conjunto de números naturales.

Los números naturales no pueden incluir números negativos (una silla no puede tener un número negativo de patas) ni números fraccionarios (Iván no pudo vender 3,5 bicicletas).

Lo opuesto a los números naturales son los números enteros negativos: −8, −148, −981,….

Operaciones aritméticas con números enteros.

¿Qué puedes hacer con los números enteros? Se pueden multiplicar, sumar y restar entre sí. Veamos cada operación usando un ejemplo específico.

Suma de números enteros

Dos números enteros con el mismo signo se suman de la siguiente manera: se suman los módulos de estos números y la suma resultante va precedida de un signo final:

(+11) + (+9) = +20

Restar números enteros

Se suman dos números enteros con diferentes signos de la siguiente manera: del módulo del número mayor se resta el módulo del menor y se coloca el signo del módulo mayor del número delante de la respuesta resultante:

(-7) + (+8) = +1

Multiplicar números enteros

Para multiplicar un número entero por otro, debes multiplicar los módulos de estos números y poner un signo "+" delante de la respuesta resultante si los números originales tenían los mismos signos, y un signo "-" si los números originales tenían diferentes. señales:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

Cabe recordar lo siguiente regla para multiplicar números enteros:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Existe una regla para multiplicar varios números enteros. Recordémoslo:

El signo del producto será “+” si el número de factores con signo negativo es par y “-” si el número de factores con signo negativo es impar.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

División entera

La división de dos números enteros se realiza de la siguiente manera: el módulo de un número se divide por el módulo de otro, y si los signos de los números son iguales, entonces se coloca el signo "+" delante del cociente resultante. , y si los signos de los números originales son diferentes, entonces se coloca el signo “-”.

(-25) : (+5) = -5

Propiedades de la suma y multiplicación de números enteros.

Veamos las propiedades básicas de la suma y la multiplicación de cualquier número entero a, byc:

  1. a + b = b + a - propiedad conmutativa de la suma;
  2. (a + b) + c = a + (b + c) - propiedad combinativa de la suma;
  3. a \cdot b = b \cdot a - propiedad conmutativa de la multiplicación;
  4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- propiedades asociativas de la multiplicación;
  5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- propiedad distributiva de la multiplicación.

Hay muchos tipos de números, uno de ellos son los enteros. Los números enteros aparecieron para facilitar el conteo no solo en dirección positiva, sino también en dirección negativa.

Veamos un ejemplo:
Durante el día la temperatura exterior era de 3 grados. Por la tarde la temperatura bajó 3 grados.
3-3=0
Afuera hacía 0 grados. Y por la noche la temperatura bajó 4 grados y el termómetro empezó a marcar -4 grados.
0-4=-4

Una serie de números enteros.

No podemos describir tal problema usando números naturales; consideraremos este problema en una línea de coordenadas.

Tenemos una serie de números:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Esta serie de números se llama serie de números enteros.

Enteros positivos. Enteros negativos.

La serie de números enteros consta de números positivos y negativos. A la derecha del cero están los números naturales, o también se les llama enteros positivos. Y a la izquierda del cero van números enteros negativos.

El cero no es un número positivo ni negativo. Es el límite entre números positivos y negativos.

es un conjunto de números formado por números naturales, enteros negativos y cero.

Una serie de números enteros en dirección positiva y negativa es un número infinito.

Si tomamos dos números enteros, entonces los números entre estos números enteros se llamarán conjunto finito.

Por ejemplo:
Tomemos números enteros del -2 al 4. Todos los números entre estos números están incluidos en el conjunto finito. Nuestro conjunto final de números se ve así:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Los números naturales se indican con la letra latina N.
Los números enteros se denotan con la letra latina Z. Todo el conjunto de números naturales y enteros se puede representar en una imagen.


Enteros no positivos en otras palabras, son números enteros negativos.
Enteros no negativos son números enteros positivos.

Un montón de es un conjunto de objetos que se denominan elementos de este conjunto.

Por ejemplo: Muchos escolares, muchos coches, muchos números. .

En matemáticas, el conjunto se considera de manera mucho más amplia. No profundizaremos demasiado en este tema, ya que se relaciona con las matemáticas superiores y en un principio puede crear dificultades para el aprendizaje. Consideraremos solo la parte del tema que ya hemos tratado.

Contenido de la lección

Designaciones

Un conjunto suele indicarse con letras mayúsculas del alfabeto latino y sus elementos con letras minúsculas. En este caso, los elementos están encerrados entre llaves.

Por ejemplo, si el nombre de nuestro amigo es Tom, John y Leo , entonces podemos definir un conjunto de amigos cuyos elementos serán Tom, John y Leo.

Denotemos a muchos de nuestros amigos usando una letra latina mayúscula. F(amigos), luego ponga un signo igual y enumere a nuestros amigos entre llaves:

F = (Tom, Juan, Leo)

Ejemplo 2. Anotemos el conjunto de divisores del número 6.

Denotemos este conjunto con cualquier letra latina mayúscula, por ejemplo, con la letra D

luego ponemos un signo igual y enumeramos los elementos de este conjunto entre llaves, es decir, enumeramos los divisores del número 6

D = (1, 2, 3, 6)

Si algún elemento pertenece a un conjunto determinado, entonces esta pertenencia se indica mediante el signo de pertenencia ∈. Por ejemplo, el divisor 2 pertenece al conjunto de divisores del número 6 (el conjunto D). Está escrito así:

Se lee como: “2 pertenece al conjunto de divisores del número 6”

Si algún elemento no pertenece a un conjunto determinado, entonces esta no pertenencia se indica mediante un signo de pertenencia tachado ∉. Por ejemplo, el divisor 5 no pertenece al conjunto. D. Está escrito así:

Se lee como: "5 no pertenece conjunto de divisores del número 6″

Además, se puede escribir un conjunto enumerando directamente los elementos, sin mayúsculas. Esto puede resultar conveniente si el conjunto consta de una pequeña cantidad de elementos. Por ejemplo, definamos un conjunto de un elemento. Que este elemento sea nuestro amigo. Volumen:

( Volumen )

Definamos un conjunto que consta de un número 2.

{ 2 }

Definamos un conjunto que consta de dos números: 2 y 5.

{ 2, 5 }

Conjunto de números naturales

Este es el primer set con el que empezamos a trabajar. Los números naturales son los números 1, 2, 3, etc.

Los números naturales aparecieron debido a la necesidad de las personas de contar esos otros objetos. Por ejemplo, cuente la cantidad de gallinas, vacas y caballos. Los números naturales surgen naturalmente al contar.

En lecciones anteriores, cuando usábamos la palabra "número", la mayoría de las veces se refería a un número natural.

En matemáticas, el conjunto de los números naturales se denota con mayúscula. norte.

Por ejemplo, señalemos que el número 1 pertenece al conjunto de los números naturales. Para ello anotamos el número 1, luego usando el signo de pertenencia ∈ indicamos que la unidad pertenece al conjunto norte

1 ∈ norte

Se lee como: “uno pertenece al conjunto de los números naturales”

Conjunto de números enteros

El conjunto de números enteros incluye todos los números positivos y , así como el número 0.

Un conjunto de números enteros se denota con una letra mayúscula. z .

Señalemos, por ejemplo, que el número −5 pertenece al conjunto de los números enteros:

−5 ∈ z

Señalemos que 10 pertenece al conjunto de los números enteros:

10 ∈ z

Señalemos que 0 pertenece al conjunto de los números enteros:

En el futuro, llamaremos a todos los números positivos y negativos con una sola frase: numeros enteros.

Conjunto de números racionales

Los números racionales son las mismas fracciones ordinarias que estudiamos hasta el día de hoy.

Un número racional es un número que se puede representar como una fracción, donde a- numerador de la fracción, b- denominador.

El numerador y el denominador pueden ser cualquier número, incluidos los enteros (a excepción del cero, ya que no se puede dividir por cero).

Por ejemplo, imagina que en lugar de a es el numero 10, pero en cambio b- Número 2

10 dividido por 2 es igual a 5. Vemos que el número 5 se puede representar como una fracción, lo que significa que el número 5 está incluido en el conjunto de los números racionales.

Es fácil ver que el número 5 también se aplica al conjunto de los números enteros. Por tanto, el conjunto de los números enteros está incluido en el conjunto de los números racionales. Esto significa que el conjunto de números racionales incluye no sólo fracciones ordinarias, sino también números enteros de la forma −2, −1, 0, 1, 2.

Ahora imaginemos que en lugar de eso a el número es 12, pero en cambio b- número 5.

12 dividido por 5 es igual a 2,4. Vemos que la fracción decimal 2,4 se puede representar como una fracción, lo que significa que está incluida en el conjunto de los números racionales. De esto concluimos que el conjunto de números racionales incluye no solo fracciones y números enteros ordinarios, sino también fracciones decimales.

Calculamos la fracción y obtuvimos la respuesta 2,4. Pero podríamos destacar la parte entera de esta fracción:

Cuando aíslas la parte entera de una fracción, obtienes un número mixto. Vemos que un número mixto también se puede representar como una fracción. Esto significa que el conjunto de los números racionales también incluye a los números mixtos.

Como resultado, llegamos a la conclusión de que el conjunto de números racionales contiene:

  • numeros enteros
  • fracciones comunes
  • decimales
  • Numeros mezclados

El conjunto de los números racionales se denota con mayúscula. q.

Por ejemplo, señalamos que una fracción pertenece al conjunto de los números racionales. Para hacer esto, escribimos la fracción en sí, luego usando el signo de membresía ∈ indicamos que la fracción pertenece al conjunto de números racionales:

∈ q

Señalemos que la fracción decimal 4,5 pertenece al conjunto de los números racionales:

4,5 ∈ q

Señalemos que un número mixto pertenece al conjunto de los números racionales:

∈ q

La lección introductoria sobre conjuntos está completa. Veremos los conjuntos mucho mejor en el futuro, pero por ahora lo que se cubre en esta lección será suficiente.

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En este artículo definiremos el conjunto de números enteros, consideraremos qué números enteros se llaman positivos y cuáles negativos. También mostraremos cómo se utilizan los números enteros para describir cambios en ciertas cantidades. Comencemos con la definición y ejemplos de números enteros.

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Números enteros. Definición, ejemplos

Primero, recordemos los números naturales ℕ. El propio nombre sugiere que se trata de números que, naturalmente, se han utilizado para contar desde tiempos inmemoriales. Para cubrir el concepto de números enteros, necesitamos ampliar la definición de números naturales.

Definición 1. Números enteros

Los números enteros son los números naturales, sus opuestos y el número cero.

El conjunto de números enteros se denota con la letra ℤ.

El conjunto de los números naturales ℕ es un subconjunto de los números enteros ℤ. Todo número natural es un número entero, pero no todo número entero es un número natural.

De la definición se deduce que cualquiera de los números 1, 2, 3 es un número entero. . , el número 0, así como los números - 1, - 2, - 3, . .

De acuerdo con esto, daremos ejemplos. Los números 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 son números enteros.

Deje que la línea de coordenadas se dibuje horizontalmente y se dirija hacia la derecha. Echemos un vistazo para visualizar la ubicación de los números enteros en una línea.

El origen en la línea de coordenadas corresponde al número 0, y los puntos que se encuentran a ambos lados del cero corresponden a números enteros positivos y negativos. Cada punto corresponde a un único número entero.

Puedes llegar a cualquier punto de una recta cuya coordenada sea un número entero apartando un cierto número de segmentos unitarios del origen.

Enteros positivos y negativos

De todos los números enteros, es lógico distinguir los enteros positivos y negativos. Demos sus definiciones.

Definición 2: números enteros positivos

Los números enteros positivos son números enteros con un signo más.

Por ejemplo, el número 7 es un número entero con signo más, es decir, un número entero positivo. En la línea de coordenadas, este número se encuentra a la derecha del punto de referencia, que se considera el número 0. Otros ejemplos de números enteros positivos: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definición 3: enteros negativos

Los números enteros negativos son números enteros con signo menos.

Ejemplos de números enteros negativos: - 528, - 2568, - 1.

El número 0 separa números enteros positivos y negativos y en sí mismo no es ni positivo ni negativo.

Cualquier número que sea opuesto a un entero positivo es, por definición, un entero negativo. Lo opuesto también es cierto. El inverso de cualquier número entero negativo es un número entero positivo.

Es posible dar otras formulaciones de las definiciones de números enteros negativos y positivos mediante su comparación con cero.

Definición 4: enteros positivos

Los números enteros positivos son números enteros mayores que cero.

Definición 5: enteros negativos

Los números enteros negativos son números enteros menores que cero.

En consecuencia, los números positivos se encuentran a la derecha del origen en la línea de coordenadas y los números enteros negativos se encuentran a la izquierda del cero.

Anteriormente dijimos que los números naturales son un subconjunto de números enteros. Aclaremos este punto. El conjunto de los números naturales está formado por números enteros positivos. A su vez, el conjunto de los números enteros negativos es el conjunto de los números opuestos a los naturales.

¡Importante!

Cualquier número natural se puede llamar número entero, pero ningún número entero se puede llamar número natural. Al responder a la pregunta de si los números negativos son números naturales, debemos decir con valentía: no, no lo son.

Enteros no positivos y no negativos

Demos algunas definiciones.

Definición 6. Enteros no negativos

Los números enteros no negativos son los números enteros positivos y el número cero.

Definición 7. Enteros no positivos

Los números enteros no positivos son los números enteros negativos y el número cero.

Como puedes ver, el número cero no es ni positivo ni negativo.

Ejemplos de números enteros no negativos: 52, 128, 0.

Ejemplos de números enteros no positivos: - 52, - 128, 0.

Un número no negativo es un número mayor o igual a cero. En consecuencia, un número entero no positivo es un número menor o igual a cero.

Los términos "número no positivo" y "número no negativo" se utilizan por motivos de brevedad. Por ejemplo, en lugar de decir que el número a es un número entero mayor o igual a cero, puedes decir: a es un número entero no negativo.

Usar números enteros para describir cambios en cantidades

¿Para qué se utilizan los números enteros? En primer lugar, con su ayuda es conveniente describir y determinar los cambios en la cantidad de cualquier objeto. Pongamos un ejemplo.

Deje que se almacene una cierta cantidad de cigüeñales en un almacén. Si se llevan 500 cigüeñales más al almacén, su número aumentará. El número 500 expresa precisamente el cambio (aumento) en el número de piezas. Si luego se sacan 200 piezas del almacén, este número también caracterizará el cambio en el número de cigüeñales. Esta vez, hacia abajo.

Si no se retira nada del almacén ni se entrega nada, entonces el número 0 indicará que el número de piezas permanece sin cambios.

La conveniencia obvia de usar números enteros, a diferencia de los números naturales, es que su signo indica claramente la dirección del cambio en el valor (aumento o disminución).

Una disminución de la temperatura de 30 grados se puede caracterizar por un número entero negativo (30) y un aumento de 2 grados, por un número entero positivo 2.

Demos otro ejemplo usando números enteros. Esta vez imaginemos que tenemos que darle 5 monedas a alguien. Entonces, podemos decir que tenemos - 5 monedas. El número 5 describe el tamaño de la deuda y el signo menos indica que debemos devolver las monedas.

Si le debemos 2 monedas a una persona y 3 a otra, entonces la deuda total (5 monedas) se puede calcular usando la regla de la suma de números negativos:

2 + (- 3) = - 5

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