Consideremos el problema. La base del rectángulo es 10 cm mayor que su altura y su área es 24 cm². Encuentra la altura del rectángulo. Dejar incógnita centímetros es la altura del rectángulo, entonces su base es igual a ( incógnita+10) cm. El área de este rectángulo es incógnita(incógnita+ 10) cm². Según las condiciones del problema. incógnita(incógnita+ 10) = 24. Abriendo los paréntesis y moviendo el número 24 con el signo opuesto hacia el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos: incógnita² + 10 incógnita-24 = 0. Al resolver este problema se obtuvo una ecuación que se llama cuadrática.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma

hacha ²+ bx+c= 0

Dónde a, b, c- números dados, y A≠ 0, y incógnita- desconocido.

Impares a, b, c La ecuación cuadrática generalmente se llama: a— el primer coeficiente o el más alto, b- segundo coeficiente, do- un miembro gratuito. Por ejemplo, en nuestro problema, el coeficiente principal es 1, el segundo coeficiente es 10 y el término libre es -24. Resolver muchos problemas de matemáticas y física se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Completa ecuaciones cuadráticas. El primer paso es llevar la ecuación dada a la forma estándar. hacha²+ bx+ c = 0. Volvamos a nuestro problema, en el que la ecuación se puede escribir como incógnita(incógnita+ 10) = 24 llevémoslo a la forma estándar, abra los corchetes incógnita² + 10 incógnita- 24 = 0, resolvemos esta ecuación usando la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática general.

La expresión bajo el signo raíz en esta fórmula se llama discriminante D = b² - 4 C.A

Si D>0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces diferentes, que se pueden encontrar usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Si D=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz.

Si D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Sustituyamos los valores en nuestra fórmula. A= 1, b= 10, do= -24.

obtenemos D>0, por lo tanto obtenemos dos raíces.

Consideremos un ejemplo donde D=0, bajo esta condición debería haber una raíz.

25incógnita² — 30 incógnita+ 9 = 0

Considere un ejemplo donde D<0, при этом условии решения не должно быть.

2incógnita² + 3 incógnita+ 4 = 0

El número bajo el signo de la raíz (discriminante) es negativo; escribimos la respuesta de la siguiente manera: la ecuación no tiene raíces reales.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

ecuación cuadrática hacha² + bx+ do= 0 se llama incompleto si al menos uno de los coeficientes b o do igual a cero. Una ecuación cuadrática incompleta es una ecuación de uno de los siguientes tipos:

hacha² = 0,

hacha² + do= 0, do≠ 0,

hacha² + bx= 0, b≠ 0.

Veamos algunos ejemplos y resolvamos la ecuación.

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 5 se obtiene la ecuación. incógnita² = 0, la respuesta tendrá una raíz incógnita= 0.

Considere una ecuación de la forma

3incógnita² - 27 = 0

Dividiendo ambos lados por 3 obtenemos la ecuación incógnita² - 9 = 0, o se puede escribir incógnita² = 9, la respuesta tendrá dos raíces incógnita= 3 y incógnita= -3.

Considere una ecuación de la forma

2incógnita² + 7 = 0

Dividiendo ambos lados por 2 obtenemos la ecuación incógnita² = -7/2. Esta ecuación no tiene raíces reales, ya que incógnita² ≥ 0 para cualquier número real incógnita.

Considere una ecuación de la forma

3incógnita² + 5 incógnita= 0

Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos incógnita(3incógnita+ 5) = 0, la respuesta tendrá dos raíces incógnita= 0, incógnita=-5/3.

Lo más importante a la hora de resolver ecuaciones cuadráticas es llevar la ecuación cuadrática a una forma estándar, memorizar la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática general y no confundirse con los signos.

Considere la ecuación cuadrática:
(1) .
Raíces de una ecuación cuadrática(1) están determinados por las fórmulas:
; .
Estas fórmulas se pueden combinar así:
.
Cuando se conocen las raíces de una ecuación cuadrática, entonces un polinomio de segundo grado se puede representar como un producto de factores (factorizado):
.

A continuación suponemos que son números reales.
consideremos discriminante de una ecuación cuadrática:
.
Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales diferentes:
; .
Entonces la factorización del trinomio cuadrático tiene la forma:
.
Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales múltiples (iguales):
.
Factorización:
.
Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces conjugadas complejas:
;
.
Aquí está la unidad imaginaria, ;
y son las partes real e imaginaria de las raíces:
; .
Entonces

.

Interpretación gráfica

Si trazas la función
,
que es una parábola, entonces los puntos de intersección de la gráfica con el eje serán las raíces de la ecuación
.
En , la gráfica interseca el eje x (eje) en dos puntos.
Cuando , la gráfica toca el eje x en un punto.
Cuando , la gráfica no cruza el eje x.

A continuación se muestran ejemplos de dichos gráficos.

Fórmulas útiles relacionadas con la ecuación cuadrática.

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Realizamos transformaciones y aplicamos las fórmulas (f.1) y (f.3):




,
Dónde
; .

Entonces, obtuvimos la fórmula para un polinomio de segundo grado en la forma:
.
Esto muestra que la ecuación

realizado en
Y .
Es decir, y son las raíces de la ecuación cuadrática.
.

Ejemplos de determinación de las raíces de una ecuación cuadrática.

Ejemplo 1

(1.1) .

Solución

.
Comparando con nuestra ecuación (1.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontramos el discriminante:
.
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales:
;
;
.

De aquí obtenemos la factorización del trinomio cuadrático:

.

Gráfica de la función y = 2 x 2 + 7 x + 3 corta al eje x en dos puntos.

Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Cruza el eje de abscisas (eje) en dos puntos:
Y .
Estos puntos son las raíces de la ecuación original (1.1).

Respuesta

;
;
.

Ejemplo 2

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(2.1) .

Solución

Escribamos la ecuación cuadrática en forma general:
.
Comparando con la ecuación original (2.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontramos el discriminante:
.
Como el discriminante es cero, la ecuación tiene dos raíces múltiples (iguales):
;
.

Entonces la factorización del trinomio tiene la forma:
.

Gráfica de la función y = x 2-4x+4 toca el eje x en un punto.

Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Toca el eje x (eje) en un punto:
.
Este punto es la raíz de la ecuación original (2.1). Porque esta raíz se factoriza dos veces:
,
entonces dicha raíz suele denominarse múltiplo. Es decir, creen que existen dos raíces iguales:
.

Respuesta

;
.

Ejemplo 3

Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(3.1) .

Solución

Escribamos la ecuación cuadrática en forma general:
(1) .
Reescribamos la ecuación original (3.1):
.
Comparando con (1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Encontramos el discriminante:
.
El discriminante es negativo.

Por tanto, no existen raíces reales.
;
;

Trazamos la función
.
Puedes encontrar raíces complejas:

Respuesta

La gráfica de esta función es una parábola. No cruza el eje x (eje). Por tanto, no existen raíces reales.
;
;
.

No hay raíces reales. Raíces complejas:

Escuela secundaria rural de Kop'evsk

Diez formas de resolver ecuaciones cuadráticas

Jefa: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematicas

pueblo Kopevo, 2007

1. Historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.

1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

1.2 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas

1.3 Ecuaciones cuadráticas en India

1.4 Ecuaciones cuadráticas de al-Khorezmi

1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII - XVII

1.6 Sobre el teorema de Vieta

2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

Conclusión

1. Literatura

Historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.

1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado, incluso en la antigüedad, se debió a la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos y con trabajos de excavación de carácter militar, así como como ocurre con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a.C. mi. Babilonios.

Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de incompletas, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas: 2 + Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de incompletas, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas: = ¾; Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de incompletas, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas: 2 - Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de incompletas, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas: = 14,5

La regla para resolver estas ecuaciones, expuesta en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora sólo proporcionan problemas con soluciones presentadas en forma de recetas, sin indicación de cómo fueron encontrados.

A pesar del alto nivel de desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y de métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.

1.2 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas.

La Aritmética de Diofanto no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero sí una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados.

Al componer ecuaciones, Diofanto selecciona hábilmente incógnitas para simplificar la solución.

Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.

Problema 11."Encuentra dos números, sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96"

Diofanto razona de la siguiente manera: de las condiciones del problema se deduce que los números requeridos no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto no sería igual a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será mayor que la mitad de su suma, es decir. 10+x, el otro es menor, es decir 10. La diferencia entre ellos 2x .

De ahí la ecuación:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-x2 = 96

x2 - 4 = 0 (1)

Desde aquí x = 2. Uno de los números requeridos es igual a 12 , otro 8 . Solución x = -2 porque Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.

Si resolvemos este problema eligiendo uno de los números requeridos como incógnita, llegaremos a una solución a la ecuación.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Está claro que al elegir la media diferencia de los números requeridos como incógnita, Diofanto simplifica la solución; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta (1).

1.3 Ecuaciones cuadráticas en India

Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), esbozó una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

En la ecuación (1), los coeficientes, excepto A, también puede ser negativo. El gobierno de Brahmagupta es esencialmente el mismo que el nuestro.

En la antigua India, eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competencias: “Así como el sol eclipsa a las estrellas con su brillo, así un hombre erudito eclipsará la gloria de otro en asambleas públicas, proponiendo y resolviendo problemas algebraicos”. Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.

Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars.

Problema 13.

“Una bandada de monos juguetones, y doce a lo largo de las viñas...

Las autoridades, después de comer, se divirtieron. Empezaron a saltar, a colgarse...

Están en la plaza, parte ocho. ¿Cuántos monos había?

Me estaba divirtiendo en el claro. Dime, ¿en este paquete?

La solución de Bhaskara indica que sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores (Fig. 3).

La ecuación correspondiente al problema 13 es:

( incógnita /8) 2 + 12 = incógnita

Bhaskara escribe bajo el pretexto:

x2 - 64x = -768

y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación en un cuadrado, suma a ambos lados 32 2 , luego obteniendo:

x 2 - 64 x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Ecuaciones cuadráticas en al - Khorezmi

En el tratado algebraico de al-Khorezmi se da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:

1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir hacha 2 + c = b INCÓGNITA.

2) “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir hacha 2 = c.

3) “Las raíces son iguales al número”, es decir ah = s.

4) “Los cuadrados y los números son iguales a las raíces”, es decir hacha 2 + c = b INCÓGNITA.

5) “Los cuadrados y las raíces son iguales a los números”, es decir ah 2 + bx = s.

6) “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir bx + c = hacha 2 .

Para al-Khorezmi, que evitó el uso de números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son sumandos y no restables. En este caso, obviamente no se tienen en cuenta las ecuaciones que no tienen soluciones positivas. El autor expone métodos para resolver estas ecuaciones utilizando las técnicas de al-jabr y al-muqabala. Sus decisiones, por supuesto, no coinciden del todo con las nuestras. Sin mencionar que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo

Al-Khorezmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta la solución cero, probablemente porque en problemas prácticos específicos no importa. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas, al-Khorezmi establece las reglas para resolverlas usando ejemplos numéricos particulares y luego pruebas geométricas.

Problema 14.“El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. Encuentra la raíz" (implica la raíz de la ecuación x 2 + 21 = 10x).

La solución del autor es más o menos así: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 del producto, lo que queda es 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5 , obtienes 3, esta será la raíz deseada. O suma 2 a 5, lo que da 7, esto también es una raíz.

El tratado de al-Khorezmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de ecuaciones cuadráticas y proporciona fórmulas para su solución.

1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa XIII - XVII cama y desayuno

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas siguiendo las líneas de al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra, que refleja la influencia de las matemáticas, tanto de los países del Islam como de la antigua Grecia, se distingue tanto por su integridad como por su claridad de presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos ejemplos algebraicos nuevos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del Libro del Ábaco se utilizaron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y en parte XVIII.

La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducida a una única forma canónica:

x2 + bx =c,

para todas las combinaciones posibles de signos de coeficientes b , Con No fue formulado en Europa hasta 1544 por M. Stiefel.

La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma general está disponible en Vieth, pero Vieth sólo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las positivas, también se tienen en cuenta las raíces negativas. Sólo en el siglo XVII. Gracias al trabajo de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna.

1.6 Sobre el teorema de Vieta

El teorema que expresa la relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, que lleva el nombre de Vieta, fue formulado por primera vez por él en 1591 de la siguiente manera: “Si B + D, multiplicado por A - A 2 , es igual BD, Eso A es igual EN e igual D ».

Para entender a Vieta debemos recordar que A, como cualquier letra vocal, significaba lo desconocido (nuestro incógnita), vocales EN, D- coeficientes para lo desconocido. En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación de Vieta anterior significa: si hay

(un + b )x-x2 = ab ,

x 2 - (un + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Al expresar la relación entre las raíces y los coeficientes de ecuaciones con fórmulas generales escritas mediante símbolos, Viète estableció uniformidad en los métodos de resolución de ecuaciones. Sin embargo, el simbolismo vietnamita aún está lejos de su forma moderna. No reconocía los números negativos y por eso, al resolver ecuaciones, consideraba sólo los casos en los que todas las raíces eran positivas.

2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

Las ecuaciones cuadráticas son la base sobre la que descansa el majestuoso edificio del álgebra. Las ecuaciones cuadráticas se utilizan ampliamente para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, irracionales y trascendentales. Todos sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas desde la escuela (octavo grado) hasta la graduación.

El discriminante, al igual que las ecuaciones cuadráticas, comienza a estudiarse en un curso de álgebra en octavo grado. Puedes resolver una ecuación cuadrática mediante un discriminante y usando el teorema de Vieta. El método de estudiar ecuaciones cuadráticas, así como fórmulas discriminantes, se enseña sin éxito a los escolares, como muchas cosas en la educación real. Por lo tanto, pasan los años escolares, la educación en los grados 9-11 es reemplazada por la "educación superior" y todos miran de nuevo. “¿Cómo resolver una ecuación cuadrática?”, “¿Cómo encontrar las raíces de la ecuación?”, “¿Cómo encontrar el discriminante?” Y...

Fórmula discriminante

El discriminante D de la ecuación cuadrática a*x^2+bx+c=0 es igual a D=b^2–4*a*c.
Las raíces (soluciones) de una ecuación cuadrática dependen del signo del discriminante (D):
D>0 – la ecuación tiene 2 raíces reales diferentes;
D=0 - la ecuación tiene 1 raíz (2 raíces coincidentes):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
La fórmula para calcular el discriminante es bastante simple, por lo que muchos sitios web ofrecen una calculadora de discriminante en línea. Aún no hemos descubierto este tipo de scripts, así que si alguien sabe cómo implementarlos, escríbanos por correo electrónico. Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Debe tener JavaScript habilitado para verlo. .

Fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.:

Encontramos las raíces de la ecuación usando la fórmula.
Si el coeficiente de una variable al cuadrado está emparejado, entonces es recomendable calcular no el discriminante, sino su cuarta parte.
En tales casos, las raíces de la ecuación se encuentran usando la fórmula

La segunda forma de encontrar raíces es el teorema de Vieta.

El teorema se formula no sólo para ecuaciones cuadráticas, sino también para polinomios. Puede leer esto en Wikipedia u otros recursos electrónicos. Sin embargo, para simplificar, consideremos la parte que concierne a las ecuaciones cuadráticas anteriores, es decir, ecuaciones de la forma (a=1)
La esencia de las fórmulas de Vieta es que la suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente de la variable, tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces de la ecuación es igual al término libre. El teorema de Vieta se puede escribir en fórmulas.
La derivación de la fórmula de Vieta es bastante sencilla. Escribamos la ecuación cuadrática mediante factores simples.
Como puedes ver, todo lo ingenioso es sencillo al mismo tiempo. Es efectivo utilizar la fórmula de Vieta cuando la diferencia de módulos de las raíces o la diferencia de módulos de las raíces es 1, 2. Por ejemplo, las siguientes ecuaciones, según el teorema de Vieta, tienen raíces




Hasta la ecuación 4, el análisis debería verse así. El producto de las raíces de la ecuación es 6, por lo tanto las raíces pueden ser los valores (1, 6) y (2, 3) o pares con signos opuestos. La suma de las raíces es 7 (el coeficiente de la variable de signo opuesto). De aquí concluimos que las soluciones de la ecuación cuadrática son x=2; x=3.
Es más fácil seleccionar las raíces de la ecuación entre los divisores del término libre, ajustando su signo para cumplir con las fórmulas de Vieta. Al principio, esto parece difícil de hacer, pero con la práctica de varias ecuaciones cuadráticas, esta técnica resultará más efectiva que calcular el discriminante y encontrar las raíces de la ecuación cuadrática de la manera clásica.
Como puede ver, la teoría escolar sobre el estudio del discriminante y los métodos para encontrar soluciones a la ecuación carece de significado práctico. "¿Por qué los escolares necesitan una ecuación cuadrática?", "¿Cuál es el significado físico del discriminante?"

Intentemos resolverlo ¿Qué describe el discriminante?

En el curso de álgebra se estudian funciones, esquemas para estudiar funciones y construir una gráfica de funciones. De todas las funciones, un lugar importante lo ocupa la parábola, cuya ecuación se puede escribir en la forma
Entonces, el significado físico de la ecuación cuadrática son los ceros de la parábola, es decir, los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas Ox.
Te pido que recuerdes las propiedades de las parábolas que se describen a continuación. Llegará el momento de realizar exámenes, test o pruebas de acceso y agradecerás el material de referencia. El signo de la variable al cuadrado corresponde a si las ramas de la parábola en la gráfica subirán (a>0),

o una parábola con ramas hacia abajo (una<0) .

El vértice de la parábola se encuentra a medio camino entre las raíces.

Significado físico del discriminante:

Si el discriminante es mayor que cero (D>0) la parábola tiene dos puntos de intersección con el eje Ox.
Si el discriminante es cero (D=0), entonces la parábola en el vértice toca el eje x.
Y el último caso, cuando el discriminante es menor que cero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Ecuaciones cuadráticas. Discriminante. Solución, ejemplos.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Tipos de ecuaciones cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática? ¿Cómo se ve? Durante el curso ecuación cuadrática la palabra clave es "cuadrado". Esto significa que en la ecuación Necesariamente debe haber una x al cuadrado. Además, la ecuación puede (¡o no!) contener solo X (a la primera potencia) y solo un número (miembro gratuito). Y no debería haber ninguna X de grado dos.

En términos matemáticos, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

Aquí a, b y c- algunos números. b y c- absolutamente cualquiera, pero A– cualquier valor distinto de cero. Por ejemplo:

Aquí A =1; b = 3; do = -4

Aquí A =2; b = -0,5; do = 2,2

Aquí A =-3; b = 6; do = -18

Bueno, entiendes...

En estas ecuaciones cuadráticas de la izquierda hay conjunto completo miembros. X al cuadrado con un coeficiente A, x a la primera potencia con coeficiente b Y miembros libres s.

Estas ecuaciones cuadráticas se llaman lleno.

Y si b= 0, ¿qué obtenemos? Tenemos X desaparecerá en primer grado. Esto sucede cuando se multiplica por cero). Resulta, por ejemplo:

5x 2 -25 = 0,

2x2-6x=0,

-x 2 +4x=0

Etc. Y si ambos coeficientes b Y do son iguales a cero, entonces es aún más simple:

2x2=0,

-0.3x 2 =0

Las ecuaciones en las que falta algo se llaman ecuaciones cuadráticas incompletas. Lo cual es bastante lógico.) Tenga en cuenta que x al cuadrado está presente en todas las ecuaciones.

Por cierto, ¿por qué? A¿No puede ser igual a cero? Y en su lugar lo sustituyes A cero.) ¡Nuestra X al cuadrado desaparecerá! La ecuación se volverá lineal. Y la solución es completamente diferente...

Esos son todos los tipos principales de ecuaciones cuadráticas. Completo e incompleto.

Resolver ecuaciones cuadráticas.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas.

Las ecuaciones cuadráticas son fáciles de resolver. Según fórmulas y reglas claras y sencillas. En la primera etapa, es necesario llevar la ecuación dada a una forma estándar, es decir a la forma:

Si ya se le ha proporcionado la ecuación en este formulario, no es necesario que realice la primera etapa). Lo principal es determinar correctamente todos los coeficientes, A, b Y do.

La fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:

La expresión bajo el signo raíz se llama discriminante. Pero más sobre él a continuación. Como puedes ver, para encontrar X, usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de una ecuación cuadrática. Simplemente sustituye cuidadosamente los valores. a, b y c Calculamos en esta fórmula. sustituyamos ¡Con tus propios carteles! Por ejemplo, en la ecuación:

A =1; b = 3; do= -4. Aquí lo anotamos:

El ejemplo está casi resuelto:

Ésta es la respuesta.

Es muy sencillo. ¿Y qué, crees que es imposible equivocarse? Pues sí, ¿cómo...?

Los errores más comunes son la confusión con los valores de los signos. a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Lo que ayuda aquí es una grabación detallada de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, haz eso!

Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:

Aquí a = -6; b = -5; do = -1

Digamos que sabes que rara vez obtienes respuestas la primera vez.

Bueno, no seas perezoso. Se necesitarán unos 30 segundos para escribir una línea adicional y la cantidad de errores. disminuirá drásticamente. Así que escribimos detalladamente, con todos los corchetes y signos:

Parece increíblemente difícil escribir con tanto cuidado. Pero sólo lo parece. Probar. Bueno, o elige. ¿Qué es mejor, rápido o correcto?

Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no será necesario escribir todo con tanto cuidado. Funcionará por sí solo. Especialmente si utiliza técnicas prácticas que se describen a continuación. ¡Este malvado ejemplo con un montón de desventajas se puede resolver fácilmente y sin errores!

Pero, a menudo, las ecuaciones cuadráticas lucen ligeramente diferentes. Por ejemplo, así: ¿Lo reconociste?) ¡Sí! Este.

ecuaciones cuadráticas incompletas

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. a, b y c.

También se pueden resolver mediante una fórmula general. Solo necesitas entender correctamente a qué equivalen aquí. ¿Lo has descubierto? En el primer ejemplo a = 1; segundo = -4; do A ? ¡No está ahí en absoluto! Pues sí, así es. En matemáticas esto significa que c = 0 ! Eso es todo. Sustituya cero en la fórmula. do, Con y lo lograremos. Lo mismo con el segundo ejemplo. Sólo que aquí no tenemos cero. b !

, A

Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver de manera mucho más sencilla. Sin fórmulas. Consideremos la primera ecuación incompleta. ¿Qué puedes hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar X de los paréntesis! Saquémoslo.
¿Y qué hay de esto? ¡Y el hecho de que el producto es igual a cero si y sólo si alguno de los factores es igual a cero! ¿No me crees? Bien, entonces crea dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, ¡darán cero!
¿No funciona? Eso es todo... Por lo tanto, podemos escribir con confianza:, x1 = 0.

x2 = 4 Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos son adecuados. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más sencilla que usar la fórmula general. Permítanme señalar, por cierto, cuál X será el primero y cuál el segundo, absolutamente indiferente. Es conveniente escribir en orden, x1 - ¿Qué es más pequeño y x2

- lo que es mayor.

La segunda ecuación también se puede resolver de forma sencilla. Mueva 9 hacia el lado derecho. Obtenemos:

Sólo queda extraer la raíz del 9 y listo. Resultará: . También dos raíces, x1 = -3.

Así se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea colocando X entre corchetes o simplemente moviendo el número hacia la derecha y luego extrayendo la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estas técnicas. Simplemente porque en el primer caso tendrás que extraer la raíz de X, que es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...

Discriminante. Fórmula discriminante.

palabra magica discriminante ! ¡Rara vez un estudiante de secundaria no ha escuchado esta palabra! La frase “resolvemos mediante un discriminante” inspira confianza y tranquilidad. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y sin problemas de usar.) Les recuerdo la fórmula más general para resolver cualquier ecuaciones cuadráticas:

La expresión bajo el signo raíz se llama discriminante. Normalmente el discriminante se indica con la letra D. Fórmula discriminante:

re = segundo 2 - 4ac

¿Y qué tiene de notable esta expresión? ¿Por qué merecía un nombre especial? Qué ¿El significado del discriminante? Después de todo -b, o 2a en esta fórmula no lo llaman específicamente de nada... Letras y letras.

Aquí está la cosa. Al resolver una ecuación cuadrática usando esta fórmula, es posible sólo tres casos.

1. El discriminante es positivo. Esto significa que se puede extraer la raíz. Otra cuestión es si la raíz se extrae bien o mal. Lo importante es lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.

2. El discriminante es cero. Entonces tendrás una solución. Ya que sumar o restar cero en el numerador no cambia nada. Estrictamente hablando, esta no es una raíz, sino dos identicos. Pero, en una versión simplificada, se acostumbra hablar de una solución.

3. El discriminante es negativo. No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Ah, bueno. Esto significa que no hay soluciones.

Para ser honesto, cuando simplemente se resuelven ecuaciones cuadráticas, el concepto de discriminante realmente no es necesario. Sustituimos los valores de los coeficientes en la fórmula y contamos. Allí todo sucede por sí solo, dos raíces, una y ninguna. Sin embargo, al resolver tareas más complejas, sin conocimientos. significado y fórmula del discriminante no puedo arreglármelas. Especialmente en ecuaciones con parámetros. ¡Estas ecuaciones son acrobacias aéreas para el examen estatal y el examen estatal unificado!)

Entonces, cómo resolver ecuaciones cuadráticas a través del discriminante que recordaste. O aprendiste, lo cual tampoco está mal.) Sabes cómo determinar correctamente a, b y c. ¿Sabes cómo? atentamente sustitúyelos en la fórmula raíz y atentamente contar el resultado. Entiendes que la palabra clave aquí es ¿atentamente?

Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente la cantidad de errores. Los mismos que son por falta de atención... Por lo que luego se vuelve doloroso y ofensivo...

Primera cita . No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática y llevarla a su forma estándar. ¿Qué quiere decir esto?
Digamos que después de todas las transformaciones se obtiene la siguiente ecuación:

¡No te apresures a escribir la fórmula raíz! Es casi seguro que las probabilidades se mezclarán a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, X al cuadrado, luego sin cuadrado, luego el término libre. Como esto:

Y de nuevo, ¡no te apresures! Un signo menos delante de una X al cuadrado puede realmente molestarte. Es fácil de olvidar... Deshazte de los menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:

Pero ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y terminar de resolver el ejemplo. Decide por ti mismo.

Ahora deberías tener las raíces 2 y -1. Recepción segunda. ¡Comprueba las raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No te asustes, te lo explicaré todo! De chequesúltimo ecuación. Aquellos. el que usamos para escribir la fórmula raíz. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1 , comprobar las raíces es fácil. Basta multiplicarlos. El resultado debería ser un miembro gratuito, es decir. en nuestro caso -2. ¡Tenga en cuenta que no 2, sino -2! Miembro gratuito con tu signo

. Si no funciona, significa que ya se han equivocado en alguna parte. Busque el error. b Si funciona, necesitas agregar las raíces. Última y definitiva comprobación. El coeficiente debe ser Con opuesto b familiar. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente
, que está antes de la X, es igual a -1. Entonces, ¡todo es correcto! Es una pena que esto sea tan simple sólo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1.

¡Pero al menos comprueba esas ecuaciones! Cada vez habrá menos errores. Recepción tercero

. Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por un denominador común como se describe en la lección "¿Cómo resolver ecuaciones? Transformaciones de identidad". Cuando se trabaja con fracciones, los errores siguen apareciendo por alguna razón...

Por cierto, prometí simplificar el malvado ejemplo con un montón de desventajas. ¡Por favor! Aquí está.

Para no confundirnos con los inconvenientes, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:

¡Eso es todo! ¡Resolver es un placer!

Entonces, resumamos el tema.

Consejos prácticos: 1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a su forma estándar y la construimos..

Bien

3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente.

4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente es igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente usando el teorema de Vieta. ¡Hazlo!

Ahora podemos decidir.)

Resolver ecuaciones:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Respuestas (en desorden):

Por lo tanto, podemos escribir con confianza:
x2 = 5

x 1,2 =2

x1 = 2
x2 = -0,5

x - cualquier número

También dos raíces
x1 = -3

sin soluciones

x1 = 0,25
x2 = 0,5

¿Todo encaja? ¡Excelente! Las ecuaciones cuadráticas no son tu dolor de cabeza. ¿Los primeros tres funcionaron, pero el resto no? Entonces el problema no son las ecuaciones cuadráticas. El problema está en transformaciones idénticas de ecuaciones. Echa un vistazo al enlace, es útil.

¿No funciona del todo? ¿O no funciona en absoluto? Entonces la Sección 555 le ayudará. Todos estos ejemplos se desglosan allí. Mostrado principal errores en la solución. Por supuesto, también hablamos del uso de transformaciones idénticas para resolver varias ecuaciones. ¡Ayuda mucho!

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.