Un cilindro es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica. En el artículo hablaremos de cómo encontrar el área de un cilindro y, utilizando la fórmula, resolveremos varios problemas a modo de ejemplo.

Un cilindro tiene tres superficies: una superior, una base y una superficie lateral.

La parte superior y la base de un cilindro son círculos y son fáciles de identificar.

Se sabe que el área de un círculo es igual a πr 2. Por tanto, la fórmula para el área de dos círculos (la parte superior y la base del cilindro) será πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

La tercera superficie lateral del cilindro es la pared curva del cilindro. Para imaginar mejor esta superficie, intentemos transformarla para obtener una forma reconocible. Imagine que el cilindro es una lata común y corriente que no tiene tapa superior ni inferior. Hagamos un corte vertical en la pared lateral desde la parte superior hasta la base de la lata (Paso 1 en la figura) e intentemos abrir (enderezar) la figura resultante tanto como sea posible (Paso 2).

Una vez que el frasco resultante esté completamente abierto, veremos una figura familiar (Paso 3), este es un rectángulo. El área de un rectángulo es fácil de calcular. Pero antes de eso, volvamos por un momento al cilindro original. El vértice del cilindro original es un círculo, y sabemos que la circunferencia se calcula mediante la fórmula: L = 2πr. Está marcado en rojo en la figura.

Cuando la pared lateral del cilindro está completamente abierta, vemos que la circunferencia se convierte en la longitud del rectángulo resultante. Los lados de este rectángulo serán la circunferencia (L = 2πr) y la altura del cilindro (h). El área de un rectángulo es igual al producto de sus lados - S = largo x ancho = L x h = 2πr x h = 2πrh. Como resultado, obtuvimos una fórmula para calcular el área de la superficie lateral del cilindro.

Fórmula para el área de la superficie lateral de un cilindro.
lado S = 2πrh

Superficie total de un cilindro

Finalmente, si sumamos el área de las tres superficies, obtenemos la fórmula para el área de superficie total de un cilindro. El área de superficie de un cilindro es igual al área de la parte superior del cilindro + el área de la base del cilindro + el área de la superficie lateral del cilindro o S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. A veces esta expresión se escribe idéntica a la fórmula 2πr (r + h).

Fórmula para la superficie total de un cilindro
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – radio del cilindro, h – altura del cilindro

Ejemplos de cálculo de la superficie de un cilindro.

Para comprender las fórmulas anteriores, intentemos calcular el área de superficie de un cilindro usando ejemplos.

1. El radio de la base del cilindro es 2, la altura es 3. Determine el área de la superficie lateral del cilindro.

La superficie total se calcula mediante la fórmula: Lado S. = 2πrh

lado S = 2*3,14*2*3

lado S = 6,28 * 6

lado S = 37,68

La superficie lateral del cilindro es 37,68.

2. ¿Cómo encontrar el área de superficie de un cilindro si la altura es 4 y el radio es 6?

La superficie total se calcula mediante la fórmula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2*3,14*6 2 + 2*3,14*6*4

S = 2*3,14*36 + 2*3,14*24

Cómo calcular la superficie de un cilindro es el tema de este artículo. En cualquier problema matemático, es necesario comenzar ingresando datos, determinar qué se sabe y con qué operar en el futuro, y solo entonces proceder directamente al cálculo.

Este cuerpo volumétrico es una figura geométrica cilíndrica, delimitada arriba y abajo por dos planos paralelos. Si aplicas un poco de imaginación, notarás que un cuerpo geométrico se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje, siendo uno de sus lados el eje.

De ello se deduce que la curva descrita arriba y debajo del cilindro será un círculo, cuyo principal indicador es el radio o diámetro.

Área de superficie de un cilindro - calculadora en línea

Esta función finalmente simplifica el proceso de cálculo y todo se reduce a sustituir automáticamente los valores especificados por la altura y el radio (diámetro) de la base de la figura. Lo único que se requiere es determinar con precisión los datos y no cometer errores al ingresar números.

Área de superficie lateral del cilindro

Primero debes imaginar cómo se ve un escaneo en un espacio bidimensional.

Esto no es más que un rectángulo, uno de cuyos lados es igual a la circunferencia. Su fórmula se conoce desde tiempos inmemoriales: 2π*r, Dónde r- radio del círculo. El otro lado del rectángulo es igual a la altura. h. Encontrar lo que buscas no será difícil.

Slado= 2π *Rh,

donde esta el numero π = 3,14.

Superficie total de un cilindro

Para encontrar el área total del cilindro, debes usar el resultado lado S suma las áreas de dos círculos, la parte superior e inferior del cilindro, que se calculan mediante la fórmula Entonces =2π * r 2 .

La fórmula final se ve así:

Spiso= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Área de un cilindro - fórmula a través del diámetro

Para facilitar los cálculos, en ocasiones es necesario realizar cálculos a través del diámetro. Por ejemplo, hay un trozo de tubo hueco de diámetro conocido.

Sin molestarnos con cálculos innecesarios, tenemos una fórmula ya preparada. El álgebra de quinto grado viene al rescate.

Sgénero = 2π*r 2 + 2 π * r * h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

En lugar de r necesitas insertar el valor en la fórmula completa r =d/2.

Ejemplos de cálculo del área de un cilindro.

Armados con el conocimiento, comencemos a practicar.

Ejemplo 1. Es necesario calcular el área de un trozo de tubería truncada, es decir, un cilindro.

Tenemos r = 24 mm, h = 100 mm. Necesitas usar la fórmula a través del radio:

S piso = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Convertimos al m2 habitual y obtenemos 0,01868928, aproximadamente 0,02 m2.

Ejemplo 2. Es necesario averiguar el área de la superficie interna de una tubería de estufa de amianto, cuyas paredes están revestidas con ladrillos refractarios.

Los datos son los siguientes: diámetro 0,2 m; altura 2 m Usamos la fórmula en términos de diámetro:

S piso = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Ejemplo 3. Cómo saber cuánto material se necesita para coser un bolso, r = 1 m y 1 m de alto.

Un momento, hay una fórmula:

Lado S = 2*3,14*1*1 = 6,28 m2.

Conclusión

Al final del artículo surgió la pregunta: ¿son realmente necesarios todos estos cálculos y conversiones de un valor a otro? ¿Por qué es necesario todo esto y, lo más importante, para quién? Pero no descuides ni olvides fórmulas simples de la escuela secundaria.

El mundo se ha basado y se basará en conocimientos elementales, incluidas las matemáticas. Y, al iniciar cualquier trabajo importante, nunca es mala idea refrescar la memoria de estos cálculos, aplicándolos en la práctica con gran efecto. La precisión es la cortesía de los reyes.

Encuentre el área de la sección axial perpendicular a las bases del cilindro. Uno de los lados de este rectángulo es igual a la altura del cilindro, el segundo, al diámetro del círculo base. En consecuencia, el área de la sección transversal en este caso será igual al producto de los lados del rectángulo. S=2R*h, donde S es el área de la sección transversal, R es el radio del círculo base, dado por las condiciones del problema, y ​​h es la altura del cilindro, también dada por las condiciones del problema.

Si la sección es perpendicular a las bases, pero no pasa por el eje de rotación, el rectángulo no será igual al diámetro del círculo. Es necesario calcularlo. Para ello, el problema debe decir a qué distancia del eje de rotación pasa el plano de sección. Para facilitar los cálculos, construya un círculo en la base del cilindro, dibuje un radio y trace en él la distancia a la que se encuentra la sección desde el centro del círculo. Desde este punto, dibuja perpendiculares hasta su intersección con el círculo. Conecte los puntos de intersección al centro. Necesitas encontrar los acordes. Encuentra el tamaño de media cuerda usando el teorema de Pitágoras. Será igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre los cuadrados del radio del círculo desde el centro hasta la línea de sección. a2=R2-b2. En consecuencia, toda la cuerda será igual a 2a. Calcula el área de la sección transversal, que es igual al producto de los lados del rectángulo, es decir, S=2a*h.

El cilindro se puede cortar sin pasar por el plano de la base. Si la sección transversal es perpendicular al eje de rotación, entonces será un círculo. Su área en este caso es igual al área de las bases, es decir, calculada mediante la fórmula S = πR2.

Consejos útiles

Para representar con mayor precisión la sección, haga un dibujo y construcciones adicionales para ella.

Fuentes:

• área de la sección transversal del cilindro

La línea de intersección de una superficie con un plano pertenece tanto a la superficie como al plano de corte. La línea de intersección de una superficie cilíndrica con un plano de corte paralelo a la generatriz recta es una línea recta. Si el plano de corte es perpendicular al eje de la superficie de rotación, la sección será un círculo. En general, la línea de intersección de una superficie cilíndrica con un plano de corte es una línea curva.

necesitarás

• Lápiz, regla, triángulo, patrones, compás, metro.

Instrucciones

En el plano frontal de proyecciones П₂, la línea de sección coincide con la proyección del plano de corte Σ₂ en forma de línea recta.
Designe los puntos de intersección de las generatrices del cilindro con la proyección Σ₂ 1₂, 2₂, etc. a los puntos 10₂ y 11₂.

En el plano P₁ es un círculo. Puntos 1₂, 2₂, etc. marcados en el plano de sección Σ₂. Mediante una línea de conexión de proyección se proyectan sobre el contorno de este círculo. Marque sus proyecciones horizontales simétricamente con respecto al eje horizontal del círculo.

Así, se determinan las proyecciones de la sección deseada: en el plano P₂ – una línea recta (puntos 1₂, 2₂…10₂); en el plano P₁ – un círculo (puntos 1₁, 2₁…10₁).

Usando dos, construya el tamaño natural de la sección de este cilindro por el plano frontal saliente Σ. Para hacer esto, use el método de proyección.

Dibuja el plano П₄ paralelo a la proyección del plano Σ₂. En este nuevo eje x₂₄, marque el punto 1₀. Distancias entre puntos 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂, etc. desde la proyección frontal de la sección, colóquela en el eje x₂₄, dibuje líneas finas de la conexión de proyección perpendiculares al eje x₂₄.

En este método, el plano P₄ se reemplaza por el plano P₁, por lo tanto, desde la proyección horizontal, transfiera las dimensiones del eje a los puntos al eje del plano P₄.

Por ejemplo, en P₁ para los puntos 2 y 3 esta será la distancia de 2₁ y 3₁ al eje (punto A), etc.

Dejando de lado las distancias indicadas desde la proyección horizontal, se obtienen los puntos 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Luego, para mayor precisión de construcción, se determinan los puntos intermedios restantes.

Al conectar todos los puntos con una curva patrón, se obtiene el tamaño natural requerido de la sección del cilindro por el plano de proyección frontal.

Fuentes:

• cómo reemplazar un avión

Consejo 3: Cómo encontrar el área de la sección transversal axial de un cono truncado

Para solucionar este problema es necesario recordar qué es un cono truncado y qué propiedades tiene. Asegúrate de hacer un dibujo. Esto te permitirá determinar qué figura geométrica representa la sección. Es muy posible que después de esto, resolver el problema ya no le resulte difícil.

Instrucciones

Un cono redondo es un cuerpo que se obtiene haciendo girar un triángulo alrededor de uno de sus catetos. Líneas rectas que emanan del ápice. cono y que cruzan su base se llaman generadores. Si todos los generadores son iguales, entonces el cono es recto. En la base de la ronda cono se encuentra un círculo. La perpendicular caída a la base desde el vértice es la altura. cono. En la recta redonda cono la altura coincide con su eje. El eje es una línea recta que conecta con el centro de la base. Si el plano de corte horizontal de una circular cono, entonces su base superior es un círculo.

Dado que en el planteamiento del problema no se especifica que sea el cono el que se da en este caso, podemos concluir que se trata de un cono truncado recto, cuya sección horizontal es paralela a la base. Su sección axial, es decir plano vertical, que a través del eje de la ronda cono, es un trapezoide equilátero. Todo axial secciones redondo recto cono son iguales entre sí. Por lo tanto, para encontrar cuadrado axial secciones, necesitas encontrar cuadrado trapezoide, cuyas bases son los diámetros de las bases de un truncado cono, y los lados laterales son sus constituyentes. altura del fruto cono es también la altura del trapezoide.

El área de un trapezoide está determinada por la fórmula: S = ½(a+b) h, donde S – cuadrado trapezoide; a – el tamaño de la base inferior del trapezoide; b – el tamaño de su base superior h – la altura del trapezoide;

Dado que la condición no especifica cuáles se dan, es posible que los diámetros de ambas bases del truncado cono conocido: AD = d1 – diámetro de la base inferior del truncado cono;BC = d2 – diámetro de su base superior; EH = h1 – altura cono.De este modo, cuadrado axial secciones truncado cono se define: S1 = ½ (d1+d2) h1

Fuentes:

• área de un cono truncado

Un cilindro es una figura espacial y consta de dos bases iguales, que son círculos y una superficie lateral que conecta las líneas que limitan las bases. para calcular cuadrado cilindro, encuentra las áreas de todas sus superficies y súmalas.

Un cilindro (cilindro circular) es un cuerpo que consta de dos círculos unidos por traslación paralela y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos círculos. Los círculos se llaman bases del cilindro y los segmentos que conectan los puntos correspondientes de las circunferencias de los círculos se llaman generadores del cilindro.

Las bases del cilindro son iguales y se encuentran en planos paralelos, y los generadores del cilindro son paralelos e iguales. La superficie del cilindro consta de la base y la superficie lateral. La superficie lateral está formada por generatrices.

Un cilindro se llama recto si sus generadores son perpendiculares a los planos de la base. Un cilindro puede considerarse como un cuerpo obtenido al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados a modo de eje. Hay otros tipos de cilindros: elípticos, hiperbólicos y parabólicos. Un prisma también se considera como un tipo de cilindro.

La figura 2 muestra un cilindro inclinado. Los círculos con centros O y O 1 son sus bases.

El radio de un cilindro es el radio de su base. La altura del cilindro es la distancia entre los planos de las bases. El eje de un cilindro es una línea recta que pasa por los centros de las bases. Es paralelo a los generadores. La sección transversal de un cilindro cuyo plano pasa por su eje se llama sección axial. El plano que pasa por la generatriz de un cilindro recto y perpendicular a la sección axial trazada a través de esta generatriz se llama plano tangente del cilindro.

Un plano perpendicular al eje del cilindro corta su superficie lateral a lo largo de un círculo igual a la circunferencia de la base.

Un prisma inscrito en un cilindro es un prisma cuyas bases son polígonos iguales inscritos en las bases del cilindro. Sus nervaduras laterales forman el cilindro. Se dice que un prisma está circunscrito a un cilindro si sus bases son polígonos iguales circunscritos a las bases del cilindro. Los planos de sus caras tocan la superficie lateral del cilindro.

El área de la superficie lateral de un cilindro se puede calcular multiplicando la longitud de la generatriz por el perímetro de la sección del cilindro por un plano perpendicular a la generatriz.

El área de la superficie lateral de un cilindro recto se puede encontrar por su desarrollo. El desarrollo de un cilindro es un rectángulo de altura h y longitud P, que es igual al perímetro de la base. Por tanto, el área de la superficie lateral del cilindro es igual al área de su desarrollo y se calcula mediante la fórmula:

En particular, para un cilindro circular recto:

P = 2πR y S b = 2πRh.

El área superficial total de un cilindro es igual a la suma de las áreas de su superficie lateral y sus bases.

Para un cilindro circular recto:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Hay dos fórmulas para encontrar el volumen de un cilindro inclinado.

Puedes encontrar el volumen multiplicando la longitud de la generatriz por el área de la sección transversal del cilindro por un plano perpendicular a la generatriz.

El volumen de un cilindro inclinado es igual al producto del área de la base por la altura (la distancia entre los planos en los que se encuentran las bases):

V = Sh = S l pecado α,

donde l es la longitud de la generatriz y α es el ángulo entre la generatriz y el plano de la base. Para un cilindro recto h = l.

La fórmula para encontrar el volumen de un cilindro circular es la siguiente:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

donde d es el diámetro de la base.

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El área de cada base del cilindro es π r 2, el área de ambas bases será 2π r 2 (figura).

El área de la superficie lateral de un cilindro es igual al área de un rectángulo cuya base es 2π r, y la altura es igual a la altura del cilindro. h, es decir, 2π Rh.

La superficie total del cilindro será: 2π r 2 + 2π Rh= 2π r(r+ h).

El área de la superficie lateral del cilindro se toma como área de barrido su superficie lateral.

Por tanto, el área de la superficie lateral de un cilindro circular recto es igual al área del rectángulo correspondiente (Fig.) y se calcula mediante la fórmula

S a.c. = 2πRH, (1)

Si sumamos el área de sus dos bases al área de la superficie lateral del cilindro, obtenemos la superficie total del cilindro

S lleno =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Volumen de un cilindro recto.

Teorema. El volumen de un cilindro recto es igual al producto del área de su base por su altura. , es decir.

donde Q es el área de la base y H es la altura del cilindro.

Dado que el área de la base del cilindro es Q, entonces existen secuencias de polígonos circunscritos e inscritos con áreas Q norte y Q' norte tal que

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q norte= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ norte= Q.

Construyamos una secuencia de prismas cuyas bases son los polígonos descritos e inscritos discutidos anteriormente, y cuyos bordes laterales son paralelos a la generatriz del cilindro dado y tienen longitud H. Estos prismas están circunscritos e inscritos para el cilindro dado. Sus volúmenes se encuentran mediante las fórmulas.

V norte=Q norte H y V' norte=Q' norte h.

Por eso,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q norte H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ norte H = QH.

Consecuencia.
El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante la fórmula

V = π R 2 H

donde R es el radio de la base y H es la altura del cilindro.

Dado que la base de un cilindro circular es un círculo de radio R, entonces Q = π R 2, y por tanto