Grandes ejemplos en una columna. División de columnas

La división de números naturales, especialmente los de varios dígitos, se realiza cómodamente mediante un método especial, que se llama división por una columna (en una columna). También puedes encontrar el nombre. división de esquina. Observemos de inmediato que la columna se puede utilizar tanto para dividir números naturales sin resto como para dividir números naturales con resto.

En este artículo veremos cuánto tiempo se realiza la división. Aquí hablaremos sobre las reglas de registro y todos los cálculos intermedios. Primero, centrémonos en dividir un número natural de varios dígitos por un número de un solo dígito con una columna. Después de esto, nos centraremos en los casos en los que tanto el dividendo como el divisor son números naturales multivaluados. Toda la teoría de este artículo incluye ejemplos típicos de división por una columna de números naturales con explicaciones detalladas de la solución e ilustraciones.

Navegación de páginas.

Reglas para grabar al dividir por una columna.

Comencemos estudiando las reglas para escribir el dividendo, el divisor, todos los cálculos intermedios y los resultados al dividir números naturales por una columna. Digamos de inmediato que es más conveniente dividir las columnas por escrito en papel con una línea a cuadros; de esta manera hay menos posibilidades de desviarse de la fila y columna deseadas.

Primero, el dividendo y el divisor se escriben en una línea de izquierda a derecha, después de lo cual se dibuja un símbolo de la forma entre los números escritos. Por ejemplo, si el dividendo es el número 6 105 y el divisor es 5 5, entonces su notación correcta al dividir en columna será la siguiente:

Mire el siguiente diagrama para ilustrar dónde escribir los cálculos de dividendo, divisor, cociente, resto y intermedio en una división larga.

Del diagrama anterior queda claro que el cociente deseado (o el cociente incompleto al dividir con resto) se escribirá debajo del divisor debajo de la línea horizontal. Y los cálculos intermedios se realizarán debajo del dividendo, y es necesario cuidar de antemano la disponibilidad de espacio en la página. En este caso, uno debe guiarse por la regla: cuanto mayor sea la diferencia en el número de caracteres en las entradas del dividendo y el divisor, más espacio se necesitará. Por ejemplo, al dividir por una columna el número natural 614,808 entre 51,234 (614,808 es un número de seis dígitos, 51,234 es un número de cinco dígitos, la diferencia en el número de caracteres en los registros es 6−5 = 1), intermedio los cálculos requerirán menos espacio que al dividir los números 8 058 y 4 (aquí la diferencia en el número de caracteres es 4−1=3). Para confirmar nuestras palabras, presentamos registros completos de la división por una columna de estos números naturales:

Ahora puedes proceder directamente al proceso de dividir números naturales por una columna.

División de columnas de un número natural por un número natural de un solo dígito, algoritmo de división de columnas

Está claro que dividir un número natural de un solo dígito por otro es bastante sencillo y no hay razón para dividir estos números en una columna. Sin embargo, será útil practicar tus habilidades iniciales de división larga con estos sencillos ejemplos.

Ejemplo.

Necesitamos dividir con una columna de 8 por 2.

Solución.

Por supuesto, podemos realizar la división usando la tabla de multiplicar e inmediatamente escribir la respuesta 8:2=4.

Pero nos interesa saber cómo dividir estos números en una columna.

Primero, escribimos el dividendo 8 y el divisor 2 como lo requiere el método:

Ahora comenzamos a descubrir cuántas veces el divisor está contenido en el dividendo. Para ello, multiplicamos secuencialmente el divisor por los números 0, 1, 2, 3, ... hasta que el resultado sea un número igual al dividendo (o un número mayor que el dividendo, si hay una división con resto ). Si obtenemos un número igual al dividendo, inmediatamente lo escribimos debajo del dividendo y en lugar del cociente escribimos el número por el cual multiplicamos el divisor. Si obtenemos un número mayor que el dividendo, debajo del divisor escribimos el número calculado en el penúltimo paso, y en lugar del cociente incompleto escribimos el número por el cual se multiplicó el divisor en el penúltimo paso.

Vamos: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Hemos recibido un número igual al dividendo, así que lo escribimos debajo del dividendo y en lugar del cociente escribimos el número 4. En este caso, el registro quedará de la siguiente forma:

Queda la etapa final de dividir números naturales de un solo dígito con una columna. Debajo del número escrito debajo del dividendo, debe trazar una línea horizontal y restar los números sobre esta línea de la misma manera que se hace al restar números naturales en una columna. El número resultante después de la resta será el resto de la división. Si es igual a cero, entonces los números originales se dividen sin resto.

En nuestro ejemplo obtenemos

Ahora tenemos ante nosotros una grabación completa de la división en columnas del número 8 entre 2. Vemos que el cociente de 8:2 es 4 (y el resto es 0).

Respuesta:

8:2=4 .

Ahora veamos cómo una columna divide números naturales de un solo dígito con resto.

Ejemplo.

Divide 7 entre 3 usando una columna.

Solución.

En la etapa inicial, la entrada se ve así:

Empezamos a averiguar cuántas veces el dividendo contiene al divisor. Multiplicaremos 3 por 0, 1, 2, 3, etc. hasta obtener un número igual o mayor que el dividendo 7. Obtenemos 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (si es necesario, consulte el artículo que compara números naturales). Debajo del dividendo escribimos el número 6 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente incompleto escribimos el número 2 (la multiplicación se realizó en el penúltimo paso).

Queda por realizar la resta, y se completará la división por una columna de números naturales de un solo dígito 7 y 3.

Por tanto, el cociente parcial es 2 y el resto es 1.

Respuesta:

7:3=2 (descanso 1).

Ahora puedes pasar a dividir números naturales de varios dígitos por columnas en números naturales de un solo dígito.

Ahora lo resolveremos algoritmo de división larga. En cada etapa, presentaremos los resultados obtenidos al dividir el número natural de varios dígitos 140,288 por el número natural de un solo dígito 4. Este ejemplo no fue elegido por casualidad, ya que al resolverlo nos encontraremos con todos los matices posibles y podremos analizarlos en detalle.

Primero nos fijamos en el primer dígito de la izquierda en la notación de dividendos. Si el número definido por esta cifra es mayor que el divisor, entonces en el siguiente párrafo tenemos que trabajar con este número. Si este número es menor que el divisor, entonces debemos agregar a la consideración el siguiente dígito a la izquierda en el registro del dividendo y continuar trabajando con el número determinado por los dos dígitos considerados. Por conveniencia, resaltamos en nuestra notación el número con el que trabajaremos.

El primer dígito desde la izquierda en la notación del dividendo 140288 es el dígito 1. El número 1 es menor que el divisor 4, por lo que también nos fijamos en el siguiente dígito de la izquierda en la notación de dividendos. Al mismo tiempo, vemos el número 14, con el que tenemos que seguir trabajando. Destacamos este número en la notación del dividendo.

Los siguientes puntos del segundo al cuarto se repiten cíclicamente hasta completar la división de los números naturales por una columna.

Ahora necesitamos determinar cuántas veces el divisor está contenido en el número con el que estamos trabajando (por conveniencia, denotaremos este número como x). Para ello multiplicamos secuencialmente el divisor por 0, 1, 2, 3,... hasta obtener el número x o un número mayor que x. Cuando se obtiene el número x, lo escribimos debajo del número resaltado de acuerdo con las reglas de escritura que se usan al restar números naturales en una columna. El número por el cual se realizó la multiplicación se escribe en lugar del cociente durante la primera pasada del algoritmo (en pasadas posteriores de 2 a 4 puntos del algoritmo, este número se escribe a la derecha de los números que ya están allí). Cuando obtenemos un número mayor que el número x, debajo del número resaltado escribimos el número obtenido en el penúltimo paso, y en lugar del cociente (o a la derecha de los números que ya están allí) escribimos el número por cual se realizó la multiplicación en el penúltimo paso. (Realizamos acciones similares en los dos ejemplos comentados anteriormente).

Multiplicamos el divisor 4 por los números 0, 1, 2,... hasta obtener un número que sea igual a 14 o mayor que 14. Tenemos 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14. Como en el último paso recibimos el número 16, que es mayor que 14, entonces debajo del número resaltado escribimos el número 12, que se obtuvo en el penúltimo paso, y en lugar del cociente escribimos el número 3, ya que en el penúltimo punto la multiplicación la realizó precisamente él.


En esta etapa, del número seleccionado, reste el número ubicado debajo usando una columna. El resultado de la resta se escribe debajo de la línea horizontal. Sin embargo, si el resultado de la resta es cero, entonces no es necesario escribirlo (a menos que la resta en ese punto sea la última acción que completa por completo el largo proceso de división). Aquí, para tu propio control, no estaría de más comparar el resultado de la resta con el divisor y asegurarte de que es menor que el divisor. De lo contrario, se cometió un error en alguna parte.

Necesitamos restar el número 12 del número 14 con una columna (para que la grabación sea correcta, debemos recordar poner un signo menos a la izquierda de los números que se restan). Después de completar esta acción, apareció el número 2 debajo de la línea horizontal. Ahora verificamos nuestros cálculos comparando el número resultante con el divisor. Dado que el número 2 es menor que el divisor 4, puedes pasar con seguridad al siguiente punto.


Ahora, debajo de la línea horizontal a la derecha de los números allí ubicados (o a la derecha del lugar donde no escribimos el cero), anotamos el número ubicado en la misma columna en la notación del dividendo. Si no hay números en el registro del dividendo en esta columna, entonces la división por columna termina aquí. Después de esto, seleccionamos el número formado debajo de la línea horizontal, lo aceptamos como número de trabajo y repetimos con él los puntos 2 a 4 del algoritmo.

Debajo de la línea horizontal a la derecha del número 2 que ya está, anotamos el número 0, ya que es el número 0 el que está en el registro del dividendo 140.288 en esta columna. Así, el número 20 se forma debajo de la línea horizontal.


Seleccionamos este número 20, lo tomamos como número de trabajo y repetimos con él las acciones del segundo, tercer y cuarto punto del algoritmo.

Multiplicamos el divisor 4 por 0, 1, 2,... hasta obtener el número 20 o un número mayor que 20. Tenemos 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Realizamos la resta en una columna. Dado que estamos restando números naturales iguales, en virtud de la propiedad de restar números naturales iguales, el resultado es cero. No anotamos el cero (ya que esta no es la etapa final de la división con columna), pero recordamos el lugar donde pudimos escribirlo (por conveniencia, marcaremos este lugar con un rectángulo negro).


Debajo de la línea horizontal a la derecha del lugar recordado anotamos el número 2, ya que es precisamente él el que está en el registro del dividendo 140.288 en esta columna. Así, debajo de la línea horizontal tenemos el número 2.


Tomamos el número 2 como número de trabajo, lo marcamos y una vez más tendremos que realizar las acciones de 2-4 puntos del algoritmo.

Multiplicamos el divisor por 0, 1, 2, etc., y comparamos los números resultantes con el número marcado 2. Tenemos 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Por lo tanto, debajo del número marcado escribimos el número 0 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente a la derecha del número que ya está allí escribimos el número 0 (multiplicamos por 0 en el penúltimo paso ).


Realizamos la resta en una columna, obtenemos el número 2 debajo de la línea horizontal. Nos comprobamos comparando el número resultante con el divisor 4. Desde 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Debajo de la línea horizontal a la derecha del número 2, agregue el número 8 (ya que está en esta columna en la entrada del dividendo 140 288). Así, el número 28 aparece debajo de la línea horizontal.


Tomamos este número como número de trabajo, lo marcamos y repetimos los pasos 2-4.

No debería haber ningún problema aquí si has tenido cuidado hasta ahora. Habiendo completado todos los pasos necesarios, se obtiene el siguiente resultado.

Solo queda realizar los pasos de los puntos 2, 3, 4 por última vez (te lo dejamos a ti), tras lo cual obtendrás una imagen completa de cómo dividir los números naturales 140,288 y 4 en una columna:

Tenga en cuenta que el número 0 está escrito en la línea inferior. Si este no fuera el último paso de la división por una columna (es decir, si en el registro del dividendo quedaran números en las columnas de la derecha), entonces no escribiríamos este cero.

Por lo tanto, al observar la división completa del número natural de varios dígitos 140,288 por el número natural de un solo dígito 4, vemos que el cociente es el número 35,072 (y el resto de la división es cero, está en la línea inferior ).

Por supuesto, al dividir números naturales por una columna, no describirás todas tus acciones con tanto detalle. Sus soluciones se parecerán a los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

Realice una división larga si el dividendo es 7 136 y el divisor es un número natural de un solo dígito, 9.

Solución.

En el primer paso del algoritmo para dividir números naturales en columnas, obtenemos un registro de la forma

Después de realizar las acciones del segundo, tercer y cuarto punto del algoritmo, el registro de división de columnas tomará la forma

Repitiendo el ciclo tendremos

Una pasada más nos dará una imagen completa de la división en columnas de los números naturales 7.136 y 9.

Por tanto, el cociente parcial es 792 y el resto es 8.

Respuesta:

7 136:9=792 (rest. 8) .

Y este ejemplo demuestra cómo debería verse la división larga.

Ejemplo.

Divide el número natural 7.042.035 por el número natural de un solo dígito 7.

Solución.

La forma más conveniente de realizar la división es por columnas.

Respuesta:

7 042 035:7=1 006 005 .

División en columnas de números naturales de varios dígitos

Apresurémonos a complacerlo: si domina completamente el algoritmo de división de columnas del párrafo anterior de este artículo, entonces casi ya sabe cómo realizarlo. división en columnas de números naturales de varios dígitos. Esto es cierto, ya que las etapas 2 a 4 del algoritmo permanecen sin cambios y solo aparecen cambios menores en el primer punto.

En la primera etapa de dividir números naturales de varios dígitos en una columna, no debe mirar el primer dígito de la izquierda en la notación del dividendo, sino el número de ellos igual al número de dígitos contenidos en la notación. del divisor. Si el número definido por estos números es mayor que el divisor, entonces en el siguiente párrafo tenemos que trabajar con este número. Si este número es menor que el divisor, entonces debemos agregar a la consideración el siguiente dígito a la izquierda en la notación del dividendo. Posteriormente se realizan las acciones especificadas en los puntos 2, 3 y 4 del algoritmo hasta obtener el resultado final.

Solo queda ver la aplicación del algoritmo de división de columnas para números naturales multivaluados en la práctica al resolver ejemplos.

Ejemplo.

Realicemos la división en columnas de los números naturales de varios dígitos 5562 y 206.

Solución.

Dado que el divisor 206 contiene 3 dígitos, nos fijamos en los primeros 3 dígitos de la izquierda en el dividendo 5.562. Estos números corresponden al número 556. Dado que 556 es mayor que el divisor 206, tomamos el número 556 como número de trabajo, lo seleccionamos y pasamos a la siguiente etapa del algoritmo.

Ahora multiplicamos el divisor 206 por los números 0, 1, 2, 3,... hasta obtener un número que sea igual a 556 o mayor que 556. Tenemos (si la multiplicación es difícil, entonces es mejor multiplicar números naturales en una columna): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Como recibimos un número mayor que el número 556, debajo del número resaltado escribimos el número 412 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente escribimos el número 2 (ya que lo multiplicamos por él). en el penúltimo paso). La entrada de división de columnas toma la siguiente forma:

Realizamos resta de columnas. Obtenemos la diferencia 144, este número es menor que el divisor, por lo que puedes continuar realizando las acciones requeridas de forma segura.

Debajo de la línea horizontal a la derecha del número escribimos el número 2, ya que está en el registro del dividendo 5562 en esta columna:

Ahora trabajamos con el número 1.442, lo seleccionamos y seguimos los pasos del dos al cuatro nuevamente.

Multiplica el divisor 206 por 0, 1, 2, 3,... hasta obtener el número 1442 o un número mayor que 1442. Vamos: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Realizamos la resta en una columna, obtenemos cero, pero no lo anotamos de inmediato, solo recordamos su posición, porque no sabemos si la división termina aquí o si tendremos que repetir. los pasos del algoritmo nuevamente:

Ahora vemos que no podemos escribir ningún número debajo de la línea horizontal a la derecha de la posición recordada, ya que no hay dígitos en el registro del dividendo en esta columna. Por lo tanto, esto completa la división por columna, y completamos la entrada:

• Matemáticas. Cualquier libro de texto para 1º, 2º, 3º y 4º grado de instituciones de educación general.
• Matemáticas. Cualquier libro de texto para quinto grado de instituciones de educación general.

La división larga es una parte integral del plan de estudios escolar y el conocimiento necesario para un niño. Para evitar problemas en las lecciones y en su implementación, debe brindarle a su hijo conocimientos básicos desde una edad temprana.

Es mucho más fácil explicarle ciertas cosas y procesos a un niño de forma lúdica que en el formato de una lección estándar (aunque hoy en día existen una gran variedad de métodos de enseñanza en diferentes formas).

De este artículo aprenderás.

El principio de división para niños.

Los niños están constantemente expuestos a diferentes términos matemáticos sin siquiera saber de dónde vienen. Después de todo, muchas madres, en forma de juego, le explican al niño que los papás son más grandes que un plato, que es más lejos ir al jardín de infantes que a la tienda, y otros ejemplos simples. Todo esto le da al niño una impresión inicial de las matemáticas, incluso antes de que ingrese al primer grado.

Para enseñarle a un niño a dividir sin resto y luego con resto, es necesario invitarlo directamente a jugar juegos de división. Divida, por ejemplo, los dulces entre ustedes y luego agregue a los siguientes participantes por turno.

En primer lugar, el niño dividirá los caramelos, entregando uno a cada participante. Y al final llegaréis juntos a una conclusión. Cabe aclarar que “compartir” significa que todos tienen la misma cantidad de dulces.

Si necesitas explicar este proceso utilizando números, puedes dar un ejemplo en forma de juego. Podemos decir que un número es un caramelo. Cabe explicar que la cantidad de caramelos que se deben dividir entre los participantes es divisible. Y el número de personas en las que se dividen estos dulces es el divisor.

Entonces deberías mostrar todo esto claramente, dar ejemplos "en vivo" para enseñarle rápidamente al bebé a dividir. Jugando entenderá y aprenderá todo mucho más rápido. Por ahora será difícil explicar el algoritmo y ahora no es necesario.

Cómo enseñarle a su hijo la división larga

Explicarle diferentes operaciones matemáticas a su hijo es una buena preparación para ir a clase, especialmente a la clase de matemáticas. Si decide continuar y enseñarle a su hijo división larga, entonces él ya habrá aprendido operaciones como la suma, la resta y lo que es la tabla de multiplicar.

Si esto todavía le causa algunas dificultades, entonces necesita mejorar todos estos conocimientos. Vale la pena recordar el algoritmo de acciones de los procesos anteriores y enseñarles a utilizar libremente sus conocimientos. De lo contrario, el bebé simplemente se confundirá en todos los procesos y dejará de comprender nada.

Para que esto sea más fácil de entender, ahora hay una tabla de división para niños. Su principio es el mismo que el de las tablas de multiplicar. Pero, ¿es necesaria una tabla así si el niño conoce la tabla de multiplicar? Depende de la escuela y del profesor.

Al formar el concepto de "división", es necesario hacer todo de forma lúdica, dar todos ejemplos sobre cosas y objetos familiares para el niño.

Es muy importante que todos los elementos sean de un número par, para que el bebé pueda entender que el total son partes iguales. Esto será correcto, porque permitirá que el bebé se dé cuenta de que la división es el proceso inverso a la multiplicación. Si hay un número impar de elementos, el resultado saldrá con un resto y el bebé se confundirá.

Multiplica y divide usando una tabla.

A la hora de explicarle a un niño la relación entre multiplicación y división, es necesario demostrarle claramente todo esto con algún ejemplo. Por ejemplo: 5 x 3 = 15. Recuerda que el resultado de la multiplicación es el producto de dos números.

Y solo después de eso, explique que este es el proceso inverso a la multiplicación y demuéstrelo claramente usando una tabla.

Digamos que necesitas dividir el resultado “15” por uno de los factores (“5” / “3”), y el resultado siempre será un factor diferente que no participó en la división.

También es necesario explicarle al niño los nombres correctos de las categorías que realizan la división: dividendo, divisor, cociente. Nuevamente, use un ejemplo para mostrar cuál es una categoría específica.

La división de columnas no es algo muy complicado; tiene su propio algoritmo sencillo que se debe enseñar al bebé. Una vez consolidados todos estos conceptos y conocimientos, podrás pasar a una formación adicional.

En principio, los padres deben aprender la tabla de multiplicar en orden inverso con su amado hijo y memorizarla de memoria, ya que esto será necesario al aprender la división larga.

Esto debe hacerse antes de pasar al primer grado, para que al niño le resulte mucho más fácil acostumbrarse a la escuela y mantenerse al día con el plan de estudios escolar, y para que la clase no empiece a burlarse del niño por pequeños fracasos. La tabla de multiplicar está disponible tanto en la escuela como en cuadernos, por lo que no es necesario traer una tabla aparte a la escuela.

Dividir usando una columna

Antes de comenzar la lección, debes recordar los nombres de los números al dividir. ¿Qué es un divisor, dividendo y cociente? El niño debe poder dividir estos números en las categorías correctas sin errores.

Lo más importante a la hora de aprender división larga es dominar el algoritmo, que, en general, es bastante sencillo. Pero primero, explícale a tu hijo el significado de la palabra “algoritmo” si la ha olvidado o no la ha estudiado antes.

Si el bebé domina bien las tablas de multiplicar y división inversa, no tendrá ninguna dificultad.

Sin embargo, no puede insistir mucho en los resultados obtenidos; es necesario entrenar periódicamente las habilidades y destrezas adquiridas. Continúe tan pronto como quede claro que el bebé comprende el principio del método.

Es necesario enseñar al niño a dividir en una columna sin resto y con resto, para que no tenga miedo de no haber podido dividir algo correctamente.

Para que le resulte más fácil enseñarle a su bebé el proceso de división, debe:

• a los 2-3 años comprensión de la relación todo-parte.
• a los 6-7 años, el niño debería poder realizar sumas y restas con fluidez y comprender la esencia de la multiplicación y la división.

Es necesario estimular el interés del niño por los procesos matemáticos para que esta lección en la escuela le proporcione placer y ganas de aprender, y no sólo para motivarlo en el aula, sino también en la vida.

El niño debe llevar diferentes instrumentos para las lecciones de matemáticas y aprender a utilizarlos. Sin embargo, si al niño le resulta difícil cargar todo, no debe sobrecargarlo.

La forma más sencilla de dividir números de varios dígitos es con una columna. La división de columnas también se llama división de esquina.

Antes de comenzar a realizar la división por columna, consideraremos en detalle la forma misma de registrar la división por columna. Primero, escribe el dividendo y traza una línea vertical a su derecha:

Detrás de la línea vertical, frente al dividendo, escribe el divisor y dibuja una línea horizontal debajo:

Debajo de la línea horizontal se escribirá paso a paso el cociente resultante:

Los cálculos intermedios se escribirán bajo el dividendo:

La forma completa de escribir la división por columnas es la siguiente:

Cómo dividir por columna

Digamos que necesitamos dividir 780 entre 12, escribir la acción en una columna y proceder a la división:

La división de columnas se realiza por etapas. Lo primero que debemos hacer es determinar el dividendo incompleto. Nos fijamos en el primer dígito del dividendo:

este número es 7, ya que es menor que el divisor, no podemos comenzar a dividirlo, lo que significa que necesitamos tomar otro dígito del dividendo, el número 78 es mayor que el divisor, entonces comenzamos a dividir desde él:

En nuestro caso el número 78 será divisible incompleto, se llama incompleto porque es sólo una parte del divisible.

Habiendo determinado el dividendo incompleto, podemos averiguar cuántos dígitos habrá en el cociente, para esto necesitamos calcular cuántos dígitos quedan en el dividendo después del dividendo incompleto, en nuestro caso solo hay un dígito: 0, este significa que el cociente constará de 2 dígitos.

Habiendo descubierto la cantidad de dígitos que deben estar en el cociente, puedes poner puntos en su lugar. Si al completar la división el número de dígitos resulta ser mayor o menor que los puntos indicados, entonces se cometió un error en alguna parte:

Empecemos a dividir. Necesitamos determinar cuántas veces 12 está contenido en el número 78. Para hacer esto, multiplicamos secuencialmente el divisor por los números naturales 1, 2, 3, ... hasta obtener un número lo más cercano posible al dividendo incompleto. o igual a él, pero sin excederlo. Así, obtenemos el número 6, lo escribimos debajo del divisor y de 78 (según las reglas de la resta de columnas) restamos 72 (12 6 = 72). Después de restar 72 de 78, el resto es 6:

Tenga en cuenta que el resto de la división nos muestra si hemos elegido el número correctamente. Si el resto es igual o mayor que el divisor, entonces no elegimos el número correctamente y necesitamos tomar un número mayor.

Al resto resultante - 6, agregue el siguiente dígito del dividendo - 0. Como resultado, obtenemos un dividendo incompleto - 60. Determine cuántas veces 12 está contenido en el número 60. Obtenemos el número 5, lo escribimos en el cociente después del número 6, y restar 60 de 60 (12 5 = 60). El resto es cero:

Como no quedan más dígitos en el dividendo, significa que 780 se divide por 12 por completo. Como resultado de realizar una división larga, encontramos el cociente; está escrito debajo del divisor:

Consideremos un ejemplo cuando el cociente resulta ser ceros. Digamos que necesitamos dividir 9027 entre 9.

Determinamos el dividendo incompleto: este es el número 9. Escribimos 1 en el cociente y restamos 9 de 9. El resto es cero. Normalmente, si en los cálculos intermedios el resto es cero, no se anota:

Anotamos el siguiente dígito del dividendo: 0. Recordamos que al dividir cero por cualquier número habrá cero. Escribimos cero en el cociente (0: 9 = 0) y restamos 0 de 0 en cálculos intermedios. Por lo general, para no saturar los cálculos intermedios, los cálculos con cero no se escriben:

Anotamos el siguiente dígito del dividendo: 2. En los cálculos intermedios resultó que el dividendo incompleto (2) es menor que el divisor (9). En este caso, escribe cero al cociente y elimina el siguiente dígito del dividendo:

Determinamos cuántas veces 9 está contenido en el número 27. Obtenemos el número 3, lo escribimos como cociente y restamos 27 de 27. El resto es cero:

Como no quedan más dígitos en el dividendo, significa que el número 9027 se divide por 9 completamente:

Consideremos un ejemplo en el que el dividendo termina en ceros. Digamos que necesitamos dividir 3000 entre 6.

Determinamos el dividendo incompleto: este es el número 30. Escribimos 5 en el cociente y restamos 30 de 30. El resto es cero. Como ya se mencionó, en los cálculos intermedios no es necesario escribir cero en el resto:

Anotamos el siguiente dígito del dividendo: 0. Dado que dividir cero por cualquier número dará como resultado cero, escribimos cero en el cociente y restamos 0 de 0 en cálculos intermedios:

Anotamos el siguiente dígito del dividendo: 0. Escribimos otro cero en el cociente y restamos 0 de 0 en los cálculos intermedios. Dado que en los cálculos intermedios el cálculo con cero generalmente no se escribe, la entrada se puede acortar, dejando solo. el resto - 0. El cero en el resto al final del cálculo generalmente se escribe para mostrar que la división está completa:

Como no quedan más dígitos en el dividendo, significa que 3000 se divide por 6 completamente:

División de columnas con resto

Digamos que necesitamos dividir 1340 entre 23.

Determinamos el dividendo incompleto: este es el número 134. Escribimos 5 en el cociente y restamos 115 de 134. El resto es 19:

Tomamos el siguiente dígito del dividendo: 0. Determinamos cuántas veces 23 está contenido en el número 190. Obtenemos el número 8, lo escribimos en el cociente y restamos 184 de 190. Obtenemos el resto 6:

Como no quedan más dígitos en el dividendo, la división ha terminado. El resultado es un cociente incompleto de 58 y un resto de 6:

1340: 23 = 58 (resto 6)

Queda por considerar un ejemplo de división con resto, cuando el dividendo es menor que el divisor. Necesitamos dividir 3 entre 10. Vemos que 10 nunca está contenido en el número 3, por lo que escribimos 0 como cociente y restamos 0 de 3 (10 · 0 = 0). Dibuja una línea horizontal y escribe el resto - 3:

3: 10 = 0 (resto 3)

Calculadora de divisiones largas

Esta calculadora te ayudará a realizar divisiones largas. Simplemente ingrese el dividendo y el divisor y haga clic en el botón Calcular.

En la escuela estas acciones se estudian de simples a complejas. Por lo tanto, es imperativo comprender a fondo el algoritmo para realizar estas operaciones utilizando ejemplos sencillos. Para que luego no haya dificultades a la hora de dividir fracciones decimales en una columna. Después de todo, esta es la versión más difícil de este tipo de tareas.

Este tema requiere un estudio constante. Aquí las lagunas de conocimiento son inaceptables. Todo estudiante debería aprender este principio ya en el primer grado. Por lo tanto, si te pierdes varias lecciones seguidas, tendrás que dominar el material tú mismo. De lo contrario, más adelante surgirán problemas no sólo con las matemáticas, sino también con otras materias relacionadas con ellas.

El segundo requisito previo para estudiar matemáticas con éxito es pasar a ejemplos de división larga sólo después de dominar la suma, la resta y la multiplicación.

A un niño le resultará difícil dividir si no ha aprendido la tabla de multiplicar. Por cierto, es mejor enseñarlo utilizando la tabla pitagórica. No hay nada superfluo y en este caso la multiplicación es más fácil de aprender.

¿Cómo se multiplican los números naturales en una columna?

Si tiene dificultades para resolver ejemplos en una columna de división y multiplicación, entonces debe comenzar a resolver el problema con la multiplicación. Como la división es la operación inversa de la multiplicación:

1. Antes de multiplicar dos números, debes observarlos detenidamente. Elige el que tenga más dígitos (más largo) y escríbelo primero. Coloca el segundo debajo. Además, los números de la categoría correspondiente deben estar bajo la misma categoría. Es decir, el dígito más a la derecha del primer número debe estar encima del dígito más a la derecha del segundo.
2. Multiplica el dígito más a la derecha del número inferior por cada dígito del número superior, comenzando desde la derecha. Escribe la respuesta debajo de la línea de modo que su último dígito esté debajo del que multiplicaste.
3. Repita lo mismo con otro dígito del número inferior. Pero el resultado de la multiplicación debe desplazarse un dígito hacia la izquierda. En este caso, su último dígito estará debajo de aquel por el que se multiplicó.

Continúa esta multiplicación en una columna hasta que se acaben los números del segundo factor. Ahora hay que doblarlos. Esta será la respuesta que estás buscando.

Algoritmo para multiplicar decimales.

Primero, debes imaginar que las fracciones dadas no son decimales, sino naturales. Es decir, quitarles las comas y luego proceder como se describe en el caso anterior.

La diferencia comienza cuando se escribe la respuesta. En este momento es necesario contar todos los números que aparecen después de las comas decimales en ambas fracciones. Esta es exactamente la cantidad de ellos que se deben contar desde el final de la respuesta y poner una coma allí.

Es conveniente ilustrar este algoritmo con un ejemplo: 0,25 x 0,33:

¿Por dónde empezar a aprender la división?

Antes de resolver ejemplos de división larga, debes recordar los nombres de los números que aparecen en el ejemplo de división larga. El primero de ellos (el que se divide) es divisible. El segundo (dividido por) es el divisor. La respuesta es privada.

A continuación, utilizando un ejemplo sencillo y cotidiano, explicaremos la esencia de esta operación matemática. Por ejemplo, si tomas 10 dulces, es fácil dividirlos en partes iguales entre mamá y papá. Pero, ¿qué pasa si necesitas dárselos a tus padres y a tu hermano?

Después de esto, podrás familiarizarte con las reglas de división y dominarlas utilizando ejemplos específicos. Primero los simples, y luego pasar a otros cada vez más complejos.

Algoritmo para dividir números en una columna.

Primero, presentemos el procedimiento para números naturales divisibles por un número de un solo dígito. También serán la base para divisores de varios dígitos o fracciones decimales. Sólo entonces deberías hacer pequeños cambios, pero hablaremos de eso más adelante:

• Antes de hacer una división larga, debes averiguar dónde están el dividendo y el divisor.
• Anota el dividendo. A su derecha está el divisor.
• Dibuja una esquina a la izquierda y abajo cerca de la última esquina.
• Determine el dividendo incompleto, es decir, el número que será mínimo para la división. Normalmente consta de un dígito, máximo dos.
• Elija el número que se escribirá primero en la respuesta. Debería ser el número de veces que cabe el divisor en el dividendo.
• Escribe el resultado de multiplicar este número por el divisor.
• Escríbalo debajo del dividendo incompleto. Realizar resta.
• Suma al resto el primer dígito después de la parte que ya se ha dividido.
• Elija el número de la respuesta nuevamente.
• Repita la multiplicación y la resta. Si el resto es cero y el dividendo ha terminado, entonces el ejemplo está terminado. De lo contrario, repite los pasos: quita el número, toma el número, multiplica, resta.

¿Cómo resolver una división larga si el divisor tiene más de un dígito?

El algoritmo en sí coincide completamente con lo descrito anteriormente. La diferencia será el número de dígitos del dividendo incompleto. Ahora debería haber al menos dos de ellos, pero si resultan ser menores que el divisor, entonces tendrás que trabajar con los primeros tres dígitos.

Hay un matiz más en esta división. El hecho es que el resto y el número que se le suma a veces no son divisibles por el divisor. Luego tienes que agregar otro número en orden. Pero la respuesta debe ser cero. Si vas a dividir números de tres dígitos en una columna, es posible que tengas que eliminar más de dos dígitos. Luego se introduce una regla: en la respuesta debe haber un cero menos que el número de dígitos eliminados.

Puede considerar esta división usando el ejemplo: 12082: 863.

• El dividendo incompleto que contiene resulta ser el número 1208. El número 863 se coloca en él solo una vez. Por lo tanto, se supone que la respuesta es 1, y bajo 1208 escribe 863.
• Después de la resta, el resto es 345.
• Necesitas agregarle el número 2.
• El número 3452 contiene 863 cuatro veces.
• Se deben anotar cuatro como respuesta. Además, al multiplicarlo por 4, este es exactamente el número obtenido.
• El resto después de la resta es cero. Es decir, se completa la división.

La respuesta en el ejemplo sería el número 14.

¿Qué pasa si el dividendo termina en cero?

¿O unos cuantos ceros? En este caso, el resto es cero, pero el dividendo todavía contiene ceros. No hay que desesperarse, todo es más sencillo de lo que parece. Basta con sumar a la respuesta todos los ceros que quedan sin dividir.

Por ejemplo, necesitas dividir 400 entre 5. El dividendo incompleto es 40. Cinco caben en él 8 veces. Esto significa que la respuesta debe escribirse como 8. Al restar, no queda ningún resto. Es decir, la división se completa, pero queda un cero en el dividendo. Habrá que agregarlo a la respuesta. Por lo tanto, dividir 400 entre 5 es 80.

¿Qué hacer si necesitas dividir una fracción decimal?

Nuevamente, este número parece un número natural, si no fuera por la coma que separa la parte entera de la parte fraccionaria. Esto sugiere que la división de fracciones decimales en una columna es similar a la descrita anteriormente.

La única diferencia será el punto y coma. Se supone que debe incluirse en la respuesta tan pronto como se elimine el primer dígito de la parte fraccionaria. Otra forma de decir esto es esta: si has terminado de dividir la parte entera, pon una coma y continúa la solución.

Al resolver ejemplos de división larga con fracciones decimales, debes recordar que se puede agregar cualquier número de ceros a la parte después del punto decimal. A veces esto es necesario para completar los números.

Dividiendo dos decimales

Puede parecer complicado. Pero sólo al principio. Después de todo, ya está claro cómo dividir una columna de fracciones por un número natural. Esto significa que debemos reducir este ejemplo a una forma que ya nos resulta familiar.

Es fácil de hacer. Debes multiplicar ambas fracciones por 10, 100, 1000 o 10 000, y tal vez por un millón si el problema lo requiere. Se supone que el multiplicador se elige en función de cuántos ceros hay en la parte decimal del divisor. Es decir, el resultado será que tendrás que dividir la fracción por un número natural.

Y este será el peor de los casos. Después de todo, puede suceder que el dividendo de esta operación se convierta en un número entero. Luego, la solución al ejemplo con división de fracciones en columnas se reducirá a la opción más simple: operaciones con números naturales.

Como ejemplo: divida 28,4 entre 3,2:

• Primero hay que multiplicarlos por 10, ya que el segundo número sólo tiene un dígito después del punto decimal. Multiplicar dará 284 y 32.
• Se supone que deben estar separados. Además, el número entero es 284 por 32.
• El primer número elegido para la respuesta es 8. Multiplicarlo da 256. El resto es 28.
• La división de toda la parte ha finalizado y se requiere una coma en la respuesta.
• Eliminar al resto 0.
• Toma 8 nuevamente.
• Resto: 24. Añade otro 0.
• Ahora necesitas tomar 7.
• El resultado de la multiplicación es 224, el resto es 16.
• Quita otro 0. Toma 5 cada uno y obtendrás exactamente 160. El resto es 0.

La división está completa. El resultado del ejemplo 28.4:3.2 es 8.875.

¿Qué pasa si el divisor es 10, 100, 0,1 o 0,01?

Al igual que con la multiplicación, aquí no es necesaria una división larga. Basta con mover la coma en la dirección deseada durante un cierto número de dígitos. Además, utilizando este principio, puedes resolver ejemplos tanto con números enteros como con fracciones decimales.

Entonces, si necesita dividir entre 10, 100 o 1000, entonces el punto decimal se mueve hacia la izquierda la misma cantidad de dígitos que ceros hay en el divisor. Es decir, cuando un número es divisible por 100, la coma decimal debe moverse dos dígitos hacia la izquierda. Si el dividendo es un número natural, se supone que la coma está al final.

Esta acción da el mismo resultado que si el número se multiplicara por 0,1, 0,01 o 0,001. En estos ejemplos, la coma también se mueve hacia la izquierda una cantidad de dígitos igual a la longitud de la parte fraccionaria.

Al dividir por 0,1 (etc.) o multiplicar por 10 (etc.), el punto decimal debe moverse un dígito hacia la derecha (o dos, tres, según la cantidad de ceros o la longitud de la parte fraccionaria).

Vale la pena señalar que la cantidad de dígitos indicados en el dividendo puede no ser suficiente. Luego, los ceros que faltan se pueden agregar a la izquierda (en toda la parte) o a la derecha (después del punto decimal).

División de fracciones periódicas.

En este caso, no será posible obtener una respuesta precisa al dividir en una columna. ¿Cómo resolver un ejemplo si te encuentras con una fracción con punto? Aquí debemos pasar a las fracciones ordinarias. Y luego divídalos según las reglas aprendidas previamente.

Por ejemplo, necesitas dividir 0.(3) entre 0,6. La primera fracción es periódica. Se convierte a la fracción 3/9, que al reducirse da 1/3. La segunda fracción es el decimal final. Es aún más fácil anotarlo como siempre: 6/10, que equivale a 3/5. La regla para dividir fracciones ordinarias requiere reemplazar la división por la multiplicación y el divisor por el recíproco. Es decir, el ejemplo se reduce a multiplicar 1/3 por 5/3. La respuesta será 5/9.

Si el ejemplo contiene diferentes fracciones...

Entonces son posibles varias soluciones. En primer lugar, puedes intentar convertir una fracción común a un decimal. Luego divide dos decimales usando el algoritmo anterior.

En segundo lugar, cada fracción decimal final se puede escribir como una fracción común. Pero esto no siempre es conveniente. La mayoría de las veces, estas fracciones resultan enormes. Y las respuestas son engorrosas. Por tanto, el primer enfoque se considera más preferible.

Instrucciones

Primero, pruebe las habilidades de multiplicación de su hijo. Si un niño no conoce bien la tabla de multiplicar, también puede tener problemas con la división. Luego, al explicar la división, se te puede permitir echar un vistazo a la hoja de trucos, pero aún tienes que aprenderte la tabla.

Escribe el dividendo y el divisor usando una barra separadora vertical. Debajo del divisor escribirás la respuesta: el cociente, separándolo con una línea horizontal. Tome el primer dígito de 372 y pregúntele a su hijo cuántas veces el número seis “cabe” en tres. Así es, en absoluto.

Luego toma dos números: 37. Para mayor claridad, puedes resaltarlos con una esquina. Repita la pregunta nuevamente: cuántas veces el número seis está contenido en 37. Será útil contar rápidamente. Junte la respuesta: 6*4 = 24 – nada similar; 6*5 = 30 – cerca de 37. Pero 37-30 = 7 – seis “encajarán” nuevamente. Finalmente, 6*6 = 36, 37-36 = 1 – adecuado. El primer dígito del cociente encontrado es 6. Escríbelo debajo del divisor.

Escribe 36 debajo del número 37 y dibuja una línea. Para mayor claridad, puede utilizar el letrero en la entrada. Debajo de la línea, coloque el resto - 1. Ahora "descienda" el siguiente dígito del número, dos, a uno; resulta ser 12. Explíquele al niño que los números siempre "descienden" uno a la vez. Pregunta nuevamente cuántos “seis” hay en 12. La respuesta es 2, esta vez sin resto. Escribe el segundo dígito del cociente al lado del primero. El resultado final es 62.

Consideremos también en detalle el caso de la división. Por ejemplo, 167/6 = 27, resto 5. Lo más probable es que su hijo aún no haya oído nada sobre fracciones simples. Pero si hace preguntas, el resto se puede explicar con el ejemplo de las manzanas. Se dividieron 167 manzanas entre seis personas. Todos recibieron 27 piezas y cinco manzanas quedaron sin dividir. También puedes dividirlas cortando cada una en seis rodajas y distribuyéndolas equitativamente. Cada persona recibió una rodaja de cada manzana: 1/6. Y como había cinco manzanas, cada una tenía cinco rodajas: 5/6. Es decir, el resultado se puede escribir así: 27 5/6.

Para reforzar la información, mira tres ejemplos más de división:

1) El primer dígito del dividendo contiene el divisor. Por ejemplo, 693/3 = 231.
2) El dividendo termina en cero. Por ejemplo, 1240/4 = 310.
3) El número contiene un cero en el medio. Por ejemplo, 6808/8 = 851.

En el segundo caso, los niños a veces se olvidan de sumar el último dígito de la respuesta: 0. Y en el tercero, a veces se saltan el cero.

Fuentes:

• división por columna 3er grado
• Cómo dividir 927 en una columna

Los niños aprenden mucho mejor los significados concretos que los abstractos. como explicar niño, ¿cuánto son dos tercios? Concepto fracciones requiere una introducción especial. Existen algunos métodos que le ayudarán a comprender qué es un número no entero.

necesitarás

• - lotería especial;
• - manzana y caramelo;
• un círculo de cartón que consta de varias partes;
• - tiza.

Instrucciones

Intenta interesar. Juegue un juego especial de rayuela mientras camina. Si ya está cansado de saltar a los habituales, pero su hijo domina bien el conteo, pruebe esta opción. Dibuja una rayuela con tiza sobre el asfalto como se muestra en la imagen y explica al niño que puede saltar así: 1 - 2 - 3..., o puedes hacerlo así: 1 - 1,5 - 2 - 2,5. A los niños les gusta mucho jugar y por eso les va mejor porque entre los números todavía hay valores intermedios: partes. Este es tu próximo paso hacia el aprendizaje de números fraccionarios. Una excelente ayuda visual.

Toma una manzana entera y ofrécela a dos personas al mismo tiempo. Inmediatamente te dirán que esto es imposible. Luego corta la manzana y ofrécela nuevamente. Todo está bien ahora. todos recibieron la misma media manzana. Éstas son partes de un todo.

Ofrécete a dividir cuatro contigo por la mitad. Lo hará fácilmente. Luego saca otro y ofrécete a hacer lo mismo. Está claro que no puedes conseguir todo el caramelo de una vez y niño. La solución se puede encontrar cortando el caramelo por la mitad. Entonces todos recibirán dos caramelos enteros y medio.

Para las personas mayores, utilice un círculo de corte. Puedes dividirlo en 2, 4, 6 u 8 partes. Invitamos a los niños a formar un círculo. Luego lo dividimos en dos mitades. Dos mitades formarán un círculo perfecto, incluso si intercambias la mitad con tu vecino de escritorio (los círculos deben tener el mismo diámetro). Dividimos cada mitad del préstamo por la mitad. Resulta que el círculo puede constar de 4 partes. Y cada mitad proviene de dos mitades. Luego lo escribimos en la pizarra en la forma fracciones. Explicar cuál es el numerador (las partes que se toman) y el denominador (en cuántas partes se dividió el total). Esto facilita que los niños comprendan un concepto difícil: las fracciones.

Consejos útiles

Asegúrese de utilizar ayudas visuales al explicar un concepto abstracto.

La sección "Multiplicación y división" es una de las más difíciles del curso de matemáticas de la escuela primaria. Los niños suelen aprenderlo entre los 8 y 9 años. En este momento, su memoria mecánica está bastante desarrollada, por lo que la memorización se produce de forma rápida y sin mucho esfuerzo.