Решение неявно заданной функции. §7 Производная от функции, заданной неявно
Пусть
функция
задана неявно в виде уравнения
.
Продифференцировав это уравнение по х
и разрешив полученное уравнение
относительно производной
,
найдем производную первого порядка
(первую производную). Продифференцировав
по х
первую производную получим вторую
производную от неявной функции. Подставляя
уже найденное значение
в выражение второй производной, выразим
через х
и у.
Аналогично поступаем для нахождения
производной третьего порядка (и дальше).
Пример.Найти
,
если
.
Решение:
дифференцируем уравнение по х
:
.
Отсюда находим
.
Далее
.
Производные высших порядков от функций заданных параметрически.
Пусть
функция
задана параметрическими уравнениями
.
Как
известно первая производная
находится
по формуле
.
Найдем вторую производную
,
т.е.
.
Аналогично
.
Пример.
Найти вторую производную
.
Решение:
находим первую производную
.
Находим вторую производную
.
Дифференциал функции.
Пусть
функция
дифференцируема на
.
Производная этой функции в некоторой
точке
определяется равенством
.
Отношение
при
,
следовательно отличается от производной
на
величину б.м., т.е. можно записать
(
).
Умножим все на
,
получим
.
Приращение функции
состоит
из двух слагаемых. первое слагаемое
- главная часть приращения, есть
дифференциал функции.
Опр.
Дифференциалом функции
называется произведение производной
на приращение аргумента. Обозначается
.
Дифференциал
независимого переменного совпадает с
его приращением
.
().
Таким образом, формулу для дифференциала
можно записать
.
Дифференциал функции равен произведению
производной на дифференциал независимой
переменной. Из этого соотношения следует,
что производную можно рассматривать
как отношение дифференциалов
.
Дифференциал
используют в приближенных вычислениях.
Так как в выражении
второе слагаемое
бесконечно малая величина пользуются
приближенным равенством
или в развернутом виде
Пример:
вычислить приближенное значение
.
Функция
имеет производную
.
По формуле (*) : .
Пример: найти дифференциал функции
Геометрический смысл дифференциала.
К
графику функции
в точке М(x
;y
)
проведем касательную и рассмотрим
ординату этой касательной для точки
x
+∆
x
.
На рисунке АМ=∆х
АМ 1 =∆у
из
∆МАВ
,
отсюда
,
но согласно геометрическому смыслу
касательной
.
Поэтому
.
Сравнивая эту формулу с формулой
дифференциала получаем, что
,
т.е. дифференциал функции
в
точке х
равен
приращению ординаты касательной к
графику функции в этой точке, когда х
получает приращение ∆х
.
Правила вычисления дифференциала.
Поскольку
дифференциал функции
отличается
от производной множителем
,
то все правила вычисления производной
используются и для вычисления дифференциала
(отсюда и термин «дифференцирование»).
Пусть
даны две дифференцируемые функции
и
,
тогда дифференциал находится по следующим
правилам:
1)
2)
с
–
const
3)
4)
(
)
5)
для сложной функции
,
где
(т.к.
).
Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Приложения производной.
Теоремы о среднем значении.
Теорема
Ролля
.
Если функция
непрерывна
на отрезке
и дифференцируема в открытом промежутке
и если принимает на концах отрезка
равные значения
,
то в интервале
найдется,
хотя бы одна такая точка с
,
в которой производная обращается в
ноль, т.е.
,
a
<
c
<
b
.
Геометрически
теорема Ролля означает, что на графике
функции
найдется точка, в которой касательная
к графику параллельна оси Ох
.
Теорема
Лагранжа
.
Если функция
непрерывна
на отрезке
и дифференцируема на интервале
,
то найдется, хотя бы одна точка
такая, что выполняется равенство
.
Формулу
называют формулой Лагранжа или формулой
о конечном приращении: приращение
дифференцируемой функции на отрезке
равно приращению аргумента, умноженному
на значение производной в некоторой
внутренней точке этого отрезка.
Геометрический
смысл теоремы Лагранжа: на графике
функции
найдется
точка С(с;
f
(c
))
,
в которой касательная к графику функции
параллельна секущей АВ
.
Теорема
Коши
.
Если функции
и
непрерывны на отрезке
,
дифференцируемы на интервале
,
причем
для
,
то найдется хотя бы одна точка
такая,
что выполняется равенство
.
Теорема Коши служит основанием для нового правила вычисления пределов.
Правило Лопиталя.
Теорема:
(Правило Лопиталя раскрытие неопределенностей
вида
).
Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки х
0
и обращаются в нуль в этой точки
.
И пусть
в окрестности точки х
0
. если существует предел
,
то
.
Доказательство:
применим к функциям
и
теорему Коши для отрезка
Лежащего в окрестности точки х
0
.
Тогда
,
где x
0
<
c
<
x
.
Так как
получаем
.
Перейдем к пределу при
.
Т.к.
,
то
,
поэтому
.
Итак
предел отношения двух б.м. равен пределу
отношения их производных, если последний
существует
.
Теорема.
(правило
Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида
)
Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности
точки х
0
(кроме, может быть, точки х
0
),
в этой окрестности
,
.
Если существует предел
,
то
.
Неопределенности
вида (
)
сводятся к двум основным (),
путем тождественных преобразований.
Пример:
Сначала рассмотрим неявную функцию одного переменного. Она определяется уравнением (1), которое каждому х из некоторой области Х сопоставляет определённое у. Тогда на Х определяется этим уравнением функция у=f(х). Её называют неявной или неявно заданной . Если уравнение (1) удаётся разрешить относительно у, т.е. получить вид у=f(х), то задание неявной функции становится явным. Однако разрешить уравнение удается не всегда и в этом случае не всегда ясно – существует ли вообще неявная функция у=f(х), определяемая уравнением (1) в некоторой окрестности точки (x 0 , y 0).
Например,
уравнение
неразрешимо относительноy
и неясно - определяет ли оно неявную
функцию в некоторой окрестности точки
(1,0), например. Заметим, что существуют
уравнения, не определяющие никакой
функции (x 2 +y 2 +1=0).
Оказывается справедливой следующая теорема:
Теорема «Существования и дифференцируемости неявной функции» (без доказательства)
Пусть
дано уравнение
(1) и функция
,
удовлетворяет условиям:
Тогда:
. (2)
Геометрически
теорема утверждает, что в окрестности
точки
,
где выполняемы условия теоремы, неявная
функция, определяемая уравнением (1),
может быть задана в явном виде у=f(х),
т.к. каждому значению х соответствует
единственное у. Если даже мы не можем
найти выражение функции в явном виде,
мы уверены, что в некоторой окрестности
точки М 0
это уже
возможно в принципе.
Рассмотрим
тот же пример:
.
Проверим условия:
1)
,
- и функция и её производные непрерывны
в окрестности точки (1,0) (как сумма и
произведение непрерывных).
2)
.
3)
.
Значит, неявная функция у=
f(х) существует
в окрестности точки (1,0). Мы не можем её
выписать в явном виде, но можем все-таки
найти её производную, которая будет
даже непрерывной:
Рассмотрим теперь неявную функцию от нескольких переменных . Пусть задано уравнение
. (2)
Если
каждой паре значений (х,у) из некоторой
области уравнение (2) сопоставляет одно
определённое значение z,
то говорят, что это уравнение неявно
определяет однозначную функцию от двух
переменных
.
Справедлива и соответствующая теорема существования и дифференцирования неявной функции нескольких переменных.
Теорема
2
: Пусть дано
уравнение
(2) и функция
удовлетворяет условиям:
Пример
:
.
Это уравнение задаётz
как двузначную неявную функцию от х и
у
.
Если проверить условия теоремы в
окрестности точки, например, (0,0,1), то
видим выполнение всех условий:
Значит,
неявная однозначная функция существует
в окрестности точки (0,0,1): Можно сказать
сразу, что это
,
задающая верхнюю полусферу.
Существуют
непрерывные частные производные
Они, кстати, получаются такими же, если
дифференцировать неявную функцию,
выраженную в явном виде, непосредственно.
Определение и теорема существования и дифференцирования неявной функции большего числа аргументов аналогичны.
Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1)
.
И пусть это уравнение, при некотором значении ,
имеет единственное решение .
Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке ,
причем
.
Тогда, при этом значении ,
существует производная ,
которая определяется по формуле:
(2)
.
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3)
:
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и ,
то
(4)
;
.
Формула доказана.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4)
.
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1)
.
Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения :
.
По формуле производной суммы :
.
Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5)
.
Подставив сюда производную ,
получим значение производной второго порядка в неявном виде.
Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.
Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1)
.
Решение по формуле 2
Находим производную по формуле (2):
(2)
.
Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .
Находим производную по ,
считая постоянной.
;
;
;
.
Находим производную по переменной ,
считая переменную постоянной.
;
;
;
.
По формуле (2) находим:
.
Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), .
Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).
Применяем :
.
Применяем формулу производной дроби :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1)
;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.
Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.
Ответ
Пример 2
Найти производную второго порядка от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1)
.
Решение
Дифференцируем исходное уравнение, по переменной ,
считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что .
Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2)
.
Находим производную первого порядка:
(П2.3)
.
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :
;
.
Отсюда находим производную второго порядка.
Ответ
Пример 3
Найти производную третьего порядка при от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1)
.
Решение
Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2)
;
Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3)
.
Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4)
.
Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.
Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функцииf (x,y,z) ) сами являются функциями от новых переменныхU, V, W ).
Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную системуO 0 UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:
То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменныхU, V, W посредством трёх "старых" переменныхx, y, z, тогда:
Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если
В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":
Эта же формула "полной производной" в случае:
примет вид:
Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).
Замечание: формула "полной производной" используется в курсе физики, раздел "Гидродинамика" при выводе основополагающей системы уравнений движения жидкости.
Пример 1.10. Дано:
Согласно (1.31):
§7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительноy :
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производныеf" x иf" y определены и непрерывны в некоторой окрестностиU M0 точкиM 0 (x 0 y 0 ) . Кроме того,f(x 0 ,y 0 )=0 иf"(x 0 ,y 0 )≠0 , тогда уравнение (1.33) определяет в окрестностиU M0 неявную функциюy= y(x) , непрерывную и дифференцируемую в некотором интервалеD с центром в точке x 0 , причемy(x 0 )=y 0 .
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D :
то- есть имеет место тождество по
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области V пространстваOxyz выполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так.
Производная функции, заданной неявно.
Производная параметрически заданной функции
В данной статье мы рассмотрим еще два типовых задания, которые часто встречаются в контрольных работах по высшей математике. Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Научиться находить производные практически с нуля можно на двух базовых уроках и Производная сложной функции . Если с навыками дифференцирования всё в порядке, тогда поехали.
Производная функции, заданной неявно
Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Давайте сначала вспомним само определение функции одной переменной :
Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .
Переменная называется независимой переменной
или аргументом
.
Переменная называется зависимой переменной
или функцией
.
До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.
Рассмотрим функцию
Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек», а справа – только «иксы» . То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .
Рассмотрим другую функцию:
Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.
Разрешите познакомить: – пример неявной функции .
В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс-меньшинств соблюдены.
И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно. Это не так сложно! Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.
Да, и сообщу хорошую новость – рассмотренные ниже задания выполняются по довольно жесткому и чёткому алгоритму без камня перед тремя дорожками.
Пример 1
1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:
2) Используем правила линейности производной (первые два правила урока Как найти производную? Примеры решений
):
3) Непосредственное дифференцирование.
Как дифференцировать и совершенно понятно. Что делать там, где под штрихами есть «игреки»?
– просто до безобразия, производная от функции равна её производной : .
Как дифференцировать
Здесь у нас сложная функция
. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ
(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :
Произведение дифференцируем по обычному правилу :
Обратите внимание, что – тоже сложная функция, любой «игрек с наворотами» – сложная функция :
Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
Если есть скобки, то раскрываем их:
4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:
5) В левой части выносим производную за скобки:
6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:
Производная найдена. Готово.
Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом. Фраза «функция, заданная в неявном виде» более общая и корректная, – эта функция задана в неявном виде, но здесь можно выразить «игрек» и представить функцию в явном виде. Под фразой «неявная функция» понимают «классическую» неявную функцию, когда «игрек» выразить нельзя.
Второй способ решения
Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные . Начинающие изучать математический анализ и чайники, пожалуйста, не читайте и пропустите этот пункт , иначе в голове будет полная каша.
Найдем производную неявной функции вторым способом.
Переносим все слагаемые в левую часть:
И рассматриваем функцию двух переменных:
Тогда нашу производную можно найти по формуле
Найдем частные производные:
Таким образом:
Второй способ решения позволяет выполнить проверку. Но оформлять им чистовой вариант задания нежелательно, поскольку частные производные осваивают позже, и студент, изучающий тему «Производная функции одной переменной», знать частные производные как бы еще не должен.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2
Найти производную от функции, заданной неявно
Навешиваем штрихи на обе части:
Используем правила линейности:
Находим производные:
Раскрываем все скобки:
Переносим все слагаемые с в левую часть, остальные – в правую часть:
Окончательный ответ:
Пример 3
Найти производную от функции, заданной неявно
Полное решение и образец оформления в конце урока.
Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от дробей нужно избавляться. Рассмотрим еще два примера.
Пример 4
Найти производную от функции, заданной неявно
Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:
Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного :
Раскрываем скобки:
Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится . Умножаем на . Если подробно, то выглядеть это будет так:
Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на
В левой части выносим за скобку:
Окончательный ответ:
Пример 5
Найти производную от функции, заданной неявно
Это пример для самостоятельного решения. Единственное, в нём, перед тем как избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой дроби. Полное решение и ответ в конце урока.
Производная параметрически заданной функции
Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .
Переменная называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцев параметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, можете воспользоваться моей программой .
В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.
В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
Находим производную от «игрека по переменной тэ»:
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет . Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Находим производную от «икса по переменной тэ»:
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .
Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.
Пример 6
Используем формулу
В данном случае:
Таким образом:
Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать . Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.
Пример 7
Найти производную от функции, заданной параметрически
Это пример для самостоятельного решения.
В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Для параметрически заданной функции тоже можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.
Пример 8
Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически
Сначала найдем первую производную.
Используем формулу
В данном случае:
Подставляем найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :